【摘 要】本文結(jié)合人教版五上“植樹問題”一課開展學(xué)科實踐教學(xué)，以探究式學(xué)習(xí)引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維經(jīng)歷顯露、深化、拓界的過程性發(fā)展，從而實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】學(xué)科實踐 數(shù)學(xué)思維過程分析 植樹問題

學(xué)科實踐，意在突出學(xué)生對學(xué)科思想方法的體驗與學(xué)科探究活動的參與，實現(xiàn)知行合一、學(xué)思結(jié)合。將學(xué)科實踐應(yīng)用于課堂教學(xué)，能更充分地讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維經(jīng)歷顯露、深化、拓界的過程，促進其思維能力與品質(zhì)逐步提升。本文以人教版五上“植樹問題”的教學(xué)為例，探討教師在實施學(xué)科實踐教學(xué)時，如何創(chuàng)設(shè)具有探究性的問題及任務(wù)，并以此為載體深入分析學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程，從而真正有效地鍛煉學(xué)生的邏輯思維與理性思考的能力。

一、基于學(xué)科實踐的教學(xué)思考

“植樹問題”一課蘊含著豐富的邏輯思維與實際應(yīng)用價值。從五年級學(xué)生的思維特點來分析，雖然學(xué)生的抽象思維得到了初步的發(fā)展，但主要還是以形象思維為主。該階段的學(xué)生在教學(xué)前對棵數(shù)、間隔數(shù)以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系認識往往不到位，僅有少量的生活經(jīng)驗，缺乏對現(xiàn)象背后數(shù)學(xué)邏輯的深入思考。因此，我們教學(xué)“植樹問題”時，重點圍繞兩個策略。策略一：從圖形的同一性入手，把植樹問題的例題1及例題2合并，主要目的是利用圖形特性讓抽象的數(shù)學(xué)概念變得直觀，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維經(jīng)歷從形象思維到抽象思維的過渡。策略二：在探究式學(xué)習(xí)過程中借由“做中學(xué)”，讓學(xué)生強化辨析三種不同栽法的聯(lián)系與區(qū)別，促使其數(shù)學(xué)思維發(fā)生從直觀感知到理性分析的轉(zhuǎn)變，從而更好地滲透數(shù)學(xué)思想，建構(gòu)并運用數(shù)學(xué)模型。為此，我們基于學(xué)科實踐，設(shè)計出了以探究式學(xué)習(xí)為主線的課堂教學(xué)。

二、基于探究式學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計

1. 初探引猜想。

課件播放植樹節(jié)植樹視頻并出示問題：植樹節(jié)當天，學(xué)校要求同學(xué)們在一條全長20米的小路一邊進行植樹，每隔5米栽一棵，一共能栽多少棵樹？教師讓學(xué)生進行猜想，并匯報猜想結(jié)果。

2. 再探建模型。

（1）第一次實踐探究，驗證猜想。

教師根據(jù)學(xué)生反饋的不同猜想結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生進行第一次實踐探究。該探究要求學(xué)生選擇自己喜歡的方式把植樹的棵數(shù)表示出來。教師根據(jù)學(xué)生實踐探究后得出的結(jié)果進行板書。借助數(shù)形結(jié)合，學(xué)生用一一對應(yīng)的思想方法初步得到三種不同栽法中棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系。

（2）第二次實踐探究，建構(gòu)模型。

教師出示問題：如果20米是這樣，其他長度的小路中棵數(shù)和間隔數(shù)還會有這樣的關(guān)系嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生進行第二次實踐探究。該探究要求學(xué)生選擇不同的數(shù)據(jù)探究棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。3組不同的數(shù)據(jù)分別是：總長12米，間距4米；總長15米，間距3米；總長18米，間距6米。學(xué)生通過對上述數(shù)據(jù)進行計算并分類整理，得到不同栽法中棵數(shù)與間隔數(shù)的規(guī)律，建構(gòu)了植樹問題模型。

3. 深探重素養(yǎng)。

教師出示生活中與植樹問題有關(guān)的現(xiàn)象，學(xué)生在幾種不同類型的植樹問題中運用數(shù)學(xué)模型并加以解決。（圖略）

（1）“看得見”真的樹。

同學(xué)們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹？

（2）“看得見”假的樹。

這件衣服上有7個間隔，共有（" ）顆紐扣。

（3）“看不見”卻能想象的樹。

一根木頭平均分成5段，需要鋸幾次？

（4）“看不見”卻能聽到的樹。

大擺鐘5時敲響5下，8秒鐘敲完。請問相鄰兩次鐘聲間隔多少秒？

三、基于數(shù)學(xué)思維過程的具體分析

1. 初探引猜想，讓數(shù)學(xué)思維顯露。

課始階段以學(xué)生熟悉的植樹活動作為情境導(dǎo)入，并提出帶有探究性的數(shù)學(xué)問題，充分調(diào)動學(xué)生的探究欲望，引發(fā)深度思考。猜想的過程即學(xué)生思維顯露的過程，多樣的猜想結(jié)果表明學(xué)生正嘗試從不同的角度去思考問題，探索不同的解決方法。從學(xué)生顯露的數(shù)學(xué)思維來進行過程性分析，學(xué)生在匯報猜想結(jié)果時，基本都在反饋語言中使用“可能”“也許”等不太準確的詞進行描述，少有學(xué)生能說出猜想依據(jù)，這在一定程度上揭示了其當前的思維水平正處于較模糊的初級階段。因此，教師需要根據(jù)反饋情況，把握學(xué)生的知識掌握情況和思維特點，從而更有針對性地引導(dǎo)學(xué)生進行下一階段的探究學(xué)習(xí)，促使學(xué)生思維向深處邁進。

2. 再探建模型，促數(shù)學(xué)思維深入。

所謂思維深入，是指通過特定的策略或方法，促使學(xué)生在探究過程中對知識產(chǎn)生更深層次的思考與理解。為此，本課設(shè)計了兩個實踐探究任務(wù)，分別對應(yīng)思維優(yōu)化與思維聚焦。同時，教師需做好學(xué)生思維過程分析，掌握學(xué)生思維發(fā)展動態(tài)，推動學(xué)生思維的深度發(fā)展。

第一個探究任務(wù)旨在思維優(yōu)化。在此探究過程中，學(xué)生前后經(jīng)歷了三次數(shù)學(xué)思維優(yōu)化。第一次體現(xiàn)在操作驗證階段。學(xué)生依據(jù)自己的猜想，把思維過程以操作活動的形式加以呈現(xiàn)，如畫圖、計算、實物操作等，這是個體思維的具象表現(xiàn)。第二次體現(xiàn)在方法整合階段。通過四人小組合作交流，上臺板演說理，學(xué)生意識到只要符合邏輯，同一個問題就可以存在不同的解題思路，也可以存在不同的可能情況，這是集體思維的碰撞。第三次體現(xiàn)在思想滲透階段。通過教師的層層追問“你能結(jié)合圖形說清算式的道理嗎”“為什么植樹情況會有不同”等，學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的幫助下運用“一一對應(yīng)”思想建立了算式與圖形的聯(lián)系，并初步揭示棵數(shù)與間隔數(shù)之間的三種不同關(guān)系，這意味著學(xué)生的形象思維已經(jīng)向抽象思維逐步過渡。

第二個探究任務(wù)意在促使學(xué)生思維聚焦于植樹問題核心規(guī)律的探索與模型建構(gòu)，實現(xiàn)從形象思維到抽象思維的跨越。本次的探究目的更加明確與具體，通過呈現(xiàn)不同數(shù)據(jù)，要求學(xué)生不借助畫圖與實物拼擺，使用具備一定抽象性的算式進行推理論證，以此進一步強化學(xué)生的抽象思維與邏輯思維。學(xué)生在完成探究任務(wù)后，基本能夠根據(jù)不同數(shù)據(jù)與栽種情況快速列出對應(yīng)的算式，并能按思維邏輯說清列算式的依據(jù)，這意味著學(xué)生已經(jīng)能夠深入對植樹問題核心規(guī)律的探索。最后，學(xué)生再以整合歸納的形式用數(shù)學(xué)語言概括出植樹問題中三種不同栽法棵數(shù)與間隔數(shù)的規(guī)律，成功建構(gòu)了植樹問題模型。

3. 深探重素養(yǎng)，拓數(shù)學(xué)思維邊界。

植樹問題的本質(zhì)是建構(gòu)描述間隔數(shù)與物體（棵數(shù)）關(guān)系規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在探究過程中，不僅要完成模型建構(gòu)，更要學(xué)會利用數(shù)學(xué)模型嘗試解決生活中的實際問題，拓展數(shù)學(xué)思維的邊界，這樣才能真正體現(xiàn)出數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價值。因此，在學(xué)生經(jīng)由兩次探究任務(wù)成功建構(gòu)植樹問題模型后，教師借助多樣化的生活素材，進一步打通植樹問題模型與生活的聯(lián)系，讓學(xué)生在看、想、聽、做等多維體驗下對探究任務(wù)進行分析、抽象與感悟。在探究第四種類型“‘看不見’卻能聽到的樹”時，學(xué)生雖只是通過耳朵傾聽有規(guī)律的鐘聲，但內(nèi)心已經(jīng)聯(lián)想到植樹問題模型，分析出此種類型符合植樹問題中兩端都栽的情況。其實，當學(xué)生能夠根據(jù)實際情況快速做出問題分析并正確運用模型時，意味著模型思維已經(jīng)成功融入學(xué)生的思維過程，實現(xiàn)了從直觀感知到理性分析的轉(zhuǎn)變。

（作者單位：福建省廈門實驗小學(xué) 福建省廈門市教育科學(xué)研究院附屬小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬）

［1］彭先慧. 在整體建構(gòu)中促進模型意識的形成——以《植樹問題》教學(xué)為例［J］. 湖北教育（教育教學(xué)），2024（01）：83-84.

［2］呂世虎，吳振英. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及其體系構(gòu)建［J］. 課程·教材·教法，2017，37（09）：12-17.

本文系福建省廈門市第六批基礎(chǔ)教育課程改革課題“學(xué)科實踐融入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式實踐研究”（立項編號：X614）的研究成果。