關鍵詞：高中數(shù)學；跨學科；案例研究

中圖分類號：G623.56 文獻標識碼：B 文章編號：1673-4289（2024）12-0056-04

一、課前學習任務

（1）閱讀人教A版必修第一冊第五章“三角函數(shù)”章末的“閱讀與思考”，了解音的四要素；

（2）以小組為單位，查閱相關資料，結合以下問題，設計一個將聲波可視化的實驗方案，并分工合作自制實驗模型，完成實驗。

①設計怎樣的裝置，能夠觀察到聲波，使聲波能夠看得見？

②選擇什么樣的介質可將聲音的振動可視化？

③為方便觀察，有沒有什么方法可放大物體的振動？

（3）請各小組組長將聲波可視化的設計方案、實驗過程錄制成視頻，在課前給同學們展示。

設計意圖：將閱讀與思考延伸到課前，讓學生有充裕的閱讀與思考時間和空間；通過查閱資料以及設計的問題串啟發(fā)學生回顧聲音的產生與傳播，思考聲波可視化方案，小組合作自制實驗器材，增強學生的動手能力和學習興趣，提升邏輯推理、數(shù)學抽象等素養(yǎng)。

二、課中活動設計

環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境，提出問題

問題1聲音是由于物體的振動產生的能引起聽覺的波。聲波是什么形態(tài)的呢？它有什么變化規(guī)律？

小組成果展示

實驗一：聲波可視化實驗

實驗器材：紙杯、平面鏡、激光筆、氣球膜、橡皮圈，音響。

實驗方案：

（1）將紙杯的底面取下，在一側底面繃上氣球膜，并用橡皮圈固定好；

（2）將平面鏡用膠水固定在氣球膜上；

（3）用激光筆照射平面鏡，使光反射到光屏上；

（4）對紙杯的另一端播放音樂，由于聲波震動，帶動光屏上的亮點也上下波動，即形成波；

（5）改變音樂聲音的大小，觀察波的變化；改變樂器，觀察波的變化。

實驗設計圖：

實驗結論：音樂聲音變大，振幅越大，波動越大；聲音越尖利，振動的頻率越高，聲音越低沉，振動的頻率越低。

音樂由很多聲音組成，每一個音又由多個純音合成，所以我們可以先從研究純音的波形圖開始。

追問：單獨敲擊一個音叉，大家看一下又有什么現(xiàn)象呢？

設計意圖：通過小組合作完成聲波可視化實驗，初步感受和觀察聲波的形態(tài)，教師與學生共同探討，幫助學生完善實驗。音樂的聲波形態(tài)很復雜，引導學生研究類比簡諧運動，從最簡單的純音開始。

環(huán)節(jié)二 建立模型，評價模型

問題2請同學們設計建立發(fā)聲體振動離開平衡位置的位移隨時間變化的函數(shù)模型的方案。

設計意圖：在綜合的情境中，將聲音的振動轉化為研究物體振動離開平衡位置的位移與時間變化的數(shù)學問題，通過設計建模方案，將實際問題數(shù)學化，從而提高學生數(shù)學建模、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)。

實驗二：純音的傳播實驗

實驗器材：安裝phyphox軟件、電腦、手機、音叉、橡皮錘。

問題3利用phyphox軟件，收集音叉振動離開平衡位置的位移隨時間變化的數(shù)據(jù)，完成以下問題：

（1）利用Excel軟件或GeoGebra軟件作出散點圖；

（2）選擇一個函數(shù)來近似描述音叉振動離開平衡位置的位移與時間的關系，觀察并嘗試求出相應的解析式；

（3）如果你選擇的是三角函數(shù)模型，請求出振幅、周期、頻率、相位、初相。

設計意圖：通過實踐操作，讓學生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、初步建模的基本過程，并通過Excel軟件和GeoGebra軟件的應用，讓學生體會到信息技術在數(shù)學建模中的作用。

預案二 GeoGebra軟件擬合，正弦型函數(shù)模型、多項式函數(shù)模型

追問1 正弦型函數(shù)與多項式函數(shù)都能很好地擬合這組數(shù)據(jù)，這是為什么呢？他們之間有聯(lián)系嗎？

多項式函數(shù)是三角函數(shù)的泰勒展開式

追問2隨著數(shù)據(jù)點的增多，哪個函數(shù)模型擬合的效果相對更好？

預案三GeoGebra軟件擬合，不同小組不同的正弦型函數(shù)模型

追問3 同樣選擇正弦型函數(shù)來擬合這組數(shù)據(jù)，不同的小組卻得到了不同的解析式，你認為三個小組建立的模型有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

追問4 三個小組建立的模型中，對應的周期和頻率幾乎是相同的，這是為什么呢？

追問5 三個小組建立的模型中，初相和振幅都不相同，你認為這是什么原因造成的呢？

周期和頻率：使用的都是同頻率的音叉。

初相：由起點位置決定，當各個小組計時起點不同時就會導致初相不一樣。

振幅：是物體離開平衡位置的最大距離，由于不同小組敲擊的力度不同，所以導致振幅也不同。敲擊的力度越大，振幅越大，聲音的響度也就越大，因此振幅的大小決定了聲音響度的大小。

追問6 在幾何畫板中作出模型的圖象，聽聽函數(shù)發(fā)出的聲音和音叉發(fā)出的聲音有什么關聯(lián)。

以物體振動的平衡位置且向正方向振動為計時起點，純音的數(shù)學模型就是三角函數(shù)y=Asin （ωχ），（Agt;0，ωgt;0），函數(shù)是聲音的一種數(shù)學化的模型。

設計意圖：通過對比不同小組的不同函數(shù)模型，讓學生體會模型選擇的多樣性，經(jīng)歷用數(shù)學軟件建立模型的過程。數(shù)學模型的確立不能僅僅停留在數(shù)據(jù)分析和擬合上，必須有聯(lián)系實際的數(shù)學推導，從而增強模型的數(shù)學內涵，通過引導學生對比，認識正弦函數(shù)模型中參數(shù)的意義。

環(huán)節(jié)三應用模型，解釋原理

1.探究一

音調、響度與ω，A，（Agt;0，ωgt;0）的關系

振幅的大小決定了聲音響度的大??；ω=2π·f，知道頻率對聲音的影響，就知ω對聲音的影響了。

問題4 純音do、re、mi的頻率分別為264、297、330，讓振幅A都取為1，大家能否直接說出這三個純音對應的數(shù)學函數(shù)模型呢？讓我們一起來聽一下這三個函數(shù)所發(fā)出聲音的音調有什么區(qū)別。

頻率越高，聲音越尖利，頻率越低，聲音更低沉。

追問1是否是所有的聲音都有如此規(guī)律呢？

實驗結果：頻率越高，聲音越尖利，頻率越低，聲音更低沉，聲音的頻率與參數(shù)ω成正比，所以ω決定聲音的音調，ω越小，聲音音調越低沉，ω越大，聲音音調越尖利。

設計意圖：利用幾何畫板從特殊到一般，讓學生對比感受不同頻率的正弦波發(fā)出的聲音之間的差別，發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型中的參數(shù)ω對聲音的音調的影響。

2.探究二音長、音色與函數(shù)模型的關系

問題5 現(xiàn)在，我們知道音調和響度與正弦函數(shù)的參數(shù)ω和A有關，那聲音的音長呢？受什么影響呢？

追問1 既然三角函數(shù)模型能夠發(fā)出非常標準的對應聲波頻率的聲音，我們能否調整模型，使它像真實樂器一樣，模擬出聲音漸弱的效果呢？

方案一：限定它的定義域

限定函數(shù)的定義域，的確可讓聲音在規(guī)定的時間內停止，但聲音是戛然而止的，聽起來沒有任何感情。

方案二：聲音逐漸減弱，振幅就逐漸變小，因此可以給正弦函數(shù)乘一個遞減的函數(shù)

追問2 在我們學過的函數(shù)模型中，你認為那個函數(shù)更合適體現(xiàn)聲音漸弱的效果呢？

預案一：y=1/x

追問3 聲音的確逐漸在減小，但一開始的聲音很大，這是為什么呢？能否再優(yōu)化模型，保持初始狀態(tài)的響度不變？

預案二：y=（1/2）^x

追問4 聲音是從最初的響度開始減弱，但聽起來音長比較長，如果想讓音長再短一些，減弱的速度再快一點，可以怎樣調整呢？

預案三：y=（1/5）^x

設計意圖：通過層層遞進的問題串，引導學生調整模型、優(yōu)化模型，并應用函數(shù)模型模擬聲音漸弱的效果，讓學生在優(yōu)化函數(shù)模型的過程中，提高思維的嚴密性，體會音長與三角函數(shù)模型的關系。

問題6 現(xiàn)在，我們發(fā)現(xiàn)聲音的三個要素都和函數(shù)模型有密切關系，那最后一個要素音色呢，大家覺得它和函數(shù)模型有關嗎？

著名數(shù)學家傅里葉發(fā)現(xiàn)周期函數(shù)可表示成正弦函數(shù)之和。因此，所有的樂音都可由正弦波疊加而成，當疊加不同頻率、振幅、相位的音時，聽到的聲音的音色也不一樣。下面我們一起感受一下函數(shù)圖象疊加的效果。

正弦波可疊加出方波、鋸齒波等，將具有周期的各個系數(shù)以及分別乘適當?shù)南禂?shù)再加起來，更換這些系數(shù)，就可以得到各種不同形狀的波，周期函數(shù)也就能夠產生各種美妙的音樂。

設計意圖：將純音一個一個疊加上去，讓學生在看到波形曲線一條一條增加的同時，聽聲音從一個單音逐漸變化、不斷接近，最后變成最開始聽到的復合音的神奇過程，讓學生從視覺和聽覺的角度去直觀感受函數(shù)疊加對音色的影響。

音的四要素與三角函數(shù)模型y=A sin（ωχ），（Agt;0，ωgt;0）的關系：

音調與聲波振動的頻率有關即與ω有關；響度與振幅有關；音長與發(fā)音體振動的持續(xù)時間有關，可以通過對函數(shù)進行組合制造聲音漸弱的效果；音色與函數(shù)疊加有關。

環(huán)節(jié)四 歸納提升，反思小結

問題7通過今天的學習，你了解了音的四要素和三角函數(shù)的關系了嗎？能否用自己的語言來歸納概括我們探索純音數(shù)學模型的研究路徑和思想方法？

研究路徑：觀察猜想→設計方案→實驗驗證→收集數(shù)據(jù)→建立模型→求解模型→應用模型。

數(shù)學知識：純音的數(shù)學模型、音的四要素和三角函數(shù)的關系。

數(shù)學方法：類比、數(shù)形結合、抽象概括。

數(shù)學思想：特殊到一般、數(shù)形結合、轉化與化歸。

設計意圖：在充分體驗的基礎上，通過反思、總結建構三角函數(shù)模型解決實際問題的基本思路與方法，提升學生的數(shù)學思維，發(fā)展數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算等素養(yǎng)。

三、課后拓展應用

（一）綜合應用

（1）嘗試利用幾何畫板，根據(jù)以下音階對應頻率自制音階，并通過幾何畫板制作的音階來制作一首自己喜歡的音樂。

（2）查閱相關資料，了解數(shù)學在音樂中的其他應用，比如，音樂中的黃金分割比例，音階與數(shù)學，音樂節(jié)拍與斐波那契數(shù)列等，感受數(shù)學的魅力。

設計意圖：課后讓學生利用幾何畫板制作自己喜歡的音樂，并查閱相關資料，了解數(shù)學在音樂中的其他應用，體會數(shù)學的應用價值，感受數(shù)學的魅力，提高數(shù)學學習的熱情。

（二）拓展探索

請同學們以小組為單位，完成純音物體振動的位移隨時間變化規(guī)律的研究報告，并準備下節(jié)課的結題交流和答辯。

通過以上跨學科教學的原則、表達形式和具體案例的探究，可以看出新課程背景下高中數(shù)學跨學科教學的有效性和多樣性。