時(shí)英雄 湯 旭

(安徽省合肥市第一中學(xué) 230601)

在高中數(shù)列的學(xué)習(xí)中，主要就是定義了等差數(shù)列、等比數(shù)列，那么有沒(méi)有等和數(shù)列，等積數(shù)列等等這樣的新定義的數(shù)列呢？其實(shí)，在很多的數(shù)列題目中經(jīng)常能遇到新定義的數(shù)列，它需要學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移，利用對(duì)等差、等比數(shù)列的理解進(jìn)行歸納，類(lèi)比等，找出新定義的數(shù)列的核心來(lái)解題.下面就一些常見(jiàn)的新定義數(shù)列問(wèn)題，談?wù)劥祟?lèi)問(wèn)題的解法，以饗讀者.

一、等和數(shù)列

例1 定義：把滿(mǎn)足an+an-1=k(n≥2,k為常數(shù))的數(shù)列叫做等和數(shù)列，常數(shù)k叫做數(shù)列的公和.若等和數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公和為3,則其前n項(xiàng)和Sn=____.

評(píng)注等和數(shù)列的本質(zhì)就是奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為兩組常數(shù)列構(gòu)成，是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列.掌握這一特點(diǎn)，求通項(xiàng)、求和等問(wèn)題就可迎刃而解了.

二、絕對(duì)和數(shù)列

例2 定義：若數(shù)列{an}對(duì)任意的正整數(shù)n，都有|an|+|an+1|=k(k為常數(shù)),則稱(chēng){an}為絕對(duì)和數(shù)列，常數(shù)k叫做數(shù)列的絕對(duì)公和，已知絕對(duì)和數(shù)列{an}中，a1=2，k=2，則其前2010項(xiàng)和S2010的最小值為_(kāi)___.

解析由定義|a1|+|a2|=2，a1=2，所以|a2|=0,|a3|=2,|a4|=0,…

所以n為奇數(shù)時(shí)，|an|=2，n為偶數(shù)時(shí)，|an|=0，要使S2010最小，則a3=a5=...=a2009=-2，(S2010)min=2-2×1004=-2006.

評(píng)注絕對(duì)和數(shù)列與等和數(shù)列的研究類(lèi)似，只不過(guò)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)在取值時(shí)都有正負(fù)兩種選擇，比等和數(shù)列要復(fù)雜一點(diǎn)，也可以將題目設(shè)計(jì)為前2010項(xiàng)和為定值，求數(shù)列個(gè)數(shù)，這樣牽涉到排列組合知識(shí)，留給讀者自己研究，這里不做贅述.

三、等比和數(shù)列

由此可得：a2n-1=a1×2n-1=2n-1,故a2009=21004.

評(píng)注等比和數(shù)列比等和數(shù)列多了一步構(gòu)造，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)由原來(lái)的兩組常數(shù)列變?yōu)閮山M等比數(shù)列，還是分奇偶研究，實(shí)質(zhì)沒(méi)變.

四、等積數(shù)列

例4 在一個(gè)數(shù)列中，如果對(duì)?n∈N*都有anan+1an+2=k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，常數(shù)k叫做數(shù)列的公積.若等積數(shù)列{an}中a1=1,a2=2,k=8，則a1+a2+…+a12=____.

解析由題設(shè)anan+1an+2=8，,an+1an+2an+3=8，兩式相除得：an+3=an.{an}是一個(gè)周期為3的周期數(shù)列.

又由a1a2a3=8,a1=1,a2=2,所以a3=4.

所以，a1+a2+a3=7，a1+a2+…+a12=4×7=28.

評(píng)注這里的等積數(shù)列給的是連續(xù)三項(xiàng)的積為同一個(gè)常數(shù)，若給出的是連續(xù)兩項(xiàng)則與例1給出的等和數(shù)列如出一則，這里用連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)造出一個(gè)周期數(shù)列，利用一個(gè)周期內(nèi)的幾項(xiàng)和為定值，即可求出特定的前n項(xiàng)和.

五、等差比數(shù)列

①k不可能為0；

②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；

③等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列；

④通項(xiàng)公式為an=a·bn+c(a≠0,b≠0,1)的數(shù)列一定是等差比數(shù)列；

⑤等差比數(shù)列中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0.

其中正確命題的序號(hào)是____.

解析對(duì)于①，若k為0，則an+2-an+1=0，從而an+1-an=0，矛盾，故①正確.

對(duì)于②，若等差數(shù)列公差為0，則an+1-an=0，矛盾，故②不正確.

對(duì)于③，若等差數(shù)列公比為1，則an+1-an=0，矛盾，故③不正確.

對(duì)于⑤，若等差比數(shù)列中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0，則存在an+1-an=0，矛盾，故⑤不正確.

評(píng)注本題新定義了等差比數(shù)列，對(duì)能否構(gòu)成等差比數(shù)列的條件進(jìn)行了研究，對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行了研究，這也是新定義問(wèn)題的一種考察方向，本題抓住an+1-an≠0這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)即可.

六、等方差數(shù)列

②{(-1)n}是等方差數(shù)列；

③若{an}是等方差數(shù)列，則{akn} (k∈N*,k為常數(shù))是等方差數(shù)列；

④若{an}是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列是常數(shù)列.

其中正確命題的序號(hào)是____.

對(duì)于②，[(-1)n]2-[(-1)n-1]2=0，故{(-1)n}是等方差數(shù)列，故②正確.

高考中的新定義問(wèn)題尤其是數(shù)列問(wèn)題并不少見(jiàn)，雖然是新的定義，新的知識(shí)點(diǎn)，但是研究新數(shù)列的過(guò)程和方法都是大家所熟悉的，所以只要平時(shí)在學(xué)習(xí)的過(guò)程中能扎扎實(shí)實(shí)，將學(xué)習(xí)的過(guò)程和研究的方法遷移過(guò)來(lái)后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)就是舉一反三，本文中舉的幾個(gè)例子就是平常比較常見(jiàn)的新定義數(shù)列.在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中大家也可以按照類(lèi)似的思路編擬一些類(lèi)似的題目來(lái)拓展思維，然后發(fā)現(xiàn)一些特殊的有意思的數(shù)列，在學(xué)習(xí)之余增加一些樂(lè)趣.