摘要：“線性代數(shù)”是一門(mén)面向低年級(jí)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)大學(xué)生的核心基礎(chǔ)課，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用，對(duì)學(xué)生后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)起到重要作用。然而抽象的概念符號(hào)以及繁多的公式性質(zhì)使得學(xué)生難以抓住知識(shí)的本質(zhì)，疲于死記硬背，導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣和熱情降低，為學(xué)生學(xué)好這門(mén)課帶來(lái)了不小的阻礙。本文圍繞線性空間和線性變換這兩個(gè)線性代數(shù)知識(shí)體系中的重要概念，研究利用圖示教學(xué)法直觀形象地解釋符號(hào)背后所蘊(yùn)含的知識(shí)邏輯。通過(guò)圖示展示概念之間的所屬關(guān)系，刻畫(huà)線性空間及其子空間的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系，幫助學(xué)生更容易地理解抽象的概念，更深入地掌握知識(shí)要點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力，進(jìn)而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，達(dá)到提升課程的教學(xué)質(zhì)量和效果的目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；圖示教學(xué)法；形象化思維

中圖分類(lèi)號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

“線性代數(shù)”是高等院校開(kāi)設(shè)的一門(mén)面向非數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)的核心基礎(chǔ)課，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用，瑞典科學(xué)家L.戈丁曾說(shuō)：“如果不熟悉線性代數(shù)的概念，就去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來(lái)就和文盲差不多，甚至可能學(xué)習(xí)社會(huì)科學(xué)也是如此?！保?］因此，讓剛進(jìn)入大學(xué)校園的學(xué)生能夠“學(xué)好線性代數(shù)”是高等教育階段的一項(xiàng)重要任務(wù)。然而，由于線性代數(shù)概念本身具有較強(qiáng)的抽象性，相比于微積分等數(shù)學(xué)學(xué)科，更加強(qiáng)調(diào)概念和性質(zhì)的解釋和關(guān)聯(lián)，學(xué)生理解起來(lái)并不容易，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)興趣和熱情降低［2，3］。自20世紀(jì)80年代以來(lái)，圖示教學(xué)法開(kāi)始興起，通過(guò)文字、符號(hào)、數(shù)字等形式構(gòu)成圖示結(jié)構(gòu)，展示知識(shí)框架之間的邏輯關(guān)系，因其直觀系統(tǒng)化的特點(diǎn)，能夠大大減少需要傳遞的信息量，提高教學(xué)效果和效率，所以被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、歷史、地理等各個(gè)學(xué)科［4］。

本文圍繞線性空間和線性變換這兩個(gè)在線性代數(shù)知識(shí)體系中十分重要的概念［56］，探討如何利用圖示教學(xué)法，幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)要點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到提升課程的教學(xué)質(zhì)量和效果的教學(xué)目標(biāo)。

1概念圖示

要準(zhǔn)確理解線性代數(shù)的概念體系，最重要的一點(diǎn)是厘清概念之間的所屬（包含）關(guān)系，下面討論線性空間和線性變換相關(guān)概念的圖示設(shè)計(jì)方法。

1.1線性空間及其基

線性空間本質(zhì)上是對(duì)線性運(yùn)算封閉的對(duì)象的集合，而線性空間的基是其中具有特殊性質(zhì)的向量組，即基向量之間線性無(wú)關(guān)，個(gè)數(shù)固定（為線性空間的維數(shù)），線性空間中的任一向量α都可以由基線性表示，并且基不唯一。因此，采用集合論中的文氏圖表示方法，以矩形框（的內(nèi)部區(qū)域）表示線性空間V（如圖1所示），以大小相同的實(shí)心圈表示基，不同基之間可能存在公共向量也可能不相交，用箭頭表示前者可由后者線性表示，得到線性空間結(jié)構(gòu)的圖示。

1.2線性空間的子空間

線性空間V的子空間是V中對(duì)線性運(yùn)算封閉的子集。每個(gè)子空間都可以看作是由其基張成的（即由基的所有線性組合構(gòu)成的）；任一向量組都可以張成一個(gè)子空間，若這個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，則它就構(gòu)成所張成子空間的一組基。因此，同樣采用文氏圖的表達(dá)方法，以矩形框（的內(nèi)部區(qū)域）表示n維線性空間V，設(shè)V的一組基為α1，α2，…，αn，以空心圈表示由向量組張成的子空間，則由基向量張成的子空間的結(jié)構(gòu)如圖2所示。進(jìn)一步假設(shè)一個(gè)s維子空間W的一組基為β1，β2，…，βs，顯然sn，則向這組基依次添加向量γ1，…，γn-s便可擴(kuò)充為V的一組基，其中對(duì)任意γi（1in-s）都有β1，β2，…，βs，γ1，…，γi線性無(wú)關(guān)，即γi不屬于β1，β2，…，βs，γ1，…，γi-1所張成的子空間，這一過(guò)程如圖2所示。

1.3線性方程組解的結(jié)構(gòu)

以m×n矩陣A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組Ax=0的解集構(gòu)成n維向量空間的子空間，故可稱(chēng)為解空間，其一組基稱(chēng)為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，不妨設(shè)為ξ1，ξ2，…，ξt；非齊次線性方程組Ax=b的解集由于不含零向量，因此并不構(gòu)成向量空間，但其通解可表示為x=η+k1ξ1+k2ξ2+…+ktξt，其中η為Ax=b的一個(gè)特解，k1，…，kt取任意數(shù)，即Ax=b的所有解就是將Ax=0的每個(gè)解與η求和得到，因此兩個(gè)解集的大?。ó?dāng)解集為無(wú)限集時(shí)即為勢(shì)）相同，在幾何上Ax=b的解集即是將Ax=0的解空間平移η。因此，以兩個(gè)大小相同的空心圈分別表示Ax=0的解空間和Ax=b的解集，箭頭表示解向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如圖3所示）。

1.4歐氏空間的基、線性變換及其矩陣

由于歐氏空間是在線性空間上引入了內(nèi)積運(yùn)算，因此若在基向量之間線性無(wú)關(guān)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步要求基向量之間相互正交，則可得到正交基，更進(jìn)一步要求每個(gè)基向量均為單位向量便可得到標(biāo)準(zhǔn)正交基。線性變換在一一映射的條件下即為可逆變換，若進(jìn)一步要求保持向量長(zhǎng)度不變則為正交變換，更進(jìn)一步要求對(duì)空間中所有向量繞某個(gè)向量旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度即為旋轉(zhuǎn)變換，而對(duì)稱(chēng)變換則以上情況都有可能。由于在給定一組基下，任一線性變換都與一方陣相互確定，因此方陣也相應(yīng)地分為可逆陣、正交陣、旋轉(zhuǎn)矩陣和實(shí)對(duì)稱(chēng)陣。但是需要強(qiáng)調(diào)的是，在任何一組基下，可逆變換與可逆陣可以相互確定，但只有在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，正交變換才與正交陣相互確定，旋轉(zhuǎn)變換才與旋轉(zhuǎn)矩陣相互確定，對(duì)稱(chēng)變換才與實(shí)對(duì)稱(chēng)陣相互確定。因此，分別以大小包含的空心圈表示概念之間的所屬關(guān)系，得到相關(guān)的概念體系如圖4所示。

2性質(zhì)圖示

2.1線性空間的維數(shù)公式

設(shè)V1，V2是線性空間中的兩個(gè)子空間，則有dimV1+dimV2=dim（V1+V2）+dim（V1∩V2）.此維數(shù)公式本質(zhì)上刻畫(huà)了子空間V1的基、V2的基、V1∩V2的基與V1+V2的基之間的構(gòu)成關(guān)系。以兩個(gè)空心圈分別表示子空間V1和V2（如圖5所示），這兩個(gè)圈重疊的區(qū)域即表示V1∩V2，以含有這兩個(gè)實(shí)心圈的矩形框（的內(nèi)部區(qū)域）表示V1+V2，以一個(gè)實(shí)心圈表示V1∩V2的一組基S。由于V1∩V2為V1的子空間，所以由S可以擴(kuò)充為V1的一組基，不妨設(shè)添加的向量組為T(mén)，以一個(gè)實(shí)心圈表示，顯然TV1并且T中任一向量都不屬于V1∩V2；同理，由S可以擴(kuò)充為V2的一組基，不妨設(shè)添加的向量組為G，以一個(gè)實(shí)心圈表示，顯然GV2并且G中任一向量都不屬于V1∩V2，則這三個(gè)實(shí)心圈的并S∪T∪G即構(gòu)成V1+V2的一組基。

特別地，若V1∩V2=0，則S為空集，T即為V1的一組基，G即為V2的一組基，這時(shí)V1與V2之和為直和。例如，設(shè)n階方陣有m個(gè)不同的特征值λ1，…，λm，每個(gè)特征值λi都確定一個(gè)特征子空間Vλi，由于屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)，所以特征子空間之和也為直和，故Vλ1∩Vλ2∩…∩Vλm=0。以矩形框（的內(nèi)部區(qū)域）表示特征向量所屬的向量空間Fn（如圖6所示），以只有一個(gè)公共頂點(diǎn)（零向量）的空扇面表示特征子空間Vλ1，Vλ2，…，Vλm以及Vλ1+Vλ2，Vλ2+Vλ3等和空間。由于特征子空間之間為直和，所以有（Vλ1+Vλ2）∩（Vλ2+Vλ3）=Vλ2。

2.2線性變換的維數(shù)公式

設(shè)σ為n維線性空間V上的線性變換，則有dimσ-1（0）+dimσ（V）=n.其中σ-1（0）為線性變換的核空間，σ（V）為線性變換的值域。此維數(shù)公式本質(zhì)上刻畫(huà)了核空間的基與值域的基之間的關(guān)系。以兩個(gè)大小相同的矩形框（的內(nèi)部區(qū)域）分別表示線性空間V（如圖7所示），從左至右的箭頭表示在線性變換σ作用下的映射關(guān)系。在左側(cè)矩形框中以空心圈表示核空間，其一組基T以實(shí)心圈表示，以一點(diǎn)表示零向量；在右側(cè)矩形框中以小矩形框表示值域，其一組基S以實(shí)心圈表示，以一點(diǎn)表示零向量。從核至零向量加以箭頭表示σ將核中所有向量都映射為零向量。在左側(cè)矩形框中以與基S同樣大小的實(shí)心圈表示基S的原象，表示這兩組向量個(gè)數(shù)相同，并以箭頭連接表示σ將基S的原象中的每個(gè)向量都映射為基S中的對(duì)應(yīng)向量，則值域的基S的原象與核的基T之并即構(gòu)成V的一組基。由此可知，核越“小”則值域越“大”，但兩者的維數(shù)之和始終不變。特別地，若核空間縮小到只含有零向量，則基T為空集，值域即為V，這時(shí)的線性變換為一一映射，故為可逆的線性變換。

3教學(xué)效果

文中所述圖示，筆者已在北京航空航天大學(xué)“工科高等代數(shù)”教學(xué)中進(jìn)行了實(shí)踐，從2023年秋季學(xué)期筆者的教學(xué)班的問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果來(lái)看，同學(xué)們對(duì)圖示教學(xué)法持積極肯定的態(tài)度，能夠促進(jìn)對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解。

結(jié)語(yǔ)

“線性代數(shù)”知識(shí)的抽象性是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，為了幫助同學(xué)更形象地理解知識(shí)要點(diǎn)，本文提出利用圖示教學(xué)法，展示了如何將線性空間和線性變換相關(guān)的概念定義和性質(zhì)從文字表述轉(zhuǎn)化為圖示形式，直觀系統(tǒng)地呈現(xiàn)知識(shí)邏輯關(guān)系，并通過(guò)課堂實(shí)踐表明圖示教學(xué)法有利于培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，從而達(dá)到提升課程的教學(xué)質(zhì)量和效果的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

［1］L.戈丁.數(shù)學(xué)概觀［M］.胡作玄，譯.北京：科學(xué)出版社，2001.

［2］李良，黃廷祝，程光輝.喚起好奇，激發(fā)志趣——在線性代數(shù)課程中融入計(jì)算思維［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2022，38（4）：4043.

［3］車(chē)國(guó)鳳，張麗麗.“線性代數(shù)”教學(xué)改革的思考與實(shí)踐［J］.教育教學(xué)論壇，2022（28）：98101.

［4］李夢(mèng)瑤.圖示教學(xué)法在初中歷史教學(xué)中的運(yùn)用研究［D］.上海：上海師范大學(xué)，2021.

［5］李尚志.線性代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［6］高宗升，周夢(mèng)，李紅裔.線性代數(shù)（第3版）［M］.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2016.

基金項(xiàng)目：2023年北京航空航天大學(xué)一流本科課程立項(xiàng)項(xiàng)目“工科高等代數(shù)”

作者簡(jiǎn)介：陳肖宇（1982—），男，漢族，遼寧沈陽(yáng)人，博士，講師，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)管理和教育數(shù)學(xué)。