王莉果

［摘 要］四邊形中已知?jiǎng)狱c(diǎn)求線(xiàn)段長(zhǎng)度最值問(wèn)題是各地中考和模擬考中熱門(mén)壓軸題的熱點(diǎn)問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，常令學(xué)生望而生畏。目前部分教輔資料在介紹其解答過(guò)程時(shí)突然冒出幾條“輔助線(xiàn)”，省略了思維的生成過(guò)程，使得學(xué)生更加困惑。文章立足學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，對(duì)近年來(lái)各地中考和模擬考中的四邊形中已知?jiǎng)狱c(diǎn)求線(xiàn)段長(zhǎng)度最值問(wèn)題進(jìn)行深入探究，對(duì)“輔助線(xiàn)”的來(lái)龍去脈進(jìn)行追本溯源，并歸納總結(jié)了幾種常見(jiàn)的解答策略，以供一線(xiàn)教師參考。

［關(guān)鍵詞］四邊形；已知?jiǎng)狱c(diǎn)；線(xiàn)段長(zhǎng)度；最值問(wèn)題

［中圖分類(lèi)號(hào)］ ???G633.6??????? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］??? A??????? ［文章編號(hào)］??? 1674-6058（2024）14-0021-04

因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，也是中考經(jīng)常涉及的領(lǐng)域之一[1]，這類(lèi)問(wèn)題考查知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)、題型多、解法靈活，主要有線(xiàn)段最值問(wèn)題、多邊形面積最值問(wèn)題、多邊形周長(zhǎng)最值問(wèn)題、運(yùn)動(dòng)中的函數(shù)圖象最值問(wèn)題四種考查類(lèi)型。本文主要探討四邊形中已知?jiǎng)狱c(diǎn)求線(xiàn)段長(zhǎng)度最值問(wèn)題的解答策略。

策略一：利用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)模型求解

在直線(xiàn)[l]的同側(cè)有[A]、[B]兩點(diǎn)，若在直線(xiàn)[l]上找一點(diǎn)[P]，使[AP+BP]最小，則可以利用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)模型求解：如圖1，作點(diǎn)[A]關(guān)于直線(xiàn)[l]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[A]，連接[AB]，使[AB]與直線(xiàn)[l]相交，其交點(diǎn)[P]即為所求點(diǎn)。

［題1］（2019年陜西省中考數(shù)學(xué)副卷）如圖2，[O]為菱形[ABCD]的對(duì)稱(chēng)中心，[AB=4]，[∠BAD=120°]。若點(diǎn)[E]、[F]分別在[AB]、[BC]邊上，連接[OE]、[OF]，則[OE+OF]的最小值為 ???????。

分析：由于兩動(dòng)點(diǎn)[E]、[F]在[AC]同側(cè)，因此可以結(jié)合對(duì)稱(chēng)性將[E]、[F]轉(zhuǎn)化為在[AC]兩側(cè)處理，然后利用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)模型求解。

解：如圖3，連接[AC]，作點(diǎn)[E]關(guān)于[AC]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[E]，連接[OE]，則[OE+OF=OE+OF≥E′F]，因?yàn)樗倪呅蝃ABCD]是邊長(zhǎng)為4的菱形，且[∠BAD=120°]，所以易證[△ABC]為等邊三角形，且高為[23]，由“兩平行線(xiàn)間垂線(xiàn)段最短”可知[OE+OF]的最小值為[23]。

策略二：利用三角形兩邊之差的范圍求解

如圖4，在直線(xiàn)[l]的同側(cè)有[A]、[B]兩點(diǎn)，若在直線(xiàn)[l]上找一點(diǎn)[P]，使[AP-BP]最大，則可以利用三角形兩邊之差的性質(zhì)求解：當(dāng)[P]、[A]、[B]三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，[AP-BP

[l]

［題2］（2019年陜西省中考數(shù)學(xué)）如圖6，在正方形[ABCD]中，[AB=8]，[AC]與[BD]交于點(diǎn)[O]，[N]是[AO]的中點(diǎn)，點(diǎn)[M]在[BC]邊上，且[BM=6]。[P]為對(duì)角線(xiàn)[BD]上一點(diǎn)，則[PM-PN]的最大值為 ???????。

分析：本題屬于典型的兩側(cè)差最大值問(wèn)題，由于兩定點(diǎn)[M]、[N]在[BD]兩側(cè)，因此可以結(jié)合對(duì)稱(chēng)性將[M]、[N]轉(zhuǎn)化為在[BD]同側(cè)處理。

解：如圖7，以[BD]為對(duì)稱(chēng)軸作[N]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[N]，連接[MN′]并延長(zhǎng)交[BD]于[P]，連[NP]，由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知[PN=PN]，[∴PM-PN=PM-PN≤MN]，當(dāng)[P]、[M]、[N]三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取“[=]”號(hào)。

[∵]正方形的邊長(zhǎng)為8，且[O]為[AC]中點(diǎn)，[∴AC=2AB=82]，[AO=OC=42]，又[∵N]為[OA]的中點(diǎn)，[∴ON=22]，[∴ON=CN][=22]，[∴AN=62]，[∵BM=6]，[∴CM=][2]，[∴][CMCB=CNCA=14]，故[△CMN ]∽[△CBA]，[∴MN=2]，即[PM-PN]的最大值為2。

策略三：利用特殊位置求解

當(dāng)遇到難以解決的動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題時(shí)，可從一般退到特殊，先將動(dòng)點(diǎn)放在線(xiàn)段端點(diǎn)等特殊位置上，再通過(guò)對(duì)特殊位置的研究找到解題思路。

［題3］（2022年陜西省中考數(shù)學(xué)）如圖8，在菱形[ABCD]中，[AB=4]，[BD=7]。若[M]、[N]分別是邊[AD]、[BC]上的動(dòng)點(diǎn)，且[AM=BN]，作[ME⊥] [BD]，[NF⊥BD]，垂足分別為[E]、[F]，則[ME+NF]的值為 ???????。

分析：可從特殊位置出發(fā)，當(dāng)[M]與[D]重合時(shí)，由[AM=BN]可知[N]與[C]也重合，此時(shí)[ME=0]，[NF=CO=12AC]（[O]為[AC]與[BD]的交點(diǎn)），故[ME+NF]的值必定與線(xiàn)段[AC]有關(guān)，接下來(lái)只要驗(yàn)證其一般性即可。注意到線(xiàn)段[ME]和[NF]在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終保持平行，而線(xiàn)段[AC]的長(zhǎng)度為定值，且與[ME]和[NF]均平行，所以可以通過(guò)相似三角形中的邊長(zhǎng)比例關(guān)系，將未知量[ME]和[NF]的值轉(zhuǎn)化為[AC]的關(guān)系式求解。

解：如圖9，連接[AC]交[BD]于[O]，[∵]四邊形[ABCD] 為菱形，∴[BD⊥AC]，[OB=OD=72]，[OA=OC]，由勾股定理可得[OA=AB2-OB2=42-722=152]，易證[△DEM]∽[△DOA]，[∴][MEOA=DMAD]，即[ME=4-AM4·OA]，同理得[NF=BN4·OC=AM4·OA]，∴[ME+NF=OA=152]。

策略四：利用面積法求解

面積法的應(yīng)用常見(jiàn)于直角三角形斜邊上的單動(dòng)點(diǎn)距離最小值問(wèn)題，利用直角三角形面積的兩種求法可以確定動(dòng)點(diǎn)位置。

［題4］（2022年包頭二模）如圖10，菱形[ABCD]的對(duì)角線(xiàn)[AC]、[BD]相交于點(diǎn)[O]，點(diǎn)[P]為[AB]邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)[A]、[B]重合），[PE⊥OA]于點(diǎn)[E]，[PF⊥OB]于點(diǎn)[F]，若[AC=20]，[BD=10]，則[EF]的最小值為 ??????。

分析：本題根據(jù)圖形特征，易知四邊形[PEOF]為矩形，故求雙動(dòng)點(diǎn)[E]、[F]距離的最小值可以轉(zhuǎn)化為求單動(dòng)點(diǎn)[P]到定點(diǎn)[O]的最小值，顯然當(dāng)[OP⊥AB]時(shí)，[OP]最小。

解：如圖11，連接[OP]，∵四邊形[ABCD]是菱形，∴[AC⊥BD]，[AO=12AC=10]，[BO=12BD=5]，∴[AB=102+52=55]，易證四邊形[PEOF]為矩形，∴[EF=OP]，又∵當(dāng)[OP⊥AB]時(shí)，[OP]最小，此時(shí)[S△ABO=12AO·BO=12AB·OP]，∴[OP=25]，∴[EF]的最小值為[25]。

評(píng)注：本題還可以推廣為求[2PE+PF]的值，過(guò)程如下：[S△ABO=12AO·BO=25]，[S△ABO=S△APO+S△BPO=12AO·PE+12BO·PF=52（2PE+PF）]，∴[2PE+PF=10]。

策略五??? 利用條件中的不變量求解

對(duì)于平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等幾何變換模型，我們可以尋找題目條件中的不變量，以“靜”制“動(dòng)”，將與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線(xiàn)段最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與不變量有關(guān)的線(xiàn)段最值問(wèn)題。值得注意的是，題目中不一定需要出現(xiàn)翻折、旋轉(zhuǎn)等字眼，例如軸對(duì)稱(chēng)圖形也可以當(dāng)成翻折變換處理。

［題5］（2023年蕪湖一模）如圖12，在正方形[ABCD]中，已知邊[AB=5]，點(diǎn)[E]是[BC]邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)[E]不與[B]、[C]重合），連接[AE]，作點(diǎn)[B]關(guān)于直線(xiàn)[AE]的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[F]，則線(xiàn)段[CF]的最小值為[（][）]。

A. 5???????? B. [52-5]??????? C. [522]???????? D. [52]

分析：本題中[B]、[F]關(guān)于直線(xiàn)[AE]對(duì)稱(chēng)，可以將其當(dāng)成[BA]或[BE]沿[EA]所在的直線(xiàn)進(jìn)行翻折，得到[FA]或者[FE]，顯然[FA]為定值，故考慮將[CF]轉(zhuǎn)化為與[FA]有關(guān)的問(wèn)題求解，即放到[△CFA]中進(jìn)行處理，注意到[AC]亦為定值，故可以利用三角形的兩邊和差范圍求解。

解：如圖13，連接[AF]、[AC]，[∵]正方形[ABCD]的邊長(zhǎng)為5，∴[AC=52]，∵[B]、[F]關(guān)于[AE]成軸對(duì)稱(chēng)，∴[AE]垂直平分[BF]，∴[AB=AF=5]，∵[AF+CF≥AC]，[∴]當(dāng)[C]、[F]、[A]在同一直線(xiàn)上時(shí)，[CF]的最小值為[AC-AF=52-5]，故選B。

策略六：利用隱圓求解

某些動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中會(huì)出現(xiàn)隱圓的條件，如對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，直角三角形中的斜邊中線(xiàn)等，這時(shí)可以畫(huà)出隱圓，利用圓上一動(dòng)點(diǎn)到圓外一定點(diǎn)的距離范圍求解。

設(shè)[A]是[⊙O]上一動(dòng)點(diǎn)，[B]是[⊙O]外一定點(diǎn)，[⊙O]的半徑為[r]，[OB=d]。

（1）如圖14，當(dāng)[O]、[A]、[B]三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，[OA+AB>OB=OA+AB]，[AB>AB]。

當(dāng)[A]、[A]兩點(diǎn)重合時(shí)，顯然[AB=AB]，故當(dāng)[O]、[A]、[B]三點(diǎn)共線(xiàn)（[A]在線(xiàn)段[OB]上）時(shí)，[AB]的最小值為[OB-OA=d-r]。

（2）如圖15，當(dāng)[O]、[A]、[B]三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，[AB

［題6］（2022年安徽一模）如圖16，在邊長(zhǎng)為2的菱形[ABCD]中，[∠A=60°]，點(diǎn)[M]是[AD]邊的中點(diǎn)，點(diǎn)[N]是[AB]邊上一動(dòng)點(diǎn)，將[△AMN]沿[MN]所在的直線(xiàn)翻折得到[△A′MN]，連接[A′C]，則[A′C]長(zhǎng)度的最小值是[（][）]。

A. [7]??????? ??B. [7-1]????????? C. [3]????????? D. 2

分析：本題中[MD=MA=MA]，故[AA][⊥AD]，即[A]在以[M]為圓心，[AD]為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)[M]、[A]、[C]三點(diǎn)共線(xiàn)（[A]在線(xiàn)段[MC]上）時(shí)，[A′C]的長(zhǎng)度最小。

解：由分析易證，當(dāng)[A′]在[MC]上時(shí)，[A′C]的長(zhǎng)度最小。如圖17，過(guò)點(diǎn)[M]作[MF⊥] [DC]于點(diǎn)[F]，[∵]在邊長(zhǎng)為2的菱形[ABCD]中，[∠A=60°]，[M]為[AD]中點(diǎn)，∴[2MD=AD=CD=2]，[∠FDM=60°]，∴[∠FMD=30°]，∴[FD=12MD=12]，∴[FM=DM·cos30°=32]，∴[MC=FM2+CF2=7]，[A′C≥MC-MA′=7-1]，故選[B]。

策略七：利用相似/全等三角形求解

如圖18，已知[ABAB=ACAC=k]，[∠BAC=∠B′AC′=α]，則當(dāng)[k≠1]時(shí)，[△ABB]∽[△ACC]；當(dāng)[k=1]時(shí)，[△ABB ]≌[△ACC]，[CC=BB]。

如圖19，已知[ABAB=ACAC=k]，[∠B′AC′=∠BAC=90°]，則[△ABB ]∽[△ACC]，[BB⊥CC]，[S四邊形BCBA′=12BC×BC]。

上述模型也被稱(chēng)為“手拉手”相似或全等模型，其特點(diǎn)是“共頂點(diǎn)”“等頂角”“兩相似”或“兩全等”。其證明過(guò)程并不復(fù)雜，限于篇幅，這里不作證明。

［題7］（2023年成都模擬）如圖20，[△ABC ]∽[△ADE]，[∠BAC=∠DAE=90°]，[AB=5]，[AC=12]，[F]為[DE]中點(diǎn)，若點(diǎn)[D]在直線(xiàn)[BC]上運(yùn)動(dòng)，連接[CF]，則在點(diǎn)[D]運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段[CF]的最小值為 ?????。

圖20

分析：本題[Rt△ABC]與[Rt△ADE]屬于“手拉手”相似模型，易得[△ABD] ∽[△ACE]，[∠ABD=∠ACE]，∴[∠ACE+∠ACB=∠ABD] [+∠ACB=90°]，∵[F]是[DE]的中點(diǎn)，∴[CF=12DE]，即題目問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求[DE]的最小值，這時(shí)再利用題目條件中所給的邊長(zhǎng)和相似關(guān)系即可求解。

解：如圖21，連接[EC]，設(shè)[AC]與[DE]交于點(diǎn)[G]，∵[△ABC ]∽[△ADE]，∴[∠ACD=∠AEG]，∵[∠AGE=∠DGC]，∴[△AGE] ∽[△DGC]，∴[AGDG=GECG]，∵[∠AGD=∠EGC]，∴[△AGD] ∽[△EGC]，∴[∠ADG=∠ECG]，∴[∠DCG+∠ECG=90°]，∵[F]是[DE]的中點(diǎn)，∴[CF=12DE]，∵[△ABC] ∽[△ADE]，∴[ABAD=BCDE]， ∵[∠BAC=90°]，∴[BC=AB2+AC2=52+122=13]，∴[5AD=13DE]，即[DE=135AD]，當(dāng)[AD⊥BC]時(shí)，[AD]最短，此時(shí)[DE]最小，∴[12BC·AD=12AB·AC]，[12×5×12=12×13×AD]，∴[AD=6013]，[DE=135×6013=12]，∴[CF=12×12=6]。

在近幾年的各類(lèi)考試中，考查動(dòng)點(diǎn)和線(xiàn)段最值相結(jié)合的試題屢見(jiàn)不鮮，且?？汲Ｐ拢瑧?yīng)引起教師的高度重視。由于學(xué)生對(duì)相關(guān)幾何關(guān)系掌握不到位，導(dǎo)致考試丟分嚴(yán)重。教師總結(jié)這一類(lèi)問(wèn)題的通性通法，以“靜”制“動(dòng)”，借助題目的已知條件、所求問(wèn)題的圖形特征及運(yùn)動(dòng)規(guī)律等，靈活地把未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件[2]，讓學(xué)生能正確地解決這類(lèi)問(wèn)題，提高學(xué)生的解題效率。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻(xiàn)?? ］

[1]? 徐欣.基于變式教學(xué)的初中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)策略研究[D].重慶：重慶師范大學(xué)，2021.

[2]? 楊煥榮.四邊形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2012（13）：22-23.

（責(zé)任編輯??? 黃春香）