摘要：本文以數(shù)列的極限為例，簡單敘述了極限概念的產(chǎn)生過程，并借助數(shù)學(xué)家們探索極限理論的過程進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，結(jié)合人的認(rèn)知規(guī)律，以問題驅(qū)動(dòng)的方式再現(xiàn)知識產(chǎn)生的過程，來培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)課堂教學(xué)中融入知識產(chǎn)生過程的重要性.

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限；高等數(shù)學(xué)；知識產(chǎn)生過程

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

極限理論是高等數(shù)學(xué)的核心概念，廣泛應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)及其他科學(xué)領(lǐng)域。注重極限理論的知識產(chǎn)生過程，能夠幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念的演變與邏輯推理，促進(jìn)批判性思維與發(fā)現(xiàn)問題、問題解決能力的培養(yǎng)［1］.

1極限理論發(fā)展過程

1.1我國古代極限思想萌芽

無線分割下的極限思想是微積分思想起源的關(guān)鍵［2］.我國有文獻(xiàn)記載的最早的無限分割思想是公元前3世紀(jì)以前，《莊子·天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.我國數(shù)學(xué)家劉徽，基于（莊子）的無限分割思想，在《九章算術(shù)》的注文中，提出了《割圓術(shù)》的方法.劉徽用割圓術(shù)求出了內(nèi)接正3072邊形的面積，導(dǎo)出圓周率為3.1416［3］.南北朝時(shí)期的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家祖沖之又用劉徽的割圓術(shù)計(jì)算出了圓內(nèi)接正24576多邊形的面積，把圓周率的計(jì)算精確到了小數(shù)點(diǎn)后7位［4］.祖沖之的兒子祖暅同樣遵循劉徽的方法推導(dǎo)出了球體的體積［4］.

1.2西方極限理論發(fā)展進(jìn)程

1.2.1?;極限概念的萌芽

公元前5世紀(jì)，古希臘安提豐提出了一種與割圓術(shù)類似的方法，即通過不斷加倍邊數(shù)的方式，用圓內(nèi)接正多邊形的面積來逼近圓的面積.公元前408—公元前355年歐多克斯提出了一種觀點(diǎn)，即對于兩個(gè)不同的量，如果從較大的量中減去大于其半的量，再從所余量中減去大于其半的量，并不斷重復(fù)這一步驟，那么所剩下的量將會比原來較小的量要小，重大發(fā)展了安提豐用圓內(nèi)接正多邊形面積來逼近圓的面積這一方法.這種方法在17世紀(jì)時(shí)被人稱為窮竭法，是近代極限理論的雛形，標(biāo)志著極限概念的輪廓已在古希臘問世［3］.阿基米德在《圓的度量》中應(yīng)用窮竭法證明了球的表面積和體積相關(guān)的重要結(jié)論，例如在《論球與圓柱》中記載了，阿基米德用極限思想推導(dǎo)出了球體積為半徑立方和圓周率之積的34［4］.

1.2.2極限概念的發(fā)展

窮竭法在應(yīng)用時(shí)計(jì)算十分煩瑣，荷蘭的西蒙斯杰文大膽舍棄了窮竭法的形式歸謬法，斷言“如果兩個(gè)量的差在連續(xù)細(xì)分到一定程度后能小于任何已知的量，則二者必?zé)o差異”，這一做法使得算法變得簡單易行，但邏輯上不夠嚴(yán)密.隨著解析幾何這門嶄新數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，西方學(xué)者開始用算術(shù)的方法研究幾何問題.基于算術(shù)法的基礎(chǔ)，英國數(shù)學(xué)家瓦里斯首次引入了變量極限的概念，他認(rèn)為，“變量的極限可以逐漸接近一個(gè)常數(shù)，以至于它們的差異小于任何給定的量”.

1.2.3極限概念的逐步形成

牛頓應(yīng)用無窮小的增量來計(jì)算留數(shù)的過程體現(xiàn)了極限過程，但當(dāng)時(shí)人們還沒明確無窮小的本質(zhì)，使得牛頓的做法產(chǎn)生了邏輯上的混亂，引發(fā)了數(shù)學(xué)的第二次危機(jī).自從瓦里斯提出了使用變量的視角來定義極限后，學(xué)者們逐漸對無窮小的本質(zhì)有了更明確的認(rèn)識.萊昂哈德·歐拉（1707—1783）認(rèn)為，“無限小”或者“消逝的量”僅僅是趨近于零的量；而法國達(dá)朗貝爾（1717—1783）指出，無限大和無限小分別表示無限制地增大和無限制地減小［3］.達(dá)朗貝爾還認(rèn)為微分學(xué)的基礎(chǔ)應(yīng)建立在極限概念上.

1.2.4極限概念的確立

捷克斯洛伐克數(shù)學(xué)家波爾查諾，首次使用極限的概念來定義函數(shù)在某一區(qū)間上的連續(xù)性［3］.柯西在他的《分析教程》中，擺脫了幾何圖形和幾何量的限制，并給出了極限的定義：“如果代表某個(gè)變量的一系列數(shù)值趨向于某個(gè)固定的數(shù)值，那么這個(gè)固定值就被稱為這個(gè)數(shù)值系列的極限”［3］，即我們現(xiàn)在定義極限的描述性定義.在柯西、戴德金解決了實(shí)數(shù)理論之后，魏爾斯特拉斯意識到，柯西采用直觀運(yùn)動(dòng)來描述極限概念，并以此作為微積分的基礎(chǔ)，不是十分嚴(yán)謹(jǐn)。因此，他提出一種新的動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)來定義極限，取代原有變量極限的靜態(tài)觀點(diǎn).具體來說，他將柯西對極限的定性描述精確化為定量描述，以呈現(xiàn)極限的本質(zhì)含義，即“εδ”語言，由此，極限概念的嚴(yán)格化最終完成［3］.

2高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入知識產(chǎn)生過程的案例

下面簡單展示對于數(shù)列的描述性定義和精確定義教學(xué)過程中應(yīng)用知識產(chǎn)生的過程設(shè)計(jì)的教學(xué)過程.

2.1數(shù)列極限的描述性定義

2.1.1問題引入，注重知識的產(chǎn)生過程

問題1：戰(zhàn)國時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》中引用過一句話“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，請從數(shù)量關(guān)系上來理解這句話？

設(shè)計(jì)意圖：遵循直觀性原則，讓學(xué)生初步嘗試從動(dòng)態(tài)變化的角度來觀察和分析問題，并認(rèn)識到研究數(shù)列變化趨勢的必要性，為后續(xù)講解數(shù)列的描述性定義奠定基礎(chǔ).

問題2：在不借助于圓的面積公式的前提條件下，思考如何計(jì)算半徑為1的圓的面積？

設(shè)計(jì)意圖：極限思想方法是在探求某些實(shí)際問題的精確解答的過程中產(chǎn)生的［5］.通過采取問題重現(xiàn)的方式教學(xué)，可以讓學(xué)生更準(zhǔn)確地體會極限思想，同時(shí)在思考問題的過程中訓(xùn)練學(xué)生分析問題的能力和解決問題的能力，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想和極限這一新思想的產(chǎn)生過程.

問題3：若艾賓浩斯遺忘規(guī)律滿足關(guān)系式y(tǒng)=et［0.0123·lnt］-0.0639，請問經(jīng)過多長時(shí)間，人們會全部遺忘［6］？

設(shè)計(jì)意圖：將高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科構(gòu)建聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，也讓學(xué)生體會高等數(shù)學(xué)的重要性，引起學(xué)生對本節(jié)課學(xué)習(xí)的重視.

2.1.2基于認(rèn)知，注重概念的形成過程

問題4：問題1和問題2在數(shù)量變化趨勢上有什么共同的特征？

設(shè)計(jì)意圖：采用“由具體到抽象，由特殊到一般”的教學(xué)方法，引入數(shù)列極限的描述性定義.

數(shù)列極限的描述性定義［7］：對于數(shù)列an，若當(dāng)n無限增大時(shí)an能無限接近某一個(gè)常數(shù)a，則稱此數(shù)列an為收斂數(shù)列，則稱常數(shù)a稱為數(shù)列an的極限，否則，稱數(shù)列an是發(fā)散的.

2.2數(shù)列極限的精確定義

2.2.1實(shí)例分析，注重知識的產(chǎn)生過程

問題5：（1）當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列（1+1n）n是不是無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)呢？

（2）當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列nn+1是不是無限接近于常數(shù)1.0001的呢［8］？

設(shè)計(jì)意圖：（1）讓學(xué)生明白，應(yīng)用數(shù)列極限的描述性定義來確定復(fù)雜數(shù)列如（1+1n）n的極限是否存在是比較困難的，所以需要定義數(shù)列極限的精確定義.同時(shí)，學(xué)生主動(dòng)思考這兩個(gè)問題的過程中也同步訓(xùn)練了學(xué)生應(yīng)用科學(xué)的思維方式來分析問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的思維方式和嚴(yán)密的邏輯思維，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

（2）學(xué)生通過觀察數(shù)列nn+1可以觀察出該數(shù)列的極限是1，通過讓學(xué)生思考極限為什么不可以是1.0001，從而讓學(xué)生體會到，雖然數(shù)列極限的描述性定義非常直白，易于理解，但是描述性定義中有些說辭是比較含糊的，比如“無限增大”“無限接近”，缺乏數(shù)學(xué)嚴(yán)密性，不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)［9］，我們需要用量化的方式來定義數(shù)列的極限.通過對具體問題的具體分析，讓學(xué)生明確描述性定義中的模糊含義“無限增大”“無限趨近”如何來定量刻畫，從而總結(jié)出數(shù)列的精確定義.

2.2.2通過分析，注重概念的形成過程

通過解決上面問題5提出的兩個(gè)問題，逐步形成數(shù)列極限的精確性定義.第一個(gè)問題通過多媒體展示可以直觀得到答案；第二個(gè)問題采用師生問答的形式，以數(shù)列nn+1為例，說明該數(shù)列的極限是1，而不是1.0001為例，來使學(xué)生逐漸明確“無限增大”和“無限趨近”的定量描述.

師：若1.0001為數(shù)列nn+1的極限，需要滿足：當(dāng)n無限增大時(shí)nn+1能無限接近常數(shù)1.0001，那如何刻畫數(shù)列nn+1的第n項(xiàng)與常數(shù)1.0001的接近程度？

生：可以通過計(jì)算nn+1-1.0001的值來表示他們之間的接近程度.

師：好，那么怎么說明，它們之間是無限接近的呢？

生：nn+1-1.0001的值無限接近于0.

師：當(dāng)nn+1-1.0001的值越小時(shí)，nn+1與1.0001是越來越接近，也就是說nn+1-1.0001的值越小，我們認(rèn)為nn+1與1.0001的接近程度越高，所以nn+1與1.0001要實(shí)現(xiàn)無限接近，nn+1-1.0001的值需達(dá)到無限小才可以.那么大家思考一下無限小是不是比你能想象得到的任意非常小的正數(shù)都小呢？

生：是的.

師：那這樣的話，大家認(rèn)為多小的數(shù)才是非常小的正數(shù)呢？

生A：教師我覺得0.00001已經(jīng)是很小的正數(shù)了.

師：好，A同學(xué)覺得0.00001是很小的數(shù)，那么nn+1-1.0001的值可以小于0.00001嗎？

生：不可以，nn+1-1.0001的值總是大于0.00001的.

師：對，因?yàn)閚n+1-1.0001的值總是大于0.00001，所以nn+1-1.0001的值不可能做到無限接近0，因而數(shù)列nn+1的極限不是1.0001.那接下來大家思考一下nn+1-1的值可以小于0.00001嗎？

生：可以，只要就n>99999就可以得到nn+1-1<0.00001.

師：對，完全正確，那么有沒有比0.00001更小的數(shù)呢？

生B：有，比如說0.000001.

師：好，那么nn+1-1的值可以小于0.000001嗎？

生：可以，只要n>999999就可以實(shí)現(xiàn).

師：對，那我們再想一下，有沒有比0.000001還小的數(shù)呢？

生：有.

師：對，有，而且有很多.那么是不是任意給定一個(gè)很小的數(shù)，我們記為ε，nn+1-1的值可以小于這個(gè)任意給定的ε嗎？

生：應(yīng)該可以.

師：有一部分同學(xué)不確定是不是可以實(shí)現(xiàn)nn+1-1<ε，那么我們簡單計(jì)算一下.

nn+1-1<ε1n+1<εn>1ε-1

所以我們只需要滿足取的n是大于1ε-1的整數(shù)，就可以實(shí)現(xiàn)nn+1-1<ε了.

師：說明了任意給出一個(gè)很小的距離ε，我們可以找到某一項(xiàng)N，使得N項(xiàng)之后的任意一項(xiàng)都滿足nn+1-1<ε，也就是說第N項(xiàng)之后的任意一項(xiàng)與1之間的接近程度可以小于我們?nèi)我馊《ǖ摩?，所?就是數(shù)列nn+1在n趨于無窮大時(shí)的極限.根據(jù)我們上面的分析過程，數(shù)列nn+1的極限是1，也可以描述為“對任意給定的正數(shù)ε，存在正整數(shù)N=1ε-1，只要n>N時(shí)，恒有nn+1-1<ε.”將這個(gè)定義一般化，我們就得到了數(shù)列極限的精確定義.

數(shù)列極限ε-N的定義［3］：設(shè)xn為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)N，使得當(dāng)時(shí)n>N，不等式xn-a<ε都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限，或者稱數(shù)列xn收斂于a，記為limn→∞xn=a或xn→a（n→∞）.

結(jié)語

高等數(shù)學(xué)這門課程在其他學(xué)科中的應(yīng)用是十分廣泛的，在授課過程中注重體現(xiàn)知識的產(chǎn)生過程，將有利于學(xué)生理解知識的本質(zhì)和實(shí)際應(yīng)用.本文以數(shù)列的極限為例，簡單介紹了極限概念的發(fā)展過程，并結(jié)合認(rèn)知規(guī)律，通過問題驅(qū)動(dòng)的方式，重現(xiàn)極限概念的形成過程，在學(xué)生主動(dòng)思考問題的過程中有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

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［8］呂志宏，李永明.為什么要用“ε-N”語言定義數(shù)列極限？［J］.高等數(shù)學(xué)研究，1998（03）：1719.

［9］黃民海.剖析數(shù)列極限的“ε-N”定義［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2012，31（09）：6266.

項(xiàng)目基金：由河南省社科聯(lián)批準(zhǔn)的高校數(shù)學(xué)教師課程思政素養(yǎng)提升研究項(xiàng)目資助（SKL2023950）

*通訊作者：劉霄霄（1994—），女，河南焦作人，碩士，助教，研究方向：不動(dòng)點(diǎn)理論。

作者簡介：肖亞（1995—）男，河南駐馬店人，碩士，助教，研究方向：博弈論。