有些函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)雖有零點(diǎn)，但我們根據(jù)題目中的條件無法求出該零點(diǎn)的準(zhǔn)確值，這類零點(diǎn)被稱為隱零點(diǎn).隱零點(diǎn)問題的難度一般較大，我們需靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、圖象，以及方程、不等式、導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，才能順利獲得問題的答案.下面主要介紹解答隱零點(diǎn)問題的三個(gè)“妙招”.

一、整體代換

在無法求得隱零點(diǎn)的值時(shí)，我們往往可以根據(jù)題意建立關(guān)于隱零點(diǎn)的關(guān)系式，這樣就可以用該關(guān)系式進(jìn)行整體代換，從而使問題獲解.

例1.設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx.（1）討論函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：當(dāng)agt;0時(shí)，f（x）≥2a+a ln.

解：

根據(jù)題意可得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)x0滿足e2x0=，于是將其變形為ln x0=ln-2x0，并代入函數(shù)式中，通過整體代換求得問題的答案.在進(jìn)行整體代換時(shí)，要注意將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，避免對隱零點(diǎn)取值范圍進(jìn)行討論.

二、二次求導(dǎo)

如果通過一次求導(dǎo)無法確定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的取值范圍，就可以嘗試進(jìn)行二次求導(dǎo)，通過研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和最值，來確定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的取值范圍或建立有關(guān)隱零點(diǎn)的關(guān)系式.

例2.設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2，若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍.

解：因?yàn)閒（x）=ex-1-x-ax2，f′（x）=ex-1-2ax.令g（x）=ex-1-2ax，則g′（x）=ex-2a，設(shè)其零點(diǎn)為x0.

因?yàn)閤≥0，所以ex≥1.當(dāng)a≤時(shí)，g′（x）≥0，則g（x）在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，故g（x）≥g（0）=0，則f′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，可得f（x）≥f（0）=0.當(dāng)agt;時(shí)，若x∈（0，x0），則g′（x）lt;0，所以g（x）在（0，x0）內(nèi)單調(diào)遞減，所以g（x）lt;g（0）=0，則f′（x）lt;0，所以f（x）在（0，x0）內(nèi)單調(diào)遞減，則f（x）lt;f（0）=0，不符合題意.所以a的取值范圍是（-∞，].

對于該導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，我們不易將其表示出來，需通過二次求導(dǎo)求得導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、最值，從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后將其作為函數(shù)的極值點(diǎn)，就能快速求得函數(shù)的最小值.

三、等價(jià)轉(zhuǎn)化

對于較為復(fù)雜的隱零點(diǎn)問題，我們可以根據(jù)零點(diǎn)的定義建立方程，并據(jù)此構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，方程的根的問題，不等式問題，通過研究新函數(shù)的圖象、性質(zhì)，利用零點(diǎn)存在性定理，求得問題的答案.

例3.已知函數(shù)f（x）=xlnx，（1）證明：f（x）≥-；（2）已知函數(shù)g（x）=-x2+x-k，若對區(qū)間[，1]上任意x均有f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值.

解：

我們先將不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)h（x），將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為k≤h（x）min；然后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理確定隱零點(diǎn)的個(gè)數(shù)和范圍，即可快速確定函數(shù)h（x）的最小值.

上述三種方法都是解答隱零點(diǎn)問題常用的方法.在解題時(shí)，同學(xué)們要抓住隱零點(diǎn)的特征，建立有關(guān)隱零點(diǎn)的關(guān)系式，借助函數(shù)的性質(zhì)、零點(diǎn)存在性定理，順利求得問題的答案.

（作者單位：山西省陽泉市第一中學(xué)校）