江蘇省無(wú)錫市蠡園中學(xué) 周進(jìn)榮

江南大學(xué)附屬中學(xué) 韓衛(wèi)華

黨的十八大提出“教育的根本任務(wù)在于立德樹(shù)人”，這也是當(dāng)下教育改革的核心任務(wù).2014年教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》，其中多次提到發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).《21世紀(jì)學(xué)生核心素養(yǎng)研究》一書(shū)中指出：“學(xué)生核心素養(yǎng)，主要指學(xué)生應(yīng)具備的，能夠適應(yīng)終身發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.”作為數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐者，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科“立德育人”的目標(biāo)，首先應(yīng)該體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育上.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面.在日常教學(xué)中，如何把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育落實(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中？筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué).“數(shù)學(xué)育人”要依靠學(xué)科的內(nèi)在力量，要在數(shù)學(xué)內(nèi)部挖掘育人資源，并使它們?cè)跀?shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)中發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的、別的學(xué)科不能替代的育人功能.下面以“平行線背景下的等積變形”專題復(fù)習(xí)課為例，談?wù)務(wù)n堂教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

一、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，引發(fā)學(xué)生發(fā)散思維，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成

問(wèn)題是思維的起點(diǎn)，核心素養(yǎng)就是在復(fù)雜問(wèn)題情境中解決問(wèn)題的能力和品質(zhì)，是個(gè)體在與情境的持續(xù)互動(dòng)中，不斷解決問(wèn)題而形成的.情境化是數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑.

問(wèn)題1：如圖1，點(diǎn)C為線段BE上一點(diǎn)，分別以BC、CE為邊在BE的同一側(cè)作正方形ABCD和正方形GCEF，連 接GA、GE、AE，且AE與CD交于點(diǎn)H.若正方形ABCD與正方形GCEF的邊長(zhǎng)分別為a、b，求△GAE的面積.

圖1

生1：我用“補(bǔ)”的方法，如圖1，S△GAE=S正方形ABCD＋S正方形GCEF-

生2：還可以用“割”的方法，如圖1，沿著GH所在的直線將△GAE 分割成△GAH 和△GEH.由，所以b，所以所以

師：還有其他方法嗎？

眾生搖頭示意沒(méi)有.

師：你還能得到什么啟發(fā)？

生3：S△GAE=S△GCE.

師：能證明嗎？

生3：如圖2，連接AC.因?yàn)锳C、GE是正方形的對(duì)角線，所以AC∥GE，根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，有

圖2

師：你好厲害！想到了平行線，利用“平行線之間的距離處處相等”，將△GAE的面積轉(zhuǎn)化成△GEC的面積，我們把這種方法稱為平行線的“等積變形”.在本題的解法中，我們分別用了“割、補(bǔ)、等積變形”的方法，你認(rèn)為哪種更簡(jiǎn)單？

生4：“等積變形”更簡(jiǎn)單.利用平行線等積變形，可以將一個(gè)三角形轉(zhuǎn)化成與它本身面積相等、形狀不相同的三角形.

師：非常棒！利用平行線等積變形，思路靈活，方法巧妙，學(xué)好它能夠幫我們巧妙解決問(wèn)題.

教學(xué)意圖：在問(wèn)題情境設(shè)置上，執(zhí)教教師巧妙設(shè)置了求三角形面積的開(kāi)放性問(wèn)題，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的求知欲，引發(fā)學(xué)生發(fā)散思維，教學(xué)中采用一題多解的形式，通過(guò)對(duì)三角形面積求解的三種不同方法的比較，自然引出平行線等積變形的定義，讓學(xué)生體會(huì)平行線等積變形的優(yōu)越性，著力培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

二、變式訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成

數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的育人功能主要在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維上.變式訓(xùn)練有助于學(xué)生拓寬視野、加深對(duì)概念和技能的理解，幫助學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新、探究能力的發(fā)展，使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，有邏輯地思考，創(chuàng)造性地思考，讓學(xué)生成為善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，善于分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的人.

變式1：如圖3，如果將“正方形ABCD和正方形GCEF”改為“兩個(gè)相似的菱形ABCD和菱形GCEF”，其余的條件不變，則

圖3

圖4

生5：如圖4，連接AC，因?yàn)榱庑蜛BCD相似于菱形GCEF，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)，得∠BCD=∠CEF，從而得到∠BCA=∠CEG，故AC∥GE，S△GAE=S△GCE=

變式2：你還能將“兩個(gè)正方形”改為什么圖形，使結(jié)論仍然成立？

生6：如圖5，可以改為“兩個(gè)相似的矩形ABCD和矩形GCEF”，根據(jù)變式1的經(jīng)驗(yàn)，只要條件“AC∥GE”保持不變（如圖6），則結(jié)論“S△GAE=S矩形GCEF”成立，于是我想到了兩個(gè)相似的矩形，即矩形ABCD和矩形GCEF.

圖5

圖6

生7：同樣，還可以將“兩個(gè)正方形”改為“兩個(gè)相似的平行四邊形”.

師：非常棒！利用平行線等積變形，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出平行線.

三、動(dòng)手操作，發(fā)展學(xué)生形象思維，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流是學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的主要方式，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式不能單純地依靠模仿與記憶.”重視動(dòng)手操作能力，是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力最有效的途徑.動(dòng)手操作能讓學(xué)生從形象思維有效過(guò)渡到抽象邏輯思維上.

問(wèn)題2：如圖7，已知網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，求△ABC的面積.

圖7

圖8

生8：除了能用“割”“補(bǔ)”求出△ABC的面積，還可以運(yùn)用等積變形求△ABC的面積.可以先“固定”AC，過(guò)點(diǎn)B作DF∥AC，變△ABC的面積為△AFC的面積（如圖8），也可變?yōu)椤鰽DC的面積（如圖9），所以S△ABC=5.

圖9

圖10

師：這種方法比“割”和“補(bǔ)”的方法快多了，如圖8，這條直線上還有格點(diǎn)E，為什么不選擇它？

生9：那是因?yàn)椤鰽EC的面積與△ABC的面積一樣，不容易計(jì)算.

師：所以同樣在平行線上，要選擇合適的點(diǎn).

生10：老師，還可以“固定”BC，如圖10，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，變△ABC的面積為△DBC的面積.

師：非常棒！選擇不同的底邊，我們又得到一個(gè)方法，如果網(wǎng)格再大一點(diǎn)，我們還可以“固定”AB，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線.

但是隨著我國(guó)工業(yè)化、城鎮(zhèn)化進(jìn)程的加快，人增地減水缺的矛盾日益突出，農(nóng)田水利建設(shè)滯后的問(wèn)題尤為凸顯，農(nóng)田水利基礎(chǔ)薄弱、資金投入不足、建設(shè)管理體制機(jī)制有待改革、法制建設(shè)亟待加強(qiáng)的情況還是比較突出的。審議中委員們還就改革創(chuàng)新農(nóng)田水利發(fā)展體制機(jī)制、加大財(cái)政投入的力度、完善管理服務(wù)體系、加強(qiáng)節(jié)約用水和水土保持工作等提出了許多中肯的意見(jiàn)和建議。

師：同學(xué)們，關(guān)于等積變形，我們有什么經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

生11：利用平行線等積變形，往往能夠使三角形改“邪”歸“正”！

生12：“等積變形”應(yīng)先固定一條邊作為底邊，若這條底邊有平行線，可以將原三角形轉(zhuǎn)化，這樣往往能直接求出三角形的面積.

生13：在平行線上要選擇合適的點(diǎn)進(jìn)行等積變形，如果點(diǎn)選得不好，等積變形也沒(méi)用……

教學(xué)意圖：“割”“補(bǔ)”法是求圖形面積最為常見(jiàn)、有效的方法之一，但有時(shí)利用等積變形求面積更簡(jiǎn)單.問(wèn)題2 引導(dǎo)學(xué)生突破常規(guī)，分別“固定”三角形不同的邊，再利用網(wǎng)格中的平行線進(jìn)行三角形的等積變形，變形后面積計(jì)算一目了然.同時(shí)，每一個(gè)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的獲得，沒(méi)有強(qiáng)加于學(xué)生，而是在學(xué)生動(dòng)手操作過(guò)程中自然生長(zhǎng)出來(lái)的，這樣的經(jīng)驗(yàn)最具有生命力.教師在教學(xué)中適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生動(dòng)手操作，能夠使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得更為直觀、易懂，有力培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理素養(yǎng).

四、關(guān)注過(guò)程，發(fā)展學(xué)生抽象思維，促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成

核心素養(yǎng)的形成是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以數(shù)學(xué)活動(dòng)為路徑而逐步實(shí)現(xiàn)的.數(shù)學(xué)教學(xué)要從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的合理性，以及學(xué)生思維過(guò)程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn).

問(wèn)題3：如圖11，已知點(diǎn)A（-2，1）、B（4，-2）、C（1，2），坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D，使S△ABC=S△ABD？如果存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖11

圖12

生14：如圖12，“固定”AB，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，分別交x軸、y軸于點(diǎn)D1、D2，變△ABC為△ABD1或△ABD2.

師：如何求點(diǎn)D1、D2的坐標(biāo)？

生15：由A（-2，1）、B（4，-2）兩點(diǎn)，求出AB所在直線的方程為x.因?yàn)镈1D2∥AB，所以設(shè)直線D1D2的方程為x＋b，再將點(diǎn)C（1，2）的坐標(biāo)代入x＋b中，得，則直線D1D2的方程為，故點(diǎn)D1

師：這樣的點(diǎn)還有嗎？

生16：還有！作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，過(guò)點(diǎn)C′作AB的平行線，分別交x軸、y軸于點(diǎn)D3、D4，變△ABC為△ABD3或△ABD4，可求得點(diǎn)D3（-5，0）

教學(xué)意圖：?jiǎn)栴}3是在問(wèn)題1和問(wèn)題2的基礎(chǔ)上“生長(zhǎng)”出來(lái)的一道難度較大的綜合題，有了解決問(wèn)題1和問(wèn)題2的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很容易想到利用平行線等積變形.于是“固定”AB，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，分別交x軸、y軸于點(diǎn)D1、D2，變△ABC為△ABD1或△ABD2.由對(duì)稱性，在x軸、y軸的負(fù)半軸上也有符合題意的兩個(gè)點(diǎn).章建躍博士曾指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有三重境界：知其然，知其所以然，何由以知其所以然.”教師要學(xué)會(huì)“示以學(xué)生思維之道”的方法，要讓學(xué)生在自己獨(dú)立面對(duì)問(wèn)題時(shí)“想得到”“做得到”.這需要教師在平時(shí)的教學(xué)中，關(guān)注知識(shí)的發(fā)展過(guò)程，加強(qiáng)抽象思維訓(xùn)練，著力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

以上僅從一節(jié)課的幾個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，其實(shí)培養(yǎng)核心素養(yǎng)的途徑還有很多，需要在日常教學(xué)中潛移默化、逐漸滲透.但不管怎樣，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，要著重培養(yǎng)學(xué)生的思維特別是邏輯思維，使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，特別是學(xué)會(huì)“有邏輯”地思考.讓學(xué)生成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的人，著力培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和實(shí)踐創(chuàng)新.