【摘要】在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，立體幾何一直是重點(diǎn)與難點(diǎn).而模型思想的滲透，為立體幾何的教學(xué)與學(xué)習(xí)開辟了新的途徑.將抽象的幾何圖形轉(zhuǎn)化為具體可感的模型，幫助學(xué)生更好地理解空間關(guān)系、幾何性質(zhì)，找到解決問題的突破口，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和創(chuàng)造力.隨著教育的不斷發(fā)展與進(jìn)步，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建立和運(yùn)用模型思想，降低立體幾何的學(xué)習(xí)難度，進(jìn)而凸顯立體幾何的本質(zhì)，讓學(xué)生能夠熟練掌握所學(xué)知識(shí)，從而提升數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).文章分別探討數(shù)學(xué)模型思想在高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中的滲透意義和滲透策略，希望為數(shù)學(xué)教師提供有益的參考和借鑒.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型思想；高中數(shù)學(xué)；立體幾何

【基金項(xiàng)目】荔灣區(qū)教師小課題“基于數(shù)學(xué)模型思想的高三立體幾何教學(xué)”（2023Z77）.

引 言

數(shù)學(xué)模型思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，其核心在于將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解，從而構(gòu)建起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系的橋梁.教師將模型思想運(yùn)用到高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中具有重要意義，能夠幫助學(xué)生建立直觀想象能力，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)立體幾何的認(rèn)知，真正提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和邏輯思維能力.

一、數(shù)學(xué)模型思想在高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中的滲透意義

（一）提升學(xué)生的理解能力

模型思想對(duì)于提升學(xué)生的理解能力具有重要作用.例如，教學(xué)“正方體”或者“長方體”時(shí)，如果僅靠教師口頭講述，學(xué)生很難理解透徹.而引入模型思想后，教師將立體圖形構(gòu)建為具體的模型，讓學(xué)生更好地把握空間中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系.這種直觀的呈現(xiàn)方式符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，使得幾何問題變得易于理解，降低了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，為進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)立體幾何奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

（二）培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

在立體幾何的學(xué)習(xí)中，運(yùn)用模型思想有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.學(xué)生在嘗試建立幾何模型時(shí)，他們需要在腦海中對(duì)空間圖形進(jìn)行構(gòu)建、變換和分析，然后運(yùn)用所建立的模型解決實(shí)際問題.同時(shí)，學(xué)生可以與同伴進(jìn)行互動(dòng)和分享，選擇最佳的模型方案，使每一名學(xué)生都能全面掌握模型思想，真正提高解決效率.無論是自主建模，還是合作建模，都要求學(xué)生根據(jù)模型的形式和性質(zhì)確定解決問題的方法，這一過程考查了學(xué)生的邏輯思維，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性和靈活性.

（三）增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用能力

在學(xué)習(xí)中養(yǎng)成運(yùn)用模型思想的習(xí)慣，能夠增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用能力.許多現(xiàn)實(shí)生活中的問題都可以抽象為立體幾何模型，如建筑設(shè)計(jì)、工程測量等.當(dāng)學(xué)生建立了模型后，就可將實(shí)際問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求解驗(yàn)證.此外，數(shù)學(xué)教師可以通過一個(gè)典型問題的解決，拓展延伸出更多的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生從解決一道題發(fā)展為解決一類題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，讓模型思想在學(xué)生的思維中扎根.

二、數(shù)學(xué)模型思想在高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中的滲透策略

（一）直觀展示，認(rèn)識(shí)模型

1.實(shí)物模型展示

在高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中，教師可以引入實(shí)物立體模型，諸如棱柱、棱錐、圓柱等，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)模型思想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為他們帶來直觀的學(xué)習(xí)體驗(yàn).同時(shí)，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，充分發(fā)揮出實(shí)物模型的優(yōu)勢，強(qiáng)化他們對(duì)立體幾何知識(shí)的理解和記憶.

當(dāng)講解棱柱的概念時(shí)，教師帶來不同類型的棱柱實(shí)物模型，這成了學(xué)生理解知識(shí)的重要媒介.每一名學(xué)生都認(rèn)真地、全方位地觀察棱柱的底面是怎樣的形狀，側(cè)面有著怎樣的特征，以及棱的分布情況.通過觀察，學(xué)生對(duì)棱柱的定義有了深入的理解，不再停留在抽象的文字表述上，而是在腦海中形成了具體的形象，為后面學(xué)習(xí)棱柱的性質(zhì)做好鋪墊.同樣地通過實(shí)物模型，學(xué)生能夠細(xì)致地看到棱錐的底面、側(cè)面和頂點(diǎn)，了解棱錐的獨(dú)特結(jié)構(gòu)，提高他們的觀察能力和思維能力.而講解圓柱時(shí)，教師展示出圓柱的實(shí)物模型，帶領(lǐng)學(xué)生分析圓柱的兩個(gè)底面的特點(diǎn)以及側(cè)面的曲面形態(tài)，有助于學(xué)生建立空間觀念，從而更加主動(dòng)地參與到課堂學(xué)習(xí)中來.

2.動(dòng)態(tài)模型輔助

動(dòng)態(tài)模型能夠使抽象的立體幾何知識(shí)變得具體可感，吸引學(xué)生主動(dòng)提出問題，主動(dòng)參與師生互動(dòng).所以，在課堂上，數(shù)學(xué)教師可以利用多媒體技術(shù)打造動(dòng)態(tài)的立體幾何模型，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和空間想象力，讓學(xué)生更好地理解模型思想，使教學(xué)更加生動(dòng)、高效.

例如，在講解“圓錐的形成”時(shí)，教師不能再局限于抽象的文字描述，而是使用多媒體展示圓錐的形成過程，讓學(xué)生直觀地看到圓錐是如何由直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的.教師通過動(dòng)畫演示一個(gè)直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐的過程，讓學(xué)生深刻理解圓錐的各個(gè)部分的形成原理.通過這樣的動(dòng)態(tài)模型，學(xué)生可以清晰地看到圓錐的底面是如何由直角三角形的另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成，圓錐的側(cè)面又是如何展開和形成的，從而加深對(duì)圓錐幾何特性的了解.

在講解“空間直線與平面的位置關(guān)系”時(shí)，教師可以利用多媒體工具，如PPT、動(dòng)畫等，呈現(xiàn)直線與平面平行、相交、在平面內(nèi)等情況.然后教師組織學(xué)生對(duì)這些動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行討論，幫助學(xué)生快速理解和區(qū)分直線與平面相交、直線在平面內(nèi)、直線與平面平行的形式，讓學(xué)生觀察不同形式的模型，從而充分了解各種動(dòng)態(tài)模型的特點(diǎn).

（二）實(shí)踐操作，理解模型

1.手工制作模型

教師可以帶領(lǐng)學(xué)生手工制作模型，讓學(xué)生在親身體驗(yàn)中深化對(duì)空間概念的理解，提高動(dòng)手能力和創(chuàng)新思維，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).在制作模型的活動(dòng)中，教師先向?qū)W生展示一些精美的立體幾何模型示例，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)作熱情.同時(shí)，教師需要詳細(xì)講解制作過程中的注意事項(xiàng)和技巧，讓學(xué)生知道如何裁剪卡紙才能使正方體的各個(gè)面大小一致，如何連接吸管才能讓長方體的框架更加穩(wěn)固.在制作模型過程中，如果學(xué)生感到有困難，教師可以組織小組合作，將復(fù)雜的任務(wù)進(jìn)行分解，提高制作效率，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神.經(jīng)過教師的分工，有的學(xué)生負(fù)責(zé)準(zhǔn)備材料，有的學(xué)生負(fù)責(zé)設(shè)計(jì)圖形，有的學(xué)生負(fù)責(zé)實(shí)際制作，整個(gè)學(xué)習(xí)氛圍十分融洽.當(dāng)立體模型制作完成后，教師先讓學(xué)生將手工制作的模型與實(shí)際生活中的物體進(jìn)行對(duì)比，感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.再組織學(xué)生進(jìn)行展示和交流，介紹自己制作模型的思路、遇到的問題及解決方法，其他學(xué)生可以提出相應(yīng)的意見和建議，學(xué)生們互相啟發(fā).

2.實(shí)驗(yàn)探究模型

2.實(shí)際問題建模

在立體幾何教學(xué)中，引入實(shí)際建模問題，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新思維.教師可以聯(lián)系生活實(shí)際，提出一些具有啟發(fā)性的實(shí)際問題，如計(jì)算建筑物的高度、確定兩個(gè)物體之間的最短距離等，以引起學(xué)生的興趣，促使學(xué)生積極思考如何運(yùn)用立體幾何知識(shí)解決問題.接著，教師要引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，將學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合.例如，對(duì)于計(jì)算建筑物高度的問題，可以引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，通過建立直角三角形模型，利用已知條件和三角函數(shù)求解，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言和方法進(jìn)行描述和求解的能力.實(shí)際生活中問題大都可以通過將問題建模為立體幾何模型來求解.如計(jì)算一個(gè)倉庫的容積，把倉庫抽象為長方體、圓柱體等立體圖形是一種有效的方法.如果倉庫形狀接近長方體，測量長、寬、高后，根據(jù)長方體體積公式V=長×寬×高即可算出容積.此外，教師還可采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生們分組討論問題，共同建立模型并求解，分享彼此的思路和方法.這樣不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神，還能拓寬學(xué)生的思維視野，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

（四）拓展思維，創(chuàng)新模型

1.構(gòu)建多元模型

高中立體幾何問題往往具有多種解題途徑，通過構(gòu)建多元模型可以拓展學(xué)生的思維，降低立體幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)學(xué)生的自信心.在教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀察立體圖形，變換一種思維.例如，對(duì)于一個(gè)長方體，教師既可以讓學(xué)生從正面、側(cè)面、上面等常規(guī)角度觀察其形狀和特征，也可以讓學(xué)生從斜角或特定的視角去審視.通過這樣多角度觀察，學(xué)生就會(huì)更全面地認(rèn)識(shí)立體圖形.在此基礎(chǔ)上，教師就可以鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用多種方法構(gòu)建幾何模型.例如，在求解空間中兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法進(jìn)行判斷；也可以借助傳統(tǒng)的幾何定理，通過分析直線與平面的關(guān)系間接確定兩條直線的位置關(guān)系.對(duì)于求幾何體的體積問題，學(xué)生們不僅可以采用直接法，根據(jù)幾何體的形狀和已知條件直接計(jì)算體積，還可以運(yùn)用割補(bǔ)法，將復(fù)雜的幾何體分割成幾個(gè)簡單的幾何體或者通過補(bǔ)形的方式將其轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體求解體積.此外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際生活中的例子構(gòu)建模型.比如，建筑中的立體結(jié)構(gòu)、包裝盒子的形狀等，都可以作為立體幾何模型的來源.這樣不僅能讓學(xué)生更好地理解立體幾何知識(shí)，還能提高他們將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活的能力.

2.模型創(chuàng)新應(yīng)用

在高中立體幾何教學(xué)中，模型創(chuàng)新應(yīng)用是拓展學(xué)生思維的重要手段.一方面，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)的幾何模型進(jìn)行改造和創(chuàng)新.例如，對(duì)于常見的正方體模型，可以通過改變邊長比例、切割一部分或者在其表面添加一些特殊的圖形等方式，創(chuàng)造出不同的幾何模型.通過對(duì)這些創(chuàng)新模型的分析和求解，讓學(xué)生能夠更加深入地理解立體幾何的概念和定理，同時(shí)鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問題的能力.另一方面，教師可以將不同的幾何模型進(jìn)行組合和融合.例如，將圓錐和圓柱組合在一起，或者將球體與棱柱相結(jié)合，形成新的復(fù)雜幾何體，并要求學(xué)生分析這些組合模型的特征和性質(zhì)，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決相關(guān)的問題，以此來加深學(xué)生對(duì)各種幾何體的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力和創(chuàng)新意識(shí).此外，教師還可與現(xiàn)代科技相結(jié)合，為高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)帶來新的突破.例如，利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行立體幾何模型的構(gòu)建和演示，讓學(xué)生更加直觀地觀察幾何體的變化和性質(zhì)，或是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用編程的方法解決一些立體幾何問題等，培養(yǎng)他們的跨學(xué)科思維和創(chuàng)新能力.

（五）總結(jié)歸納，鞏固模型

1.梳理各類模型

在高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中，梳理各類模型能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)模型思想.在課堂教學(xué)的過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的立體幾何模型進(jìn)行分類整理.例如，將棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體分為一類，圓柱、圓錐、圓臺(tái)等旋轉(zhuǎn)體分為另一類.對(duì)于每一類模型，教師可以詳細(xì)講解其定義、性質(zhì)和特點(diǎn)，讓學(xué)生對(duì)不同類型的立體幾何模型有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí).然后，教師可以通過例題和習(xí)題的講解，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉各類模型的應(yīng)用.例如，在講解例題時(shí)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生分析問題中所涉及的立體幾何模型，然后鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用相應(yīng)的模型性質(zhì)和定理進(jìn)行求解.同時(shí)，教師還可以布置一些有針對(duì)性的習(xí)題，讓學(xué)生在練習(xí)中鞏固所學(xué)的知識(shí)，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題的能力.此外，教師可以利用多媒體教學(xué)手段，如展示立體幾何模型的圖片、動(dòng)畫等，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度觀察立體幾何模型，幫助學(xué)生更加直觀地理解各類模型，加深對(duì)模型的認(rèn)識(shí).此外，教師還可以在課堂上組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生們互相分享自己對(duì)各類模型的理解和認(rèn)識(shí)，共同解決遇到的問題，促進(jìn)學(xué)生間的交流和相互學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)習(xí)效果.

2.反思鞏固錯(cuò)題

在解決立體幾何問題的過程中，出錯(cuò)是在所難免的，而這些錯(cuò)誤往往是最好的教學(xué)資源，甚至?xí)蔀閷W(xué)生提高和創(chuàng)新的基石.教師在教學(xué)中要將錯(cuò)題資源充分利用起來，通過反思鞏固錯(cuò)題的方式，幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)模型思想.首先，教師可以指導(dǎo)學(xué)生建立錯(cuò)題本，將自己在立體幾何學(xué)習(xí)中做錯(cuò)的題目整理到錯(cuò)題本上，要求學(xué)生在整理錯(cuò)題時(shí)不僅要寫出正確的答案，還要分析自己做錯(cuò)的原因，以及題目中涉及的立體幾何模型和知識(shí)點(diǎn).其次，教師要定期組織學(xué)生復(fù)習(xí)錯(cuò)題本上的題目，引導(dǎo)學(xué)生再次分析錯(cuò)題，找出自己的薄弱環(huán)節(jié)，然后有針對(duì)性地進(jìn)行復(fù)習(xí)和鞏固.同時(shí)，教師可以讓學(xué)生將錯(cuò)題進(jìn)行分類整理，如按照模型類型、知識(shí)點(diǎn)等進(jìn)行分類，以便更好地掌握各類模型的應(yīng)用.最后，教師還可以利用錯(cuò)題進(jìn)行課堂教學(xué)，選取一些典型的錯(cuò)題進(jìn)行講解，讓學(xué)生分析錯(cuò)題中所涉及的立體幾何模型和知識(shí)點(diǎn)，然后引導(dǎo)學(xué)生找出正確的解題方法.通過這種方式，幫助學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)模型思想.此外，教師也要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生反思錯(cuò)題的習(xí)慣，鼓勵(lì)學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中每做完一道題目，都要思考一下自己的解題方法是否正確，是否還有其他更好的解題方法.

結(jié) 語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想是勢在必行的，它不僅提升了學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力，還讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的魅力與價(jià)值.在以后的教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該不斷創(chuàng)新教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生積極構(gòu)建立體幾何模型，將抽象的知識(shí)具體化，將煩瑣的知識(shí)簡單化，提高解題效率，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

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