摘要：“線性代數(shù)”是理工及經(jīng)管類大學(xué)本科生必修的一門數(shù)學(xué)課程，該課程概念和定理較多且抽象，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。本文通過MATLAB軟件可視化了線性代數(shù)中若干核心概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，以線性變換為紐帶，將矩陣、矩陣的行列式、線性方程組解的情況等知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)，形成了三個(gè)典型教學(xué)案例，旨在幫助剛接觸線性代數(shù)的學(xué)生建立起對(duì)這些基礎(chǔ)概念的直觀理解，把握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并為他們進(jìn)一步理解和掌握其他概念和高維空間的內(nèi)容奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；可視化；線性變換；行列式；線性方程組

VisualTeachingCaseExplorationof"LinearAlgebra"

XuMing

GuizhouUniversityofCommerceGuizhouGuiyang550014

Abstract："Linearalgebra"isacompulsorymathematicscourseforundergraduatestudentsinscience，technology，businessandmanagement.Ithasmanyconceptsandtheoremsthatareabstract，whichmakesitdifficultforstudentstolearn.Thispapervisualizestheinstructionaldesignofseveralcore conceptsinlinearalgebrausingMATLABsoftware.Takinglineartransformationsasthelink，itconnectssuchasmatrices，determinantsofmatrices，andsolutionstosystemsoflinearequations，formingthreeteachingcases.Theaimistohelpstudentswhoareintheinitialstagesoflearninglinearalgebratobuildanintuitiveunderstandingofthesebasicconcepts，grasptheintrinsicconnectionsbetweenvariousknowledgepoints，andlayasolidfoundationforthemtofurtherunderstandandmasterotherconceptsandthecontentofhigherdimensionalspaces.

Keywords：linearalgebra；Visualization；lineartransformation；determinant；systemsoflinearequations

1概述

線性代數(shù)作為大學(xué)數(shù)學(xué)中的重要組成部分，對(duì)于理工及經(jīng)管類大學(xué)本科生至關(guān)重要。它內(nèi)容豐富，概念定理較多且抽象，是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。目前的教學(xué)過程偏重于計(jì)算，未能在教學(xué)初期有效地引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建對(duì)這一學(xué)科清晰且全面的認(rèn)識(shí)，從而使學(xué)生不能很好地理解其中的概念和把握知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系。

針對(duì)這一問題，教師應(yīng)當(dāng)采取創(chuàng)新的教學(xué)方法，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)障礙，并提升他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和創(chuàng)新能力。通過引入具體的應(yīng)用實(shí)例和實(shí)踐操作，學(xué)生可以更加直觀地理解線性代數(shù)中的概念，并掌握其在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用。

為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)注重理論與實(shí)踐的結(jié)合，通過案例分析、項(xiàng)目實(shí)踐和問題解決等多樣化的教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生深入探索線性代數(shù)的深層次結(jié)構(gòu)和應(yīng)用潛力。同時(shí)，也要不斷更新教學(xué)資源和方法，利用現(xiàn)代教育技術(shù)，如在線課程、模擬軟件和互動(dòng)平臺(tái)，來提高教學(xué)的互動(dòng)性和吸引力。通過這些綜合性的教學(xué)策略，學(xué)生將能夠更加深刻地理解線性代數(shù)，并在未來的學(xué)術(shù)和職業(yè)生涯中有效地運(yùn)用這一強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具。

2可視化教學(xué)設(shè)計(jì)示例

2.1矩陣與線性變換的關(guān)系

定義2.1向量x=（x1，x2，…，xp）與向量x=（y1，y2，…，ys）之間的關(guān)系式：

t11x1+t12x2+…+t1pxp=y1

t21x1+t22x2+…+t2pxp=y2

ts1x1+ts2x2+…+tspxp=ys

稱為從向量x到向量y的線性變換，其中tij為常數(shù)，該線性變換的系數(shù)構(gòu)成的矩陣T=（tij）s×p稱為其系數(shù)矩陣。

線性變換的本質(zhì)是一個(gè)映射，所以對(duì)任意矩陣T=（tij）s×p，如果將其作用于（左乘）空間中的每一個(gè)向量，本質(zhì)上就是對(duì)該空間中每個(gè)向量做線性映射。我們將這一現(xiàn)象在MATLAB軟件中可視化為動(dòng)圖，學(xué)生可調(diào)整輸入來觀察不同線性變換的效果。背景中的方格用來代表該空間中的向量，其中兩個(gè)基向量加粗，便于觀察該變換的對(duì)空間進(jìn)行了何種操作（只展示了動(dòng)圖的部分幀）。

2.2線性變換與矩陣行列式之間的關(guān)系

先回歸一下二維矩陣行列式的定義：

定義2.1：設(shè)二維矩陣A=abcd，則其行列式定義為代數(shù)式：det（A）=ad-bc。

以二維矩陣為例：由上節(jié)所述，一個(gè)2×2的矩陣會(huì)將二維空間進(jìn)行變換，那對(duì)于原空間中的封閉圖形，變化后的面積與變化前面積的比值是多少呢？或者說線性變換將空間拉伸或者壓縮的倍數(shù)是多少呢？

設(shè)A=abcd，原空間中單位基向量i=10，j=01。經(jīng)過矩陣A變換后在新空間中坐標(biāo)為：i′=ac，j′=bd。原基向量張成面積為1的矩形經(jīng)線性變換為平行四邊形（如圖5），其面積計(jì)為S。該平行四邊形由坐標(biāo)已知的向量i′，j′張成，故其面積很容易算出：S=ad-bc。

由上節(jié)中的線性變換示意圖（圖1—圖4）可知，S有以下幾種情況：

（1）當(dāng)空間沒有發(fā)生翻轉(zhuǎn)時(shí)，S=ad-bc=det（A）＞0；

（2）當(dāng)空間被壓縮時(shí)（壓縮為線或者點(diǎn)），S=0=det（A）；

（3）當(dāng)空間發(fā)生翻轉(zhuǎn)時(shí)，S=bc-ad=-det（A）＞0。

綜上所述，我們可以總結(jié)出二維矩陣行列式的幾何意義。2×2矩陣A的行列式為：原空間中面積為1的封閉圖形經(jīng)對(duì)應(yīng)線性變換作用后得到的新圖形的有向面積?；蛘呖梢钥闯墒窃摼€性變換將空間拉伸或者壓縮的比例。

同理，可類比得到三維矩陣行列式的幾何意義：三維矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換將原三維空間中體積為1的封閉立體變換后的有向體積。三階矩陣的行列式為零時(shí)，同樣代表壓縮變換。這時(shí)有三種情況：將三維立體空間壓成平面；將三維立體空間壓成一條線；將三維立體空間壓到原點(diǎn)。

2.3線性變換與線性方程組解判別的聯(lián)系

2.3.1非齊次方程的情形

對(duì)于方程Ts×pxp×1=bs×1，b≠0，以線性變換是對(duì)空間的操縱為出發(fā)點(diǎn)，也即是在向量b確定的情況下，求一個(gè)向量x，使得x經(jīng)過線性變換T的作用后映射到b。我們分以下幾種情況考慮：

（1）設(shè)Tp×p為滿秩方陣。此時(shí)線性變換T沒有改變變換前后空間的維度。且T滿秩，故向量b一定可以由矩陣T的列向量線性表示（即向量b一定在矩陣T的列空間中），且表示系數(shù)唯一，故r（T，b）=r（T）=p，此時(shí)方程有唯一解。

（2）設(shè)Tp×p為降秩方陣。此時(shí)線性變換T將空間壓縮，壓縮后的空間維數(shù)小于p。當(dāng)向量b屬于該低維空間時(shí)，向量b可以由矩陣T的列向量線性表示，而對(duì)空間壓縮將會(huì)使得無窮個(gè)向量被壓縮變換到向量b，這時(shí)r（T，b）=r（T）＜p，方程有解且有無窮多解。當(dāng)向量b不屬于該低維空間時(shí)，r（T，b）＞r（T），方程無解。

（3）設(shè)矩陣Ts×p，其中s＞p。此時(shí)，線性變換將p維向量x映射為比其維度高的s維向量b。當(dāng)此s維向量b可以由T的列向量（p個(gè)）線性表示時(shí)，說明向量b位于s維空間的子空間中，這時(shí)r（T，b）=r（T），方程有解。并且如果該子空間維數(shù)為p，說明沒有發(fā)生空間壓縮，故有唯一解。如果該子空間維數(shù)小于p，則有無窮解。反之，如果向量b不屬于s維空間的子空間，即r（T，b）＞r（T），方程無解。

（4）設(shè)矩陣Ts×p，其中s＜p。此時(shí)，線性變換將p維向量x映射為比其維度低的s維向量b，空間發(fā)生了壓縮。此時(shí)一定有無窮個(gè)向量被變換到向量b，故方程有解且有無窮解，此時(shí)r（T，b）=r（T）≤s＜p。

2.3.2齊次方程的情形

對(duì)于方程Ts×pxp×1=0s×1，即非齊次方程中向量b為零向量時(shí)，因?yàn)榱阆蛄靠隙ㄎ挥诿總€(gè)線性空間中，所以齊次線性方程組情形的討論則簡單一些：

（1）設(shè)Tp×p為滿秩方陣，此時(shí)線性變換T沒有改變變換前后空間的維度，且T滿秩，故空間沒有壓縮，所以線性方程組無解。

（2）設(shè)Tp×p為降秩方陣，此時(shí)線性變換T將空間壓縮，壓縮后的空間維數(shù)小于p，且零向量肯定在這個(gè)空間中，故線性方程組有無窮解。

（3）設(shè)矩陣Ts×p，其中s＞p。線性變換將p維向量x映射為比其維度高的s維向量b。如果r（T）=p說明空間沒有被壓縮，方程有唯一解；如果r（T）＜p，方程有無窮多解。

（4）設(shè)矩陣Ts×p，其中s＜p。此時(shí)，線性變換將p維向量x映射為比其維度低的s維向量b，空間發(fā)生了壓縮，故方程有無窮多解。

綜合以上分析可以看出，判斷非齊次方程組解是否存在的關(guān)鍵在于系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等，等于則有解，不等就無解。而對(duì)于齊次方程，解是一定存在的。當(dāng)解存在時(shí)，無論是齊次方程還是非齊次方程，如果矩陣T對(duì)應(yīng)的線性變換壓縮空間，即r（T）＜p，則方程組有無窮解。

3小結(jié)

本文通過線性變換的可視化表示，不僅闡述了行列式在幾何上的直觀表示，而且還揭示了線性方程組解的內(nèi)在結(jié)構(gòu)與矩陣秩之間的密切聯(lián)系。這三個(gè)精心設(shè)計(jì)的案例共同構(gòu)成了一個(gè)連貫的教學(xué)框架，使學(xué)生能夠通過直觀的幾何圖形，更好地理解這些線性代數(shù)中的抽象概念。

在后續(xù)的教學(xué)實(shí)踐中，我們可以繼續(xù)采用這種可視化的教學(xué)策略。例如，動(dòng)態(tài)演示矩陣求逆的過程、探索向量組的線性相關(guān)性與向量空間的維度、分析特征值和特征向量的幾何應(yīng)用等，進(jìn)一步豐富和拓寬學(xué)生的知識(shí)視野。這樣的教學(xué)方法不僅有助于鞏固和深化學(xué)生對(duì)線性代數(shù)基本理論的理解，而且還能夠激發(fā)他們探索更高維空間概念的興趣和動(dòng)力。

通過這種逐步引導(dǎo)和深入探討的方式，學(xué)生將能夠逐漸建立起一個(gè)完整的線性代數(shù)知識(shí)體系，不僅能夠理解每個(gè)單獨(dú)概念的本質(zhì)，還能夠把握它們之間的相互聯(lián)系和作用。最終，學(xué)生將能夠在解決實(shí)際問題時(shí)，靈活運(yùn)用線性代數(shù)的原理和方法，展現(xiàn)出扎實(shí)的理論基礎(chǔ)和出色的問題解決能力。

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基金資助：貴州商學(xué)院2023年校級(jí)教改項(xiàng)目“《線性代數(shù)》可視化串聯(lián)教學(xué)案例的探索與研究”（2023XJJG16）；教育部2024年第一批產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目“應(yīng)用型本科建設(shè)背景下計(jì)算機(jī)類專業(yè)MATLAB課程教學(xué)模式探究”（230805211022653）

作者簡介：徐銘（1996—），女，漢族，貴州六盤水人，碩士，初級(jí)職稱，研究方向：數(shù)據(jù)分析與算法。