摘要：靜電場(chǎng)是“電磁學(xué)”課程的主要內(nèi)容板塊，靜電場(chǎng)的高斯定理是靜電場(chǎng)的核心內(nèi)容。靜電場(chǎng)的高斯定理的證明過程有助于學(xué)生對(duì)該定理的接受、理解和應(yīng)用，本文提出了一種新的證明該定理的方法，該方法順承球形高斯面的特例而推導(dǎo)，貼合學(xué)生的思維而更易于被他們接受，同時(shí)，還對(duì)教學(xué)中該定理是否必需、是否只適用于電荷對(duì)稱分布和能否反推庫侖定律等理解難點(diǎn)，以及應(yīng)用該定理求解對(duì)稱分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度的流程展開了探討和總結(jié)，所得結(jié)果對(duì)改進(jìn)靜電場(chǎng)高斯定理的教學(xué)有參考意義。

關(guān)鍵詞：電磁學(xué)；靜電場(chǎng)；高斯定理；電通量；物理教學(xué)

中圖分類號(hào)：O441.1；G642文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

“電磁學(xué)”課程中靜電場(chǎng)的高斯定理屬于該課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)。重點(diǎn)而言，一方面，它是有介質(zhì)存在時(shí)的高斯定理的基礎(chǔ)，也在處理導(dǎo)體存在時(shí)的靜電場(chǎng)問題中起著關(guān)鍵作用；另一方面，它是麥克斯韋方程組中四個(gè)方程之一，是處理一般電磁問題的基礎(chǔ)。難點(diǎn)而言，從庫侖定律到電場(chǎng)強(qiáng)度，相對(duì)于中學(xué)“電磁學(xué)”而言，連貫性還比較好，但從庫侖定律到高斯定理，相對(duì)于中學(xué)“電磁學(xué)”則具有一定的進(jìn)階性，學(xué)生掌握起來常常遇到各種各樣的困難，這些困難對(duì)于不同的學(xué)生可能來自于證明、理解、接受和應(yīng)用等各個(gè)環(huán)節(jié)。因此，靜電場(chǎng)高斯定理的教學(xué)引起了較廣泛的研究［15］，但該定理的證明、理解和應(yīng)用等仍有值得探討之處。

1靜電場(chǎng)高斯定理的表述

靜電場(chǎng)高斯定理的內(nèi)容可表述為：靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度在任意閉曲面上的通量等于閉曲面內(nèi)包圍的電荷的電量代數(shù)和除以ε0。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

SE→·ds→=∑iqiε0（1）

其中qi表示閉曲面S內(nèi)第i個(gè)電荷的電量，面元ds→指向閉曲面的外部，閉曲面S又稱為高斯面。

2靜電場(chǎng)高斯定理的證明

高斯定理的證明大致有三種方法，第一種是利用電場(chǎng)線起于正電荷（或無窮遠(yuǎn)），止于負(fù)電荷（或無窮遠(yuǎn)），在無電荷處不中斷的性質(zhì)［6］，這種方法直觀形象，但邏輯上有問題，因?yàn)殡妶?chǎng)線的這個(gè)性質(zhì)一般要通過高斯定理推出，因而可能構(gòu)成了循環(huán)論證。第二種是利用面積投影以及空間立體角，利用面積的投影和立體角［7］，比較簡明，但學(xué)生在理解投影和立體角時(shí)，由于這個(gè)面積微元的投影與宏觀上面積的投影不太完全對(duì)應(yīng)，并且是曲面微元到曲面微元的投影，加上第一次接觸立體角，感覺隔膜。第三種方法，數(shù)學(xué)上較為嚴(yán)格，但會(huì)用到散度和數(shù)學(xué)上的高斯公式［8］，學(xué)生在大學(xué)二年級(jí)第一學(xué)期學(xué)習(xí)“電磁學(xué)”時(shí)，這兩個(gè)內(nèi)容還沒有學(xué)到或掌握不好。我們提出下面新的證明方法，比較貼合學(xué)生的思維，易于學(xué)生接受。

2.1點(diǎn)電荷在球形高斯面球心

設(shè)電量為q的點(diǎn)電荷位于球形高斯面的球心，如圖1所示，球面半徑為r。在（r，θ，φ）處取面積元ds=r2sinθdθdφ，它的法線指向球面外，可知為e→r。球面上（r，θ，φ）處的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

E→=q4πε0r2e→r（2）

此時(shí)，面積元ds的通量為：

E→·ds→=q4πε0r2e→r·r2sinθdθdφe→r=q4πε0sinθdθdφ（3）

可見該通量與半徑r無關(guān)。整個(gè)高斯面上的通量為：

SE→·ds→=Sq4πε0sinθdθdφ=q4πε0∫2π0dφ∫π0sinθdθ=qε0（4）

即點(diǎn)電荷位于球形高斯面的球心時(shí)，高斯定理成立。點(diǎn)電荷不在球形高斯面球心時(shí)可歸到以下一般閉曲面情況。

2.2點(diǎn)電荷在一般閉曲面的高斯面內(nèi)

當(dāng)點(diǎn)電荷q位于一般閉曲面的高斯面S內(nèi)部時(shí)，如圖2所示，我們以點(diǎn)電荷q為球心，作一個(gè)半徑較小的球形高斯面S′，該球形高斯面S′完全處于閉曲面S的內(nèi)部，并以點(diǎn)電荷q為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。此時(shí)，球形高斯面S′與原來的一般閉曲面S中間形成一個(gè)夾層形的空間區(qū)域，這個(gè)區(qū)域內(nèi)不包含點(diǎn)電荷q，因而沒有電荷。

對(duì)于點(diǎn)電荷q在該夾層區(qū)域內(nèi)的電通量，從q位于球形高斯面的球心時(shí)的情況可以看出，對(duì)半徑為r以及半徑為r+dr的球形高斯面，點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)的通量都為qε0，即半徑為r以及半徑為r+dr的球面間的夾層空間的電場(chǎng)通量為零。因而，由球?qū)ΨQ性，對(duì)于如圖3所示半徑為r和r+dr間的每個(gè)體積元r2sinθdθdφdr，點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)在其表面上的通量為0，因?yàn)檎麄€(gè)r和r+dr間的夾層可看作是由這些體積元組成的。也就是說，在以點(diǎn)電荷q為坐標(biāo)原點(diǎn)的球坐標(biāo)系中，點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)對(duì)于任意不包含該點(diǎn)電荷的體積元r2sinθdθdφdr的表面的通量為零。這由（3）式，并考慮到體積元四個(gè)側(cè)面與徑向平行也可得知。

對(duì)于球形高斯面S′與一般閉曲面S中間的夾層區(qū)域，從數(shù)學(xué)上求體積的過程中可知，它的體積可由體積元r2sinθdθdφdr積分而成，也就是說，該夾層空間區(qū)域可由體積元r2sinθdθdφdr堆砌而成。這樣，點(diǎn)電荷的電場(chǎng)在每個(gè)體積元的表面的通量都為零，因而在整個(gè)夾層空間區(qū)域的表面通量為零，而夾層空間的表面由S和S′構(gòu)成，若取S′的法線方向朝向夾層，而背離電荷q，S的法線背離夾層和電荷q，則有：

S+S′E→·ds→=E→·ds→+SE→·-ds→=0（5）

由點(diǎn)電荷q位于球形高斯面球心時(shí)的情況，且S與S′均為閉曲面，可得：

SE→·ds→=E→·ds→=qε0（6）

即點(diǎn)電荷q位于一般曲面高斯面的內(nèi)部時(shí)，高斯定理也成立。

對(duì)于點(diǎn)電荷在一般閉曲面外以及點(diǎn)電荷體系和連續(xù)帶電體的情況的證明，限于篇幅，可參照文獻(xiàn)［7］的方法處理。

3靜電場(chǎng)高斯定理的理解

3.1為什么需要高斯定理？

由庫侖定律和疊加原理，原則上可以求解已知電荷分布情況下的電場(chǎng)，高斯定理屬于求電場(chǎng)的簡便方法，從物理上看似乎不必要。但是，由高斯定理可以根據(jù)電場(chǎng)分布計(jì)算電荷分布，而直接由庫侖定律和疊加原理卻難以做到，并且對(duì)于不少情況，由高斯定理可以得到的結(jié)果，直接由庫侖定律和疊加原理卻難以得到，例如，靜電平衡導(dǎo)體的許多性質(zhì)和場(chǎng)強(qiáng)的邊值關(guān)系等。此外，“電磁學(xué)”研究的重心是“場(chǎng)”，而對(duì)于“場(chǎng)”的研究，需要確定“場(chǎng)”的通量和環(huán)流，在考察“場(chǎng)”的通量時(shí)自然演化到高斯定理。最后，麥克斯韋將靜電場(chǎng)的高斯定理推廣到時(shí)變電場(chǎng)情形，它成了電磁場(chǎng)理論的一塊基石，對(duì)整個(gè)物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重大影響，并對(duì)人類社會(huì)的發(fā)展產(chǎn)生了劃時(shí)代的影響。

3.2高斯定理只適用于電荷對(duì)稱分布的情況嗎？

教材上應(yīng)用高斯定理求電場(chǎng)的例題，均是針對(duì)電荷分布具有對(duì)稱性或可以轉(zhuǎn)化成具有對(duì)稱性的情況，而電荷分布不對(duì)稱時(shí)求不出場(chǎng)強(qiáng)，因此，同學(xué)們得出“高斯定理只適用于電荷對(duì)稱分布的情況”的結(jié)論。這個(gè)結(jié)論當(dāng)然不正確，從高斯定理的證明過程可看出，它的成立與電荷分布對(duì)稱與否無關(guān)，因此，高斯定理在電荷分布不對(duì)稱時(shí)也適用。只是當(dāng)電荷分布不對(duì)稱時(shí)，單獨(dú)應(yīng)用高斯定理一般求不出場(chǎng)強(qiáng)，但結(jié)合靜電場(chǎng)的環(huán)路定理再加上適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件可以求出。并且對(duì)于個(gè)別電荷分布不對(duì)稱的情況，單獨(dú)應(yīng)用高斯定理也可求出電場(chǎng)，如靜電平衡導(dǎo)體外緊靠導(dǎo)體表面處的電場(chǎng)。

3.3高斯定理可以推導(dǎo)出庫侖定律嗎？

靜電場(chǎng)的高斯定理是從庫侖定律推導(dǎo)出來的，那么，可不可以從高斯定理推導(dǎo)出庫侖定律呢？答案是肯定的。對(duì)點(diǎn)電荷應(yīng)用高斯定理，并考慮到球?qū)ΨQ性（點(diǎn)電荷看作微小球或微小球體），以點(diǎn)電荷為球心作一個(gè)球形高斯面可以推出點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)，再由電場(chǎng)強(qiáng)度的定義可以得到庫侖定律。甚至有將高斯定理作為公理以建立靜電場(chǎng)的理論體系［9］。

4靜電場(chǎng)高斯定理的應(yīng)用

應(yīng)用高斯定理處理靜電場(chǎng)問題有已知電荷分布求場(chǎng)強(qiáng)和已知場(chǎng)強(qiáng)求電荷分布兩類，“電磁學(xué)”課程主要關(guān)注前者。下面通過兩個(gè)電荷分布對(duì)稱的例子，總結(jié)這種問題的求解思路。

例1：如圖4所示，真空中某帶電球體的半徑為R，所帶電量為Q，電荷均勻分布在球體內(nèi)，求球體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：由于電荷分布具有球?qū)ΨQ，對(duì)于點(diǎn)P，其電場(chǎng)強(qiáng)度方向因上下兩半徑球電場(chǎng)矢量疊加將沿徑向e→r。由此，作與球體同心的球形高斯面，如圖4中的S＇和S。當(dāng)r＞R時(shí)：

SE→·dS→=E·4πr2=qε0（7）

可得E→=q4πε0r2e→r。

當(dāng)r＜R時(shí)：

S′E→·dS→=E·4πr2=Q4πR3/3·4πr3/3（8）

可得E→=qr4πε0R3e→r。

例2：如圖5所示，真空中無限大均勻帶電平面，電荷面密度為σ，求平面外各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：由對(duì)稱可知，平面外任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向與平板垂直，并且場(chǎng)強(qiáng)在到平板距離相等處的大小均相等。作如圖5所示的高斯面：與帶電平板垂直且底面積為ΔS和ΔS＇圓柱面S。柱面的側(cè)面與場(chǎng)強(qiáng)處處平行，無電通量，只有底面的電通量，故：

SE→·dS→=EΔS+E′ΔS′=2EΔS=1ε0σΔS（9）

可得E→=σ2ε0e→n。

從上面兩例題可知，應(yīng)用高斯定理求對(duì)稱分布電荷的場(chǎng)強(qiáng)的思路是：通過選取適當(dāng)?shù)母咚姑?，使高斯面全部與場(chǎng)強(qiáng)垂直，或一部分與場(chǎng)強(qiáng)垂直，一部分與場(chǎng)強(qiáng)平行，而與場(chǎng)強(qiáng)垂直部分高斯面上的場(chǎng)強(qiáng)處處大小相等，從而構(gòu)成如下流程：

SE→·dSE→與S處處垂直SEdSS上場(chǎng)強(qiáng)處處相等ESdS=ES=1ε0∑iqi（10）

將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟾咚姑娴拿娣e和高斯面內(nèi)的電荷，從而得出E→。

結(jié)語

本文提出了一種新的證明高斯定理的方法，該方法順應(yīng)球形高斯面的特例，貼合學(xué)生的思路，更易獲得學(xué)生的認(rèn)同和接受。同時(shí)，對(duì)靜電場(chǎng)的高斯定理的理解中的疑難點(diǎn)進(jìn)行了剖析。此外，通過兩個(gè)例題，概括了應(yīng)用高斯定理求對(duì)稱分布電荷的場(chǎng)強(qiáng)的流程。

參考文獻(xiàn)：

［1］馮金明，馬會(huì)芳，李甜甜.學(xué)生理解高斯定理的困難、成因及應(yīng)對(duì)策略［J］.物理與工程，2022，32（05）：2533.

［2］彭婷，吳維寧，蔡亞璇.電磁學(xué)高斯定理學(xué)習(xí)狀況的研究［J］.教育教學(xué)論壇，2020，6（26）：334335.

［3］高景霞，張洋洋，張金平，等.關(guān)于大學(xué)物理中“靜電場(chǎng)的高斯定理”教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.科技視界，2018，8（15）：4648.

［4］何偉巖.用高斯定理計(jì)算無限大平板間電場(chǎng)強(qiáng)度［J］.廣西物理，2017，38（Z1）：3740.

［5］路俊哲，武盼盼，柏云鳳，等.淺談高斯定理中高斯面的確定方法［J］.喀什大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，21（6）：2325.

［6］程守洙，江之永.普通物理學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2016.

［7］梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2018.

［8］謝處方，饒克謹(jǐn)，楊顯清，等.電磁場(chǎng)與電磁波［M］.北京：高等教育出版社，2019.

［9］DavidKeunCheng.電磁場(chǎng)與電磁波［M］.何業(yè)軍，桂良啟，譯.北京：清華大學(xué)出版社，2013.

基金項(xiàng)目：湖南省普通高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目（HNJG20210789、HNJG20210790）

作者簡介：王友文（1972—），男，漢族，湖南衡陽人，博士，教授，主要從事電磁學(xué)方面的教學(xué)。