摘 要：“新定義問題”是初中數(shù)學(xué)中的一種常見題型.這類問題通常給出新的定義，要求學(xué)生在理解新定義的基礎(chǔ)上，運用所學(xué)知識分析問題和解決問題.這類問題主要考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和理解能力，是歷年中考的熱點問題.為此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可采取創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣；鋪墊知識，搭建橋梁；示范解題，傳授解題技巧；鼓勵合作，引導(dǎo)探究等策略，提升學(xué)生的解題能力.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；新定義問題；教學(xué)策略

中圖分類號：G632 ""文獻標(biāo)識碼：A"""文章編號：1008-0333（2025）02-0029-03

收稿日期：2024-10-15

作者簡介：王德力，本科，一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在初中數(shù)學(xué)中，因“新定義問題”情境新穎，能夠凸顯對學(xué)生能力的考查而倍受命題者青睞[1].不少學(xué)生遇到這類問題時，往往一時難以找到解題思路，是中考中容易失分的題型.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)重視“新定義問題”教學(xué)，運用針對性的教學(xué)策略，幫助學(xué)生掌握解決這類問題的基本思路與基本方法，從而實現(xiàn)高效解題.

1 “新定義問題”的特點及類型

初中數(shù)學(xué)“新定義問題”具有創(chuàng)新性、抽象性、綜合性特點[2].其中，創(chuàng)新性指情境新穎，學(xué)生需運用新定義解決新問題，對學(xué)生解題能力的要求較高；抽象性指這類問題一般較為抽象，深刻理解題意，把握新定義的本質(zhì)，是成功解題的關(guān)鍵；綜合性指這類問題有時涉及多個知識點，不僅需要學(xué)生運用新定義，而且需要聯(lián)系所學(xué)知識，其綜合性較強，學(xué)生需具備靈活遷移所學(xué)知識的能力.

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，常見的“新定義問題”包括新定義函數(shù)、新定義圖形、新定義運算以及新定義概念等.新定義函數(shù)問題一般結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)圖象給出新函數(shù)的定義，檢驗學(xué)生對新函數(shù)性質(zhì)的理解以及應(yīng)用熟練程度；新定義圖形問題往往對學(xué)生常見的幾何圖形進行新的定義，闡述圖形的性質(zhì)以及特點，要求學(xué)生分析解決相關(guān)問題；新定義運算問題通常給出新的運算法則，要求學(xué)生遵循新的運算法進行相關(guān)計算；新定義概念問題，顧名思義，就是給出新的概念，要求學(xué)生基于新概念解答相關(guān)問題.

2 “新定義問題”的教學(xué)策略

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，面對“新定義問題”時，部分學(xué)生感覺無從下手.為避免出現(xiàn)這種情況，增強學(xué)生的解題自信，教師應(yīng)聯(lián)系教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的知識儲備，創(chuàng)設(shè)問題情境，通過課堂互動、解題指引，學(xué)生能夠感受到解題的成就感，獲得良好的學(xué)習(xí)體驗，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，自覺探尋解題思路.

在“二次函數(shù)圖象”教學(xué)中，教師需指導(dǎo)學(xué)生深度剖析二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，提高學(xué)生運用二次函數(shù)知識分析問題和解決問題的能力.為使學(xué)生形成運用二次函數(shù)圖象解題的良好意識，在課堂教學(xué)中，教師可創(chuàng)設(shè)“新定義問題”情境，延展教學(xué)內(nèi)容深度，提升學(xué)生解決“新定義問題”的能力.

例1 定義一種新函數(shù)：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2-4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù).已知某“鵲橋函數(shù)”的圖象如圖1所示，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①bc＜0；②當(dāng)x=1時，函數(shù)的最大值為8；③m=1時，直線y=x+m和該圖象恰有三個公共點；④關(guān)于x的方程|x2+bx+c|=3的所有實數(shù)根的和為3.其中正確的有.

本題是一道新定義函數(shù)問題，它與“二次函數(shù)圖象”內(nèi)容緊密對接，是教學(xué)內(nèi)容的進一步延伸.此問題的巧妙之處在于展現(xiàn)了函數(shù)圖象的對稱美，增加解題的趣味性.本題設(shè)置了四個小問，既能夠考查二次函數(shù)知識，又能考查數(shù)形結(jié)合思想，其難度層層遞進.在教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)圖象視角探尋函數(shù)y=ax2+bx+c與函數(shù)y=|ax2+bx+c|的內(nèi)在聯(lián)系，使其快速找到突破口，掌握解決此類新定義函數(shù)問題的解題思路.

2.2 鋪墊知識，搭建橋梁

鍛煉與提升學(xué)生的解題能力是初中數(shù)學(xué)“新定義問題”教學(xué)的重要指向.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解答“新定義問題”時，需在理解新定義的基礎(chǔ)上，靈活運用已學(xué)知識分析和解決新問題.因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)圍繞“新定義問題”情境，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧相關(guān)知識，作好知識鋪墊，幫助學(xué)生搭建“新定義問題”中新舊知識的橋梁，為問題解決創(chuàng)造有利條件.

“四邊形”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，包括四邊形、平行四邊形、梯形等.在教學(xué)中，教師可以此為契機滲透“新定義圖形”問題，通過具體問題的分析，學(xué)生能夠在獲得四邊形新知識的同時，體會“新定義圖形”問題的求解過程，積累解題經(jīng)驗.

例2 定義：有一組鄰邊相等，且對角互補的四邊形叫做“鄰等對補四邊形”.如圖2，四邊形ABCD為“鄰等對補四邊形”，其中AB=AD，∠A=90°，CD=1，四邊形的面積S為16，則BC的長為.

這是一道“新定義圖形”問題，此題給出了“鄰等對補四邊形”的定義，并給出了部分邊、角及四邊形的面積，求邊BC的長度.本題主要考查學(xué)生能否有效挖掘定義中的邊角關(guān)系，并結(jié)合所學(xué)知識靈活解決問題.解決本題的過程中，主要涉及補角的定義、勾股定理、一元二次方程的解法等知識.在教學(xué)過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧與之相關(guān)的知識，然后結(jié)合圖形結(jié)構(gòu)特征，連接BD，將四邊形分割為兩個三角形，從而得到兩個直角三角形.最后利用面積及勾股定理即可構(gòu)建二元二次方程組，利用代入消元法可將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程并求解.

2.3 示范解題，傳授技巧

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些“新定義問題”不僅情境新穎，而且比較抽象，學(xué)生理解難度較大，尤其是一些“新定義運算”問題，不僅要求學(xué)生準(zhǔn)確把握運算的“形”，更要理解其背后的“質(zhì)”.在教學(xué)過程中，針對此類問題，教師既要進行解題示范，展示如何進行破題，如何尋找解題思路，又要做好解題方法的歸納總結(jié).同時，教師需給學(xué)生預(yù)留一定的時間，讓學(xué)生認(rèn)真體會、揣摩，還要及時解答學(xué)生的疑惑，使其真正消化、吸收，從而達到融會貫通的效果.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“運算”是重要內(nèi)容.初中數(shù)學(xué)中的運算主要包括有理數(shù)的運算、整式的運算、分式的運算等.在教學(xué)過程中，教師可以結(jié)合某一運算法則，拋出“新定義運算”問題，通過展示“新定義運算”問題的解題過程，歸納其解題方法，幫助學(xué)生深刻理解運算法則，提升學(xué)生解決“新定義運算”問題的能力.

例3 定義“[ ]”是一種取整運算符號，即[a]表示不超過a的最大整數(shù).例如，[-1.2]=-2，[π]=3.

（1）計算[2]=，[-3.14]=；

（2）若m和n滿足方程[m]+[n]=1，則當(dāng)n=3-1，請寫出m的取值范圍；

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，如果坐標(biāo)為（p，q）的點在第一象限，且滿足[p]+[q]=3，則所有符合條件的點（p，q）所構(gòu)成的圖形面積為.

本題是一道“新定義運算”問題，如何正確理解取整運算符號“[ ]”是解題的關(guān)鍵.

對于問題（1），教師可引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)軸解決問題.首先要求學(xué)生在數(shù)軸上標(biāo)出2，-3.14的所在位置，然后尋找其對應(yīng)點右側(cè)的第一個整數(shù)就是所求結(jié)果，易得[2]=1，[-3.14]=-4.對于問題（2），教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件求出[n]的范圍，而后判斷出m的取值范圍.對于問題（3），教師可以引導(dǎo)學(xué)生從問題（1）和問題（2）的求解過程中獲得啟發(fā)，運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.為此，教師可指導(dǎo)學(xué)生畫出如圖3所示的圖形，從而為問題解決創(chuàng)造條件.

2.4 鼓勵合作，引導(dǎo)探究

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些“新定義問題”傾向于考查學(xué)生的綜合能力，其涉及的知識點多，求解難度大，導(dǎo)致部分學(xué)生無法及時有效突破.在教學(xué)過程中，為避免學(xué)生的積極性及解題自信心受挫，教師應(yīng)注重把控“新定義問題”的難度，結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容，鼓勵學(xué)生相互合作，積極討論，使學(xué)生深刻認(rèn)識問題情境，理解題干的“言外之意”，在思維碰撞和觀點交流中，找到正確的解題思路.

“圓”在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位，是歷年中考的熱點問題，其重要性不言而喻.在“圓”有關(guān)知識的教學(xué)中，教師應(yīng)在學(xué)生掌握“圓”的有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，注重融入“新定義概念”問題，提高學(xué)生運用圓的有關(guān)知識分析問題和解決問題的能力.

例4 定義：一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，且所截得的三條弦相等，稱該圓為“等弦圓”.現(xiàn)有一斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)“等弦圓”最大時，則該圓的半徑為.

這是一道典型的“新定義概念”問題，概念中闡述了圓與三角形的關(guān)系.為方便解決問題，學(xué)生需畫出圖形，然后結(jié)合圖形理解概念.在解決問題時還需要明確“等弦圓”最大時是怎樣的一種情形.在教學(xué)過程中，教師可以拋出問題：在什么情況下，“等弦圓”才最大？請根據(jù)需要解決的問題，嘗試畫出圖形，并根據(jù)圖形探究解題思路.在圖形的輔助下，學(xué)生容易確定當(dāng)“等弦圓”最大時，對于等腰直角三角形而言，其直角頂點恰好在圓上，如圖4所示.這也是題目的隱含條件，發(fā)現(xiàn)這一條件是解決本題的關(guān)鍵.

3 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)認(rèn)識到“新定義問題”的教學(xué)價值，立足初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，認(rèn)真梳理“新定義問題”，依據(jù)考查的知識點對其歸類，總結(jié)不同類型“新定義問題”的特點，做好合理的教學(xué)設(shè)計.將“新定義問題”與初中數(shù)學(xué)知識有機融合，并結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識儲備，運用針對性的教學(xué)策略，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗，樹立解題自信，從而實現(xiàn)對“新定義問題”的有效突破.

參考文獻：［1］ 劉莫君.函數(shù)中的新定義問題探究[J].中學(xué)教學(xué)參考，2023（32）：32-34.

[2] 陳松林.新定義型題目的解題策略探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（8）：47-49.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］