王靜文

【教學(xué)內(nèi)容】

浙教版五年級(jí)上冊(cè)第77、84 頁(yè)。

【教材分析】

這是一節(jié)在學(xué)習(xí)了三角形面積計(jì)算方法后拓展提升型的課。教學(xué)的基本思路是：首先，讓學(xué)生利用兩個(gè)大小不同的正方形的頂點(diǎn)構(gòu)建不同形狀的三角形，通過計(jì)算這些三角形的面積，歸納、發(fā)現(xiàn)這些三角形底、高及面積之間的關(guān)系（教材第77 頁(yè)）。接下來，將教材第84 頁(yè)的練習(xí)納入這些三角形中，主要圍繞“等積變形”展開，利用平行線之間的距離處處相等，移動(dòng)三角形的頂點(diǎn)，將一個(gè)面積較難計(jì)算的三角形轉(zhuǎn)化成與之等底等高的面積非常容易計(jì)算的三角形，使面積計(jì)算的方法更加靈活、巧妙（詳見下圖）。

整節(jié)課呈現(xiàn)了有主題、有變式的系列面積計(jì)算問題，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的實(shí)踐中探索、生成靈活的方法，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，豐富和拓展對(duì)面積概念的理解。

【教學(xué)過程】

一、溫故知新

1．引入，布置任務(wù)。

師：兩個(gè)正方形一共有幾個(gè)頂點(diǎn)？

生：7 個(gè)。

師：從7 個(gè)點(diǎn)中任意選3 個(gè)點(diǎn)依次連線，會(huì)構(gòu)成什么圖形？

生：三角形。

師：每個(gè)人想三種方案，連點(diǎn)成三角形，并分別計(jì)算三角形的面積。

2．學(xué)生活動(dòng)，教師搜集典型作品。

3.分類，梳理方法。

師：如果要給這些作品分類，你打算怎么分？

生：按面積大小分類：①②⑦⑨是一類，面積是16；③④?是一類，面積是32；⑥⑧是一類，面積是48；⑤是一類，面積是24；⑩?是一類，面積是8。

師：為什么這些三角形的面積是相等的呢？

生：等底等高的三角形面積相等。

師：下面這兩個(gè)三角形的底和高分別在哪？

（學(xué)生指底和高，讓學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生得到鞏固，特別是鈍角三角形的底與高）

小結(jié)：等底等高的三角形面積相等。

師：面積相等的三角形都等底等高嗎？我們以面積是16 的圖形為例。

（學(xué)生觀察、分類）

師：看來等底等高的三角形面積一定相等，但是面積相等的三角形卻不一定等底等高。

師：我們繼續(xù)聚焦等底等高的三角形。圖?里有一個(gè)面積是32 的三角形，利用“等底等高”，你能變化出更多面積是32 的三角形嗎？

生：利用等底等高的三角形面積相等，底不變，移動(dòng)三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)就可以。

師：有道理嗎？怎么知道這些三角形的面積都是32？沒有變？

生：底沒有變。頂點(diǎn)位置雖然在動(dòng)，都在對(duì)應(yīng)的平行線上，平行線之間的距離處處相等所以面積不變。

小結(jié)：利用平行線，可以構(gòu)造出許多底、高相等的三角形，這些三角形雖形狀各異，但面積是相等的。通過觀察三角形的底和高的情況，可以更快更好地推斷其面積。

【設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)通過學(xué)生連三角形，計(jì)算面積來復(fù)習(xí)三角形的面積計(jì)算方法，在此過程中強(qiáng)化三角形的底、高等概念；然后，借助“面積相等”的“強(qiáng)刺激”，分類研究，突出“等底等高的三角形面積相等”這一命題；進(jìn)而，通過多媒體技術(shù)，演示三角形等積變形的動(dòng)態(tài)過程，加深學(xué)生對(duì)平行線之間距離處處相等的視覺印象，為靈活計(jì)算特殊三角形面積做好鋪墊。】

二、應(yīng)用新知

1.策略優(yōu)化和應(yīng)用。

師：圖④為什么面積也等于32 呢？

師：請(qǐng)獨(dú)立思考兩到三分鐘，嘗試計(jì)算。

師：老師看大家都很認(rèn)真地在想辦法。有沒有同學(xué)遇到了困難？什么困難？

生：底和高都不知道。

師：有沒有同學(xué)可以解決他的困難？

生：我的辦法是整體減空白。

總面積=（8+4）×8=96；

S①=8×8÷2=32；

S②=4×4÷2=8；

S③=（8+4）×4÷2=24

S陰影=96-32-8-24=32。

生：我還有辦法。連接正方形的對(duì)角線，移動(dòng)頂點(diǎn)，等積變形，三角形面積等于大正方形面積的一半。

師：有道理嗎？想要等積變形，高必須在平行線之間移動(dòng)。兩個(gè)正方形的對(duì)角線是平行的嗎？你是怎么知道的？

生：因?yàn)樗鼈兌际钦叫蔚膶?duì)角線，與下底邊的夾角都是45°。

師：原來正方形中還隱藏著一組平行線，就是兩個(gè)正方形的對(duì)角線。

［課件再次演示上圖：在變與不變中感受面積的關(guān)系（拉動(dòng)頂點(diǎn)）］

師：發(fā)現(xiàn)了什么？

生：三角形的面積就是大正方形面積的一半。

師：我們剛剛是怎么將這個(gè)面積較難算的三角形轉(zhuǎn)化成一個(gè)面積容易算的三角形的？

生：先找到正方形的對(duì)角線，利用高在平行線之間相等，移動(dòng)頂點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成同底等高的三角形。

師：要多角度尋找可以利用的平行線，將面積較難算的三角形轉(zhuǎn)化成容易計(jì)算面積的三角形。

2.在變化中感受不變，加深對(duì)等底等高的理解和應(yīng)用水平。

師：（邊說邊演示課件）如果小正方形變得更小呢？小到邊長(zhǎng)都不知道了，三角形面積還能求嗎？如果小正方形變成更大的正方形呢？

生：三角形的面積只與大正方形有關(guān)，是大正方形面積的一半。

生：不管怎么變，三角形的底不變，高度也不變。

師：我們可不可以利用找平行線等積變形的方法快速算出這個(gè)三角形的面積？

生：找平行線，等積變形。發(fā)現(xiàn)三角形面積是小正方形面積的一半。

師：為什么圖④三角形面積是大正方形的一半，圖⑩三角形面積是小正方形的一半？

生：因?yàn)閳D④三角形的底是大正方形的對(duì)角線，所以面積就是大正方形面積的一半。圖⑩三角形的底是小正方形的對(duì)角線，面積就是小正方形面積的一半。

【設(shè)計(jì)意圖：通過找隱藏的平行線，靈活應(yīng)用“等積變形”將底與高未知的三角形轉(zhuǎn)化成與之等底等高且面積易算的三角形，從對(duì)等底等高三角形面積相等的簡(jiǎn)單判斷水平提升到靈活應(yīng)用水平。借助多媒體技術(shù)，縮小或擴(kuò)大正方形的面積，發(fā)現(xiàn)平行線之間的距離不變，三角形的面積不變，進(jìn)一步提高對(duì)“等底等高的三角形面積相等”的概括理解水平。同時(shí)，也推動(dòng)學(xué)生空間觀念更好地發(fā)展?！?/p>

三、拓展提升

師：如果小正方形移動(dòng)到大正方形的內(nèi)部，這時(shí)候連接這三個(gè)頂點(diǎn)，涂色部分的面積該如何求呢？如果小正方形變成了一個(gè)點(diǎn)，將大正方形的四個(gè)頂點(diǎn)與之相連所形成的涂色部分面積又是多少呢？

1.學(xué)生獨(dú)立完成。

2.全班交流、反饋。

（1）左圖交流反饋。

生：整體減空白。

總面積=8×8=64；

S①=（2+8）×8÷2=40；

S②=4×4÷2=8；

S③=（8+4）×2÷2=12；

S陰影=64-40-8-12=4。

生：連接大正方形對(duì)角線，等積變形。三角形的面積等于底2 高4 的三角形的面積。

（2）右圖交流反饋。

生：S①=S②，S③=S④，S⑤=S⑥，S⑦=S⑧。因此，涂色部分的面積是正方形面積的一半。

生：經(jīng)過E 點(diǎn)作AB 與CD 的平行線，等積變形，S涂=S△ABE+S△CDE=S△BED，因此，涂色部分的面積是正方形面積的一半。

師：我們還可以任意移動(dòng)E 點(diǎn)，最后可以將涂色部分面積轉(zhuǎn)化成正方形面積的一半。

師：大家覺得這個(gè)方法如何？E 點(diǎn)還可以繼續(xù)移動(dòng)嗎？

生：不論E 點(diǎn)移動(dòng)到哪（正方形內(nèi)或正方形上），涂色部分三角形面積都是正方形面積的一半。

【設(shè)計(jì)意圖：這兩道題是所學(xué)知識(shí)的延續(xù)與拓展，當(dāng)小正方形移動(dòng)到大正方形內(nèi)部后，之前所學(xué)的知識(shí)還能解決新三角形的面積計(jì)算問題嗎？第一題，學(xué)生通過思考不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)正方形的對(duì)角線仍然是平行關(guān)系，仍可利用等積變形解決問題；第二題雖然已經(jīng)是兩個(gè)三角形，但利用等積變形可以證明涂色部分三角形的面積之和是大正方形的一半。通過這兩道習(xí)題的應(yīng)用和比較，既鞏固了前面的學(xué)習(xí)所得，又讓學(xué)生驚嘆等積變形方法的進(jìn)一步變化、應(yīng)用，優(yōu)勢(shì)并內(nèi)化之，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)、方法又有了提升和創(chuàng)新。在解決問題的過程中，發(fā)展了學(xué)生的空間觀念和問題解決的能力。此外，多媒體技術(shù)的使用使得學(xué)生的想象變得形象、可感，有助于支持、驗(yàn)證和分享學(xué)生的猜想?！?/p>

四、課堂小結(jié)

師：今天我們學(xué)習(xí)了什么？你有什么收獲？

生：今天我們學(xué)習(xí)了三角形面積的計(jì)算。

生：求三角形面積的多種方法。當(dāng)我們不知道一個(gè)三角形的底和高時(shí)，我們可以利用等底等高的三角形面積相等將這個(gè)三角形靈活地轉(zhuǎn)化成另一個(gè)與它面積相等但底和高已知的三角形。

生：我學(xué)會(huì)了更靈活地計(jì)算三角形的面積。

師：“轉(zhuǎn)化”這個(gè)詞用得好！通過轉(zhuǎn)化，新問題變成了老問題，復(fù)雜問題變成了簡(jiǎn)單問題。

【設(shè)計(jì)意圖：課堂總結(jié)不僅回顧了三角形面積的計(jì)算方法，更重要的是讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)方法靈活運(yùn)用的樂趣，在學(xué)生心中“種”下了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想?！?/p>

【編輯點(diǎn)評(píng)】

王靜文老師的這節(jié)《三角形面積練習(xí)課》在題目的設(shè)計(jì)和技術(shù)的使用方面給人以特別的啟發(fā)。

第一，題目的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了變式教學(xué)的精髓。

練習(xí)內(nèi)容決定了練習(xí)的深度。整理全課練習(xí)題：1.開放性問題：從相連正方形的7 個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，構(gòu)成三角形并計(jì)算其面積（下圖1）；2.基于討論，引出“等底等高”的話題，并進(jìn)一步聚焦其中一個(gè)較難求取面積的三角形圖（下圖2）；3.水平變式題1（下圖3）；4.水平變式題2（下圖4）；5.開放探究題（下圖5）：涂色部分兩個(gè)三角形的面積和怎樣計(jì)算好？所有題目，圍繞著“等積變形”（主要是“等高”變形）的主題既相互聯(lián)系又變化發(fā)展，全面豐富了學(xué)生對(duì)于“等高”的概念變式，設(shè)置了學(xué)生解決三角形“等積變形”問題的過程變式，切實(shí)增進(jìn)了學(xué)生思考的深度、廣度和靈活性。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

第二，技術(shù)的使用啟發(fā)了學(xué)生的想象力。

技術(shù)服務(wù)于教學(xué)，技術(shù)提升了教學(xué)。王靜文老師的課件，不是一種點(diǎn)綴，不僅止于新奇、絢麗，還站在數(shù)學(xué)學(xué)科的本位，挖掘了幾何解題的動(dòng)態(tài)角度，很好地啟發(fā)和支持了學(xué)生在平行線上尋找動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)建等高（等積）三角形的想象，把傳統(tǒng)的“難題”“難講清楚的題”轉(zhuǎn)化成了“巧題”“可以看明白的題”。

教學(xué)設(shè)計(jì)千萬條，內(nèi)容形式并兩條。選擇好的數(shù)學(xué)問題，利用好現(xiàn)代技術(shù)，我們能為兒童創(chuàng)造更多更好的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，帶來更多更好的學(xué)習(xí)收獲！