摘要：Hopf纖維化是代數(shù)拓?fù)渲薪?jīng)典的構(gòu)造.它在理論物理學(xué)方面的應(yīng)用十分廣泛.例如：11共振（TheOnetooneResonance）、剛體的運(yùn)動(dòng)、磁單極子的勢(shì)場(chǎng)、兩態(tài)量子系統(tǒng)的Bloch球面（BlochSphere）表示、廣義相對(duì)論里TaubNUT空間的全局結(jié)構(gòu)以及龐加萊群（覆蓋群的）的零質(zhì)量螺旋度表示等.為了理解此構(gòu)造，本文通過球極投影給出了Hopf纖維化的幾何直觀.并且在此基礎(chǔ)上利用計(jì)算機(jī)軟件畫出了部分的Hopf纖維化.此外，由于在文獻(xiàn)［1］中Thurston給出了Hopf纖維化的諸多結(jié)論，但缺少證明.本文給出了相關(guān)結(jié)論的詳細(xì)證明.

關(guān)鍵詞：Hopf纖維化；球極投影；纖維叢

1概述

記Sn為歐氏空間的單位球面.1931年，Hopf構(gòu)造了S3到S2的映射，即Hopf映射，引發(fā)了對(duì)纖維與同倫群的研究.其構(gòu)造了一個(gè)特殊的纖維化，且任意兩個(gè)纖維之間的環(huán)繞數(shù)1，證明了Hopf映射不同倫于常值映射.隨后他證明了同倫群π3（S2）是由Hopf映射生成的無(wú)限循環(huán)群，表明三維球面到二維球面映射的同倫類有可數(shù)無(wú)窮多［2］.1933年，Hopf利用同調(diào)對(duì)于n維多面體到Sn進(jìn)行完全分類（Hopf分類）［3］.

從同倫的觀點(diǎn)看，Hopf證明了同維數(shù)球面Sn到自身的連續(xù)映射由其映射度唯一決定，這標(biāo)志著同倫論的誕生，Hopf是同倫論奠基者之一，第一個(gè)從拓?fù)浣嵌葋?lái)研究同倫論［4］.1935年，Hurewicz在定義同倫群的概念時(shí)受到Hopf的影響.后來(lái)，F(xiàn)reudental在Hopf與Hurewicz的研究基礎(chǔ)上證明了Hopf分類的完備性.且他發(fā)現(xiàn)了懸垂映射，從此同倫論成為拓?fù)鋵W(xué)中一個(gè)熱門.

Maurício等人［5］研究了Hopf纖維化的推廣，即Hopf流形，他們證明Hopf流形上余1維的非奇異分布是可積的.楊永舉等人［6］對(duì)Hopf流形進(jìn)行了推廣，利用流形上流和萬(wàn)有覆疊理論，構(gòu)造了Hopf流形上的一個(gè)葉狀結(jié)構(gòu).并且證明了某類Hopf流形上不存在閉的（1，1）階微分形式.

2預(yù)備知識(shí)

在這一節(jié)中，我們回顧了纖維叢，纖維化與復(fù)射影空間P1中元素的表示.纖維化是覆疊空間的推廣［7］，是拓?fù)鋵W(xué)中重要的概念之一.纖維叢的理論，是1946年由美國(guó)的斯丁路特、美籍華人陳省身、法國(guó)的艾勒斯曼共同提出的.

定義1：如果滿的映射P：E→B，滿足同倫提升性質(zhì)，則稱P為纖維化.其中B被稱為底空間，E被稱為全空間，Y為任意拓?fù)淇臻g.同倫提升性質(zhì)為任給一個(gè)拓?fù)淇臻gY，以及交換圖，存在一個(gè)h使得下面的圖表中可交換［8］.

任取B中一點(diǎn)b，b在P下的原像被稱為b點(diǎn)的纖維.如果底空間B是道路連通的，可證明B中兩個(gè)不同點(diǎn)b1和b2的纖維是同倫等價(jià)的.

纖維叢是比纖維化更強(qiáng)的一種結(jié)構(gòu)，Hopf纖維化不僅是一個(gè)纖維化，而且是一個(gè)纖維叢.為了進(jìn)一步理解Hopf纖維化，在此處引入纖維叢的定義.

定義2：一個(gè)纖維叢是由四元組（E，B，π，F(xiàn)）構(gòu)成，其中E，F(xiàn)是拓?fù)淇臻g，B是連通的，B被稱為叢的底空間，F(xiàn)被稱為纖維，π為投影映射。π：E→B為一個(gè)連續(xù)滿射，滿足局部平凡化的條件.其中局部平凡化的條件是：對(duì)于x∈B，存在一個(gè)在B中包含x的開鄰域U，并有一個(gè)同胚映射φ：π-1（U）→U×F，φ并且要滿足φ：π（y）=p1°φ（y），y∈π-1（U）.其中p1：U×F→U是自然投影［910］.

定義3：復(fù)投影空間

2中每一個(gè)經(jīng)過原點(diǎn)z=0的復(fù)直線（是一個(gè)實(shí)平面）視為一點(diǎn)所得商空間，即

-0，z12+z22≠0

所有符合條件的（λz1，λz2）均可以作為等價(jià)類的代表元.即［z1，z2］=［λz1，λz2］.

3Hopf纖維化

此節(jié)我們將證明Hopf纖維化是纖維叢，其中S3是全空間，S2是底空間（事實(shí)上S2與

P1同胚，具體證明細(xì)節(jié)參考文獻(xiàn)［11］），S1是纖維.S3是歐氏空間的單位球面：

S3=（x1，x2，x3，x4）|x12+x22+x32+x42=1，S3∈

2.此同構(gòu)將可以使R4中的點(diǎn)（x1，x2，x3，x4）與.令z2=a，0<a<1，每當(dāng)取定一個(gè)0到1的實(shí)數(shù)a，就會(huì)得到一個(gè)過點(diǎn)（z1，z2）的纖維F（z1，z2）.當(dāng)實(shí)數(shù)a取遍0到1時(shí)，我們?nèi)∵@些纖維的并集

∪z2=aF（z1，z2）

其中∪z2=aF（z1，z2）={λ（z1，z2）λ=1，z2=a，z1=1-a2}.根據(jù)已知條件可設(shè)λ=eiθ，θ∈［0，2π］，設(shè)z1=beiψ，z2=aeiφ，其中ψ∈［0，2π］，φ∈［0，2π］.令b=1-a2，將歐拉公式：

eiθ=cosθ+isinθ

與

∪z2=aF（z1，z2）=eiθ（beiψ，aeiφ）|θ∈［0，2π］，ψ∈［0，2π］，φ∈［0，2π］

代入上述球極投影s有：

sbcosψ+θ，bsinψ+θ，acosφ+θ，asinφ+θ=bcosψ+θ1-asinφ+θ，bsinψ+θ1-asinφ+θ，acos（φ+θ）1-asin（φ+θ）.

為了方便表示將bcos（ψ+θ）1-asin（φ+θ），bsin（ψ+θ）1-asin（φ+θ），acos（φ+θ）1-asin（φ+θ）記為x，y，z，

下面對(duì)z=acos（φ+θ）1-asin（φ+θ）進(jìn)行化簡(jiǎn)：

由已知x2=b2cos2（ψ+θ）（1-asin（φ+θ））2，y2=b2sin2（ψ+θ）（1-asin（φ+θ））2，z2=a2cos2（φ+θ）（1-asin（φ+θ））2

得到

x2+y2=b2（1-asin（φ+θ））2

據(jù)a2+b2=1有：

z2=-b2（1-asin（φ+θ））2+21-asin（φ+θ）-1

再令t=11-asin（φ+θ），有x2+y2=b2t2且得到：

b2t-2t+1+z2=0

解得：

t=1±1-b2（z2+1）b2

將t=1±1-b2（z2+1）b2代入x2+y2=b2t2中有：

x2+y2=b·（1±1-b2（z2+1）b2）2

容易看出：

b2（x2+y2）=（1±1-b2（z2+1））2

再次化簡(jiǎn)得到：

x2+y2-1b2+z2=a2b2

在此種情況下z2=a，z12+z22=1，纖維F（z1，z2）在球極投影下的像在環(huán)面上.

令R=1b，r=ab代入，得到：

x2+y2-R2+z2=r2

Hopf纖維化的一部分圖

其中上圖中的左圖的參數(shù)為：

ψ=φ=0，a∈k（0.1）|k∈Z，0k（0.1）0.7

上圖中的右圖的參數(shù)為：

a=22，φ，ψ∈k（0.4）|k∈Z，0k（0.4）2π

結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)s3上的點(diǎn)的討論，得出了纖維叢（S3，S2，η，S1）中的纖維s1在球極投影下的像有以下三種情況：纖維s1在球極投影下的像是平面上的標(biāo)準(zhǔn)圓周，纖維s1在球極投影下的像是空間直角坐標(biāo)系的Z軸并無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，纖維s1在球極投影下的像在環(huán)面上。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：趙坤（1998—），男，漢族，江西九江人，碩士研究生，研究方向：代數(shù)拓?fù)洹?/p>