摘要：流體力學(xué)的相關(guān)課程是理工院校力學(xué)、航空航天、機(jī)械等相關(guān)專(zhuān)業(yè)的核心課程，其中要運(yùn)用到數(shù)學(xué)中場(chǎng)論相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)。然而，高等數(shù)學(xué)中場(chǎng)論教學(xué)注重的是邏輯性及嚴(yán)謹(jǐn)性，這與流體力學(xué)更注重物理意義不同，學(xué)生在學(xué)習(xí)流體力學(xué)遇到場(chǎng)論相關(guān)符號(hào)時(shí)，往往難以理解其物理本質(zhì)。針對(duì)高等數(shù)學(xué)與流體力學(xué)中場(chǎng)論知識(shí)的銜接問(wèn)題，本文以流體力學(xué)用到的梯度、散度、旋度等為例，探討了場(chǎng)論知識(shí)銜接的簡(jiǎn)單化、形象化與啟發(fā)化教學(xué)方法及其具體應(yīng)用方式。

關(guān)鍵詞：流體力學(xué)；場(chǎng)論；知識(shí)銜接；教學(xué)方法；形象思維

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

ExplorationofTeachingConnectionofFieldTheoryinFluidMechanics

LuWeiyu1*XiangXin2HongShuli3

1.SchoolofPhysicalandMathematicalSciences，NanjingTechUniversityJiangsuNanjing 211816；

2.SchoolofAircraftEngineering，NanchangHangkongUniversityJiangxiNanchang330063；

3.CollegeofMechanicalandAutomotiveEngineering，NingboUniversityofTechnologyZhejiangNingbo315211

Abstract：Therelatedcoursesoffluidmechanicsarethecorecoursesofmechanics，aerospace，machineryandotherrelatedmajorsinscienceandengineeringcolleges，inwhichthebasicknowledgerelatedtofieldtheoryinmathematicsshouldbeapplied.However，theteachingoffieldtheoryinadvancedmathematicsfocusesmostlyonlogicandpreciseness，whichisdifferentfromtheemphasisoffluidmechanicsonphysicalmeaning.Whenstudentsencountersymbolsrelatedtofieldtheoryinfluidmechanics，theyoftenhavedifficultyunderstandingitsphysicalessence.Aimingattheconnectionoffieldtheoryknowledgebetweenadvancedmathematicsandfluidmechanics，thispapertakesgradient，divergence，curlasexamplestoexplorethesimplification，visualizationandenlightenmentteachingmethodsoffieldtheoryknowledgeconnectionandtheirspecificapplicationmethods.

Keywords：Fluidmechanics；Fieldtheory；Knowledgeconnection；Teachingmethods；Imaginarythinking

流體力學(xué)相關(guān)課程是理工院校力學(xué)、航空航天、機(jī)械等相關(guān)專(zhuān)業(yè)的核心課程。在這些課程的教學(xué)中，不可避免地涉及場(chǎng)論相關(guān)的知識(shí)，該知識(shí)是高等數(shù)學(xué)中場(chǎng)論知識(shí)的延續(xù)。但由于場(chǎng)論知識(shí)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中并非重點(diǎn)。目前在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，和場(chǎng)論相關(guān)的教學(xué)課時(shí)和內(nèi)容較少，且在教學(xué)中，其與力學(xué)或物理學(xué)的聯(lián)系較為松散，相關(guān)例題也較少。此外，高數(shù)教學(xué)注重邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，主要運(yùn)用學(xué)生抽象性思維，配圖及形象化表達(dá)較為稀少，使學(xué)生對(duì)場(chǎng)論物理意義的理解變得較為困難。

通常，理工科學(xué)生在大一學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，而流體力學(xué)的相關(guān)課程則往往安排在大三甚至大四學(xué)習(xí)，這相隔的一年甚至以上時(shí)間使同學(xué)們對(duì)場(chǎng)論知識(shí)產(chǎn)生了遺忘。這樣，如果在沒(méi)有對(duì)場(chǎng)論知識(shí)進(jìn)行銜接教學(xué)的前提下直接教授以場(chǎng)論符號(hào)表達(dá)流體力學(xué)方程、公式，會(huì)使大部分學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙，甚至影響以此為基礎(chǔ)的后續(xù)學(xué)習(xí)。因此，本文針對(duì)高等數(shù)學(xué)與流體力學(xué)場(chǎng)論知識(shí)的銜接問(wèn)題展開(kāi)了探討。

一、高等數(shù)學(xué)場(chǎng)論教學(xué)的特點(diǎn)

（一）場(chǎng)論的內(nèi)涵

目前，“場(chǎng)論”這一詞匯主要有數(shù)學(xué)、物理學(xué)和語(yǔ)言學(xué)上的含義。作為數(shù)學(xué)上的概念，“場(chǎng)論”即探討某種物理量（場(chǎng)）在空間分布和變化規(guī)律的理論［1］。而在物理學(xué)和語(yǔ)言學(xué)上，“場(chǎng)論”前通常添加定語(yǔ)，如經(jīng)典場(chǎng)論、量子場(chǎng)論、語(yǔ)義場(chǎng)論，其中，物理上的場(chǎng)論與數(shù)學(xué)上的場(chǎng)論具有密切關(guān)聯(lián)性。例如，電磁場(chǎng)理論［2］涉及的麥克斯韋方程組就是用數(shù)學(xué)的場(chǎng)論符號(hào)表達(dá)，其他的量子場(chǎng)論［3］、廣義相對(duì)論性引力場(chǎng)論［4］等還涉及更深層次的數(shù)學(xué)知識(shí)。

本文所述“場(chǎng)論”特指數(shù)學(xué)中的場(chǎng)論概念，即有關(guān)梯度、散度、旋度運(yùn)算的理論，其主要應(yīng)用對(duì)象為經(jīng)典力學(xué)，包括流體力學(xué)在內(nèi)。

（二）“場(chǎng)論”知識(shí)在高等數(shù)學(xué)教材中的地位及分布

場(chǎng)論知識(shí)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中并非重點(diǎn)。以高等教育出版社出版的《高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）》教材為例［5］，場(chǎng)論知識(shí)僅出現(xiàn)在第三章第五節(jié)的第三小結(jié)（3.5.3場(chǎng)論——梯度、散度、旋度）中，該部分內(nèi)容總共僅有9頁(yè)，且非教學(xué)重點(diǎn)。而以科學(xué)出版社出版的《高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）》為例［6］，梯度、散度、旋度則分別分布在8.6.2（梯度）、10.6.2（通量與散度）、10.7.2（環(huán)量與旋度）這三小節(jié)中，這三個(gè)概念分別與方向?qū)?shù)、高斯公式與通量、斯托克斯公式與環(huán)量這些概念相聯(lián)系，在邏輯上更為合理，但沒(méi)有以“場(chǎng)論”這一統(tǒng)一概念出現(xiàn)。

（三）高等數(shù)學(xué)重嚴(yán)謹(jǐn)、輕物理的特點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)對(duì)場(chǎng)論的教學(xué)主要由定義、定理及其證明構(gòu)成，這樣保證了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。此外，教材中的例子很少，尤其是與自然科學(xué)，如電磁學(xué)、流體力學(xué)相關(guān)的例題。相對(duì)而言，一些國(guó)外的教材案例更為翔實(shí)，更適合自學(xué)（例如CallahanJ.J.編寫(xiě)的AdvanceCalculus［7］，其中例題和示意圖較多）。

以高等教育出版社出版的《高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）》［5］教材為例，在定義3.5.6中給出了無(wú)源場(chǎng)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。但是，即使學(xué)生對(duì)無(wú)源場(chǎng)的數(shù)學(xué)表達(dá)完全理解，還是很難建立該數(shù)學(xué)表達(dá)與實(shí)際矢量的空間分布或物理狀態(tài)間的關(guān)聯(lián)性。此外，教材對(duì)于這些重要的定義或定理沒(méi)有配圖。盡管示意圖表達(dá)的一般是特殊情況，不具有普適性，但對(duì)于抽象性的數(shù)學(xué)表達(dá)，如果能配上直觀的示意圖，對(duì)學(xué)生理解其蘊(yùn)含的物理意義是十分必要且有幫助的。

二、流體力學(xué)中涉及的場(chǎng)論知識(shí)舉例

很多流體力學(xué)方程或公式以場(chǎng)論形式書(shū)寫(xiě)。以NS方程為例，目前，主要有三類(lèi)表達(dá)形式（可參考文獻(xiàn)［8］），包括寫(xiě)成偏導(dǎo)數(shù)展開(kāi)的形式、矢量及場(chǎng)論形式、張量形式。通常在本科教學(xué)階段采用矢量及場(chǎng)論形式表達(dá)各類(lèi)流體力學(xué)方程，這樣在補(bǔ)充場(chǎng)論知識(shí)的銜接教學(xué)后，這種形式的方程能兼顧書(shū)寫(xiě)的方便及物理意義的相對(duì)直觀性。

在流體力學(xué)中，涉及大量場(chǎng)論表達(dá)式。常用的微分形式可壓縮連續(xù)性方程［9］如下：

ρt+·（ρV→）=0（1）

該方程涉及散度。又如，渦量的定義［9］為：

ω→=×V→（2）

該式涉及旋度。此外，歐拉靜平衡方程［10］為：

f→=1ρp（3）

該方程涉及梯度。在場(chǎng)論的銜接教學(xué)中，一定要結(jié)合這些方程進(jìn)行講解，這樣可以使同學(xué)們同時(shí)加深對(duì)場(chǎng)論知識(shí)和流體力學(xué)方程的理解。

三、流體力學(xué)場(chǎng)論銜接的具體實(shí)踐探索

針對(duì)高數(shù)教學(xué)中重普適性、嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性，輕特殊化、物理化、形象化的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為流體力學(xué)場(chǎng)論銜接的教學(xué)策略有兩點(diǎn)。一是不必苛求普適性與嚴(yán)謹(jǐn)性，可以采用特殊化、簡(jiǎn)單化的案例；二是應(yīng)采用圖形化與公式化相結(jié)合的方式。筆者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及上述策略，給出了以下針對(duì)具體場(chǎng)論概念的教學(xué)實(shí)踐探索。

（一）散度概念的教學(xué)實(shí)踐

散度即衡量矢量場(chǎng)局部“發(fā)散程度”的量，其在數(shù)學(xué)上由“通量”的極限表達(dá)。在流體力學(xué)教學(xué)中，筆者推薦圖1的三張示意圖作為散度的形象化表述。

若圖示矢量場(chǎng)為速度場(chǎng)，則由散度在二維直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式［5］：

·V→=Vxx+Vyy（4）

則很容易地可以計(jì)算得到圖1（a）、圖1（b）、圖1（c）微元處的散度分別為4dV/dl、-4dV/dl及0，對(duì)應(yīng)的矢量場(chǎng)在微元表面則分別是發(fā)散、收斂及貫穿的。以圖1（a）為例，其對(duì)應(yīng)散度為正（矢量場(chǎng)發(fā)散），結(jié)合可壓縮連續(xù)性方程式（1），如果忽略密度ρ在微元尺度下隨空間的變化，可得ρ/t<0，即由于流體從微元控制體中流出，導(dǎo)致該處密度隨時(shí)間減?。ú豢紤]源和匯時(shí)）。這樣在教學(xué)上，通過(guò)對(duì)散度意義結(jié)合數(shù)學(xué)公式及連續(xù)性方程的教學(xué)，使學(xué)生對(duì)散度概念、連續(xù)性方程、可壓縮流動(dòng)等概念有更深的認(rèn)識(shí)。

（二）旋度概念的教學(xué)實(shí)踐

旋度，即反映矢量場(chǎng)局部“旋轉(zhuǎn)程度”的量，其在數(shù)學(xué)上由“環(huán)量”極線表達(dá)。

這里建議以圖2的旋度示意圖為例。若圖中正方形為剛體，假設(shè)其四邊中心處速度為dV，且方向?yàn)槔@正方形中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，容易求得剛體的旋轉(zhuǎn)角速度ωR為：

ωRk→=-2dVdlk→（5）

這里負(fù)號(hào)是由右手定則確定，k→為單位矢量且正方向?yàn)榧埫嫦蛲?。由式?）可以看出，流體力學(xué)中，渦量的定義即速度矢量的旋度，是個(gè)矢量，在二維情形下，該矢量只有一個(gè)方向。由二維旋度的定義［5］，可得圖2所示渦量為：

×V→=（Vyx-Vxy）k→=-4dVdlk→（6）

這樣通過(guò)對(duì)比，我們可以得到重要的結(jié)論，流體力學(xué)中渦量是速度場(chǎng)的旋度，其值為對(duì)應(yīng)剛體（速度場(chǎng)相同）旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍。這樣，就厘清了數(shù)學(xué)中旋度、流體力學(xué)中渦量、理論力學(xué)中剛體旋轉(zhuǎn)角速度之間的關(guān)系及區(qū)別。

（三）梯度概念的教學(xué)實(shí)踐

梯度建議與流體力學(xué)的歐拉靜平衡方程及壓力的概念一起進(jìn)行學(xué)習(xí)。如圖3所示，假設(shè)流體微團(tuán)處在靜止的流體中，其表面受到表面力壓力，其質(zhì)心受到體積力（如重力），我們可以從微元的角度列出該流體微團(tuán)四個(gè)面所受壓力（單位厚度）。通過(guò)分析，流體微團(tuán)受到x方向的表面力合力為-（p/x）dxdy，y方向表面力合力為-（p/y）dxdy，微元受壓力產(chǎn)生的加速度為x、y方向表面力矢量和除以微元質(zhì)量，即：

f→p=-（pxi→+pyj→）dxdydm=-1ρp（7）

這里用到了梯度的定義［5］。在流體靜力學(xué)中，流體微團(tuán)受到的表面力應(yīng)與體積力平衡，所以可得體積力產(chǎn)生的加速度應(yīng)為式（3）歐拉靜平衡方程。因此，梯度的大小和方向都具有明確的物理意義。

結(jié)語(yǔ)

流體力學(xué)是理工院校力學(xué)、航空航天、機(jī)械等相關(guān)專(zhuān)業(yè)的核心課程之一，其中要運(yùn)用到數(shù)學(xué)中場(chǎng)論相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)。然而，高等數(shù)學(xué)中場(chǎng)論教學(xué)注重的是邏輯性及嚴(yán)謹(jǐn)性，當(dāng)前教材的形象性與物理意義的表述較弱。流體力學(xué)教學(xué)中更注重物理意義的理解，學(xué)生在學(xué)習(xí)流體力學(xué)過(guò)程中遇到場(chǎng)論相關(guān)符號(hào)時(shí)，往往因難以理解其物理本質(zhì)，造成學(xué)習(xí)困難。針對(duì)高等數(shù)學(xué)與流體力學(xué)中場(chǎng)論知識(shí)的銜接問(wèn)題，本文以流體力學(xué)中梯度、散度、旋度為例，深入探討了場(chǎng)論知識(shí)銜接的簡(jiǎn)單化、形象化與啟發(fā)化教學(xué)策略與方法，并根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，給出了具體教學(xué)方案，希望能對(duì)流體力學(xué)場(chǎng)論教學(xué)具有指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)：

［1］謝樹(shù)藝.工程數(shù)學(xué)：矢量分析與場(chǎng)論（第3版）［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［2］謝處方，姚克謹(jǐn).電磁場(chǎng)與電磁波（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［3］周邦融.量子場(chǎng)論［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［4］劉遼，趙崢.廣義相對(duì)論（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［5］仇久慶.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［6］唐月紅，曹榮美，王正盛，等.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.

［7］CallahanJJ.AdvanceCalculusAGeometricView［M］.Berlin：Springer，2010.

［8］吳望一.流體力學(xué)（第2版）［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2021.

［9］莊禮賢，尹協(xié)遠(yuǎn)，馬暉揚(yáng).流體力學(xué)（第2版）［M］.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009.

［10］王洪偉.我所理解的流體力學(xué)（第2版）［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2021.

基金項(xiàng)目：2021年南昌航空大學(xué)教改課題“高等數(shù)學(xué)思維在氣體動(dòng)力學(xué)教學(xué)中實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：JY21055）

*通訊作者：陸惟煜（1989—），男，江蘇淮安人，工學(xué)博士，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事工程流體力學(xué)研究。

作者簡(jiǎn)介：向鑫（1989—），男，苗族，湖南懷化人，工學(xué)博士，講師，碩士生導(dǎo)師，主要從事葉輪機(jī)械氣動(dòng)設(shè)計(jì)研究；洪樹(shù)立（1986—），男，浙江寧波人，工學(xué)博士，講師，主要從事工程流體力學(xué)研究。