摘要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系中最基本的要素，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維、交流的基礎(chǔ)。針對數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的問題，借鑒CPFS結(jié)構(gòu)理論，剖析了CPFS認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)理解的關(guān)系，指出概念教學(xué)的核心是幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)生自己的概念體系。以“橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例，基于CPFS理念開展概念教學(xué)設(shè)計(jì)，提升學(xué)生對橢圓定義的概念理解。最后，提出了幾點(diǎn)概念教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；CPFS結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)理解；橢圓；教學(xué)策略

數(shù)學(xué)概念是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系中最基本的要素，它們彼此之間通過特殊的方式相互聯(lián)系進(jìn)而構(gòu)成規(guī)則，而概念和規(guī)則又組成了數(shù)學(xué)學(xué)科的若干知識體系［1］。對數(shù)學(xué)概念的理解是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要要求，《高中數(shù)學(xué)課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）》（下文簡稱《課標(biāo)》）中指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)強(qiáng)調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿整個(gè)高中教學(xué)始終，幫助學(xué)生逐漸理解。［2］可見，數(shù)學(xué)概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有關(guān)鍵的地位，數(shù)學(xué)概念的理解和掌握程度直接關(guān)系到學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。然而，當(dāng)前數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在一些普遍的問題，如教學(xué)方式單一、重解題、重知識應(yīng)用、輕視概念等，導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念難以內(nèi)化為學(xué)生大腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生不能從多角度、多側(cè)面地理解數(shù)學(xué)概念，影響了對概念的理解水平。因此，重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒主題，如何促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的深度理解是關(guān)鍵。

1CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)理解

根據(jù)建構(gòu)主義觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是一個(gè)不斷重復(fù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)搭建過程，學(xué)習(xí)者在教師指引下將原本屬于教材資料的知識結(jié)構(gòu)逐步轉(zhuǎn)化為自己大腦中的結(jié)構(gòu)。在學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)概念的理解不是一次性完成的，而是逐步深化的，通常經(jīng)歷初步理解、確切理解和深刻理解三個(gè)階段。從有意義學(xué)習(xí)角度來講，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)到新知識后，將新的知識內(nèi)容與大腦中已有的知識相結(jié)合，在新舊知識之間搭建起一個(gè)非人為的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，通過同化或順應(yīng)的方式將新知識融入已有的知識結(jié)構(gòu)之中，形成更加完備的知識系統(tǒng)。只要能建立完備的知識系統(tǒng)，就能避免無意義的機(jī)械學(xué)習(xí)，并能迅速在大腦中提取有用的信息來解決問題。因此，引導(dǎo)學(xué)生建立自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是概念教學(xué)的核心目標(biāo)。

2002年，喻平教授提出了一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)——CPFS結(jié)構(gòu)，它是由概念域、概念系、命題域、命題系構(gòu)成的一種認(rèn)知心理結(jié)構(gòu)［3］。CPFS結(jié)構(gòu)為理解“數(shù)學(xué)理解”提供了更精確的方法，基于概念域、命題域中的等價(jià)關(guān)系和概念系、命題系中的數(shù)學(xué)抽象關(guān)系，可以較清楚地認(rèn)識到“數(shù)學(xué)理解”中的各種聯(lián)系［4］。在教學(xué)中，以數(shù)學(xué)概念為中心，從不同角度認(rèn)識概念的內(nèi)涵以及概念間的聯(lián)系，構(gòu)建概念體系，從而完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以提高理解水平。閆曉芳等［5］指出，教師應(yīng)該從三個(gè)方面幫助學(xué)生完善CPFS結(jié)構(gòu)：（1）多角度揭示概念的意義；（2）梳理知識體系，概括概念體系；（3）加強(qiáng)概念的應(yīng)用。因此，教師盡可能地引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去認(rèn)識概念，厘清概念間存在的抽象關(guān)系，幫助學(xué)生深刻理解概念內(nèi)涵和外延，從而建立自己的CPFS認(rèn)知結(jié)構(gòu)。綜上，CPFS結(jié)構(gòu)理論可為數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供有益的教學(xué)思路，幫助學(xué)生完善其CPFS結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生提升數(shù)學(xué)概念理解水平以及知識遷移運(yùn)用的能力。

2基于CPFS結(jié)構(gòu)橢圓概念教學(xué)案例設(shè)計(jì)

2.1創(chuàng)設(shè)情境，引入主題，獲得初步印象

情境1：大約在公元前4世紀(jì)，古希臘學(xué)者梅內(nèi)克繆斯發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，而后著名的數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯更加系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，如圖1，它用一個(gè)與圓錐母線成不同角度的平面去截圓錐，截面與所有母線不同角度的交線形成了不同的圓錐曲線。

情境2：歷史上還有很多數(shù)學(xué)家們研究了如何畫橢圓。6世紀(jì)時(shí)期，拜占庭數(shù)學(xué)家安提繆斯提出“園藝師作圖法”，也稱“兩釘一線”橢圓法，能夠簡單便捷地畫出一個(gè)橢圓。

問題1：在我們的日常生活中隨處可見橢圓的身影，同學(xué)們能找到相關(guān)例子嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】借助數(shù)學(xué)史料介紹圓錐曲線的產(chǎn)生由來，了解橢圓產(chǎn)生的歷史背景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)和研究興趣，幫助學(xué)生獲得橢圓的原始定義。

2.2動手操作，增強(qiáng)體驗(yàn)，提升直觀認(rèn)識

小組活動：借鑒“兩釘一線”畫橢圓的方法，如圖2，用兩個(gè)圖釘、定長的繩子、筆尖在紙上繪制橢圓，完成后投影展示成果。

問題1：在畫圖的過程中，有哪些量沒有發(fā)生變化？

問題2：任意改變兩個(gè)圖釘?shù)奈恢枚寄墚嫵鰴E圓嗎？滿足怎樣的條件筆尖畫出的軌跡才是橢圓？

生：橢圓上的動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離和為定值。

師：事實(shí)上為了驗(yàn)證橢圓的幾何性質(zhì)，19世紀(jì)，比利時(shí)數(shù)學(xué)家Dandelin巧妙地構(gòu)造出雙球模型，橢圓的幾何性質(zhì)才得以嚴(yán)謹(jǐn)證明，雙球模型如圖3所示。

問題3：滿足“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡”一定是橢圓嗎？

問題4：我們知道從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長度是相等的，類似地，若從球外一點(diǎn)作球的切線，這些切線長有什么關(guān)系呢？

學(xué)生分小組交流討論，設(shè)滿足以上關(guān)系的點(diǎn)P和兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2，根據(jù)三角形的邊長關(guān)系，存在以下三種情況：若PF1+PF2＜F1F2，P點(diǎn)的軌跡不存在；若PF1+PF2=F1F2，P點(diǎn)的軌跡為線段F1F2；若PF1+PF2＞F1F2，P點(diǎn)的軌跡為橢圓。

【設(shè)計(jì)意圖】通過動手操作和設(shè)置啟發(fā)性問題逐步引導(dǎo)學(xué)生理解Dandelin雙球模型，借助雙球模型實(shí)現(xiàn)由原始定義向第一定義的自然過渡，獲得橢圓的第一定義，理解橢圓概念的本質(zhì)內(nèi)涵。

2.3數(shù)形結(jié)合，推導(dǎo)方程，促進(jìn)結(jié)構(gòu)理解

活動探究：類比圓的方程，如何推導(dǎo)橢圓方程？學(xué)生分小組進(jìn)行討論，教師引導(dǎo)，小組代表上臺展示推導(dǎo)過程。

由于橢圓與圓一樣具有對稱性，不妨以兩焦點(diǎn)所在的直線為x軸，兩焦點(diǎn)所在線段的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），長軸長2a，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P（x，y），由橢圓的定義可知PF1+PF2=2a，則得到如下方程：

（x-c）2+y2+（x+c）2+y2=2a（1）

通過化簡可得：

x2a2+y2a2-c2=1（2）

令b2=a2-c2（其中a＞b＞0），即可將上述方程簡化，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式：

x2a2+y2b2=1（3）

師：是否還有其他建系的方法呢？橢圓的方程有沒有變化？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)把剛才的橢圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°就得到了焦點(diǎn)在y軸的橢圓，因此，只要將方程（3）中的x和y位置互換即可。

【設(shè)計(jì)意圖】首先讓學(xué)生熟悉曲線方程的獲得步驟，培養(yǎng)學(xué)生由一般到特殊的轉(zhuǎn)化思維，然后在教師的引導(dǎo)之下，通過小組合作討論和活動探究，學(xué)生能夠借助坐標(biāo)運(yùn)算逐步獲得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將幾何問題代數(shù)化，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，進(jìn)一步豐富橢圓的方程定義和焦點(diǎn)準(zhǔn)線定義。

2.4拓展變式，積累經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)遷移能力

例1：如圖4，在圓上x2+y2=9任意取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作x軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？

變式1：將上述已知圓的方程改為x2+y2=r2，PD=μMD，其他條件不變，M點(diǎn)的軌跡是什么？

分析：不妨設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），P點(diǎn)為（x0，y0）由于P點(diǎn)是圓周上一點(diǎn)，根據(jù)P點(diǎn)與M點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系，x0=x，y0=μy，將其代入圓的方程中，消去x0、y0，可以得到M點(diǎn)的軌跡方程為橢圓。

變式2：如圖5，假如A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-a，0）、（a，0），斜率之積為λ（λ為正數(shù)），其他條件不變，求M點(diǎn)的坐標(biāo)?？梢宰寣W(xué)生自行推導(dǎo)，同樣可以得到M點(diǎn)的軌跡為橢圓。

【設(shè)計(jì)意圖】由特殊的中點(diǎn)關(guān)系入手，引導(dǎo)學(xué)生猜想圓與橢圓之間的關(guān)系，體會利用中間變量求動點(diǎn)軌跡的方法，設(shè)計(jì)變式激發(fā)學(xué)生由特殊到一般的進(jìn)階思維。從形的角度定義并理解橢圓的本質(zhì)屬性，進(jìn)一步獲得橢圓的壓縮定義和蘊(yùn)含的斜率關(guān)系，拓展了橢圓的定義，最終完善橢圓的概念域。

3概念教學(xué)策略

3.1創(chuàng)新概念引入形式，更新CPFS結(jié)構(gòu)

針對學(xué)生在概念學(xué)習(xí)階段重視不夠、興趣不高的問題，教師應(yīng)該創(chuàng)新概念的引入形式，多一些情境化、生活化和活動化的手段，根據(jù)不同數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)，尋找最合適的概念引入形式。新概念沒有完全形成以前，教師應(yīng)讓學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下主動對新概念進(jìn)行探索，引導(dǎo)學(xué)生從已有概念中生長出新的概念［6］。利用學(xué)生數(shù)學(xué)史料或數(shù)學(xué)名人的故事激發(fā)大家的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情，通過熟悉新概念的由來經(jīng)過，減少對新概念的陌生感。通過新穎的概念引入方式，可以有效引入新概念，在原有的CPFS結(jié)構(gòu)中生長出新概念，建立起新、舊概念之間的聯(lián)系。

3.2拓展概念教學(xué)方法，改進(jìn)CPFS結(jié)構(gòu)

概念教學(xué)應(yīng)在學(xué)生大腦中形成一個(gè)有邏輯連接的整體，而不是零散地存在于學(xué)生頭腦之中。為此，教師應(yīng)該采用多樣性教學(xué)方法，包括正反例教學(xué)或概念變式教學(xué)、問題鏈教學(xué)等，對新概念的表征形式進(jìn)行揭示。例如，通過構(gòu)造和分層操作變式，為學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)生長提供有層次的臺階；利用活動變式，可幫助學(xué)生明晰概念間的聯(lián)系；利用題組變式，初步構(gòu)建概念網(wǎng)絡(luò)；利用結(jié)構(gòu)變化，深化概念網(wǎng)絡(luò)層次［7］。另外，考慮學(xué)生群體之間的認(rèn)知差異，進(jìn)行分層教學(xué)，依據(jù)學(xué)習(xí)水平對學(xué)生分層，制定不同的教學(xué)方法讓不同層次的學(xué)生都能完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。此外，針對傳統(tǒng)教學(xué)方式中重結(jié)果應(yīng)用、輕過程理解、強(qiáng)知識灌輸、弱能力培養(yǎng)的問題，可以通過問題鏈教學(xué)，通過不斷的課堂提問，激發(fā)師生課堂互動，增強(qiáng)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的參與度，促進(jìn)學(xué)生概念體系的構(gòu)建。

3.3強(qiáng)化概念總結(jié)應(yīng)用，鞏固CPFS結(jié)構(gòu)

學(xué)生學(xué)習(xí)新概念后，建立的只是對新概念本身的理解，對于新概念與已有概念之間的聯(lián)系了解還較少，如果不注意及時(shí)總結(jié)和應(yīng)用，那么初步建立的認(rèn)知結(jié)構(gòu)將得不到鞏固。對此，教師應(yīng)強(qiáng)化概念的解題應(yīng)用，通過多種解題方法，探索新概念與腦海中現(xiàn)有CPFS結(jié)構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)系，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從多角度、全方位地去分析思考問題。一題多解既聯(lián)系了知識網(wǎng)絡(luò)中的各個(gè)概念，也聯(lián)系了CPFS結(jié)構(gòu)中相關(guān)的概念域、概念系。同時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)進(jìn)行階段性總結(jié)，每學(xué)習(xí)一些新的概念，把它們及時(shí)納入自己的CPFS結(jié)構(gòu)。應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，經(jīng)常性地對概念不牢固的地方查漏補(bǔ)缺，包括學(xué)習(xí)中遇到的障礙、數(shù)學(xué)思想方法等。通過自我反思和總結(jié)應(yīng)用，將所有相關(guān)的知識概念串聯(lián)起來，使CPFS結(jié)構(gòu)更加緊密。

3.4注重概念體系構(gòu)建，完善CPFS結(jié)構(gòu)

在概念學(xué)習(xí)與解題練習(xí)后的初始階段，大部分學(xué)生構(gòu)建的CPFS結(jié)構(gòu)還缺乏有序性、整體性。對此，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生對概念進(jìn)行有意識的整理，將所學(xué)的概念知識不斷固化到已有的CPFS結(jié)構(gòu)中，讓學(xué)生不斷擴(kuò)充自身已有的CPFS結(jié)構(gòu)，使其處于穩(wěn)固的狀態(tài)。忽視了這一環(huán)節(jié)，容易造成學(xué)生所習(xí)得的新知識無法與舊知識建立比較完善合理的知識體系，從而使新舊知識無法形成一個(gè)整體［8］。另外，教師應(yīng)該幫助學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)性的總結(jié)歸納，通過思維導(dǎo)圖、流程圖等手段，對相近章節(jié)概念梳理，理清概念系、命題系內(nèi)部的抽象關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生自己繪制出CPFS結(jié)構(gòu)圖或知識網(wǎng)絡(luò)圖并改進(jìn)完善，最終對概念體系有整體認(rèn)識。

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［6］鮑紅梅，喻平.完善中學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)的生長教學(xué)策略研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，1：4549.

［7］金瑩.CPFS結(jié)構(gòu)與變式教學(xué)融合下數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究：以人教版B版第三章函數(shù)為例［J］.大連：遼寧師范大學(xué)，2023.

［8］張莉.CPFS結(jié)構(gòu)在圓錐曲線教學(xué)中的應(yīng)用研究［D］.福州：福建師范大學(xué)，2022.

作者簡介：羅柳（1995—），女，漢族，江西吉安人，碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)學(xué)科教育。