鄒衛(wèi)剛

[摘要]新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)既要立足教材，又要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)和整合各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)素材，從而將“教材”轉(zhuǎn)化為“學(xué)材”，讓學(xué)生的思維活起來，讓課堂動(dòng)起來，切實(shí)發(fā)展學(xué)生的綜合能力和綜合素養(yǎng)．研究者以“閱讀與思考代數(shù)基本定理”為例，通過對(duì)教材資源的開發(fā)與整合，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性，在加深理解代數(shù)基本定理的同時(shí)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．

[關(guān)鍵詞]教材；學(xué)材；理解；學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)教材是最基本也是最重要的課程資源，是教師教和學(xué)生學(xué)的基本素材和重要工具，在教學(xué)中的價(jià)值和地位是不言而喻的．不過．強(qiáng)調(diào)教材的價(jià)值并不是說在教學(xué)中可以照抄照搬，要知道不同地區(qū)、不同學(xué)校、不同學(xué)生，其教學(xué)水平、學(xué)習(xí)水平等有所不同．若在教學(xué)中照本宣科，勢(shì)必造成部分學(xué)生的不適，從而影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)信心，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和思維能力的發(fā)展．因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從教學(xué)實(shí)際出發(fā)．活用教材提供的材料，創(chuàng)造性地使用教材．將教材轉(zhuǎn)化為更適合學(xué)生發(fā)展的“學(xué)材”，當(dāng)然，為了達(dá)到這一目的．教師要認(rèn)真鉆研教材、鉆研學(xué)生，深刻理解教材的編寫意圖．準(zhǔn)確把握學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，充分挖掘材料的功能，將教學(xué)資料以學(xué)生最易理解和接受的方式呈現(xiàn)出來．真正做到尊重教材．卻不拘泥于教材．有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升教學(xué)品質(zhì).

筆者教學(xué)“代數(shù)基本定理”時(shí)，以教材為依據(jù)，以學(xué)生已有知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，多方面整合各種教學(xué)資料，充分發(fā)揮學(xué)材的價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考與合作探究中獲得關(guān)鍵能力和必備品格.

教學(xué)分析

1．內(nèi)容分析

在唯分論的影響下．部分教師在教學(xué)中喜歡“撈干貨”．對(duì)于“探索與發(fā)現(xiàn)”和“閱讀與思考”等內(nèi)容常常是置之不理．本節(jié)課內(nèi)容出于“閱讀與思考”欄目．蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法．對(duì)開闊學(xué)生的視野．引導(dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)有著非常積極的作用．因此．在實(shí)際教學(xué)中．教師要充分挖掘蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，并提供時(shí)間和空間讓學(xué)生自主探究，將多種教學(xué)資源整合為學(xué)材，逐步提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

在學(xué)習(xí)本節(jié)課前．學(xué)生已經(jīng)完成了復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在此基礎(chǔ)上，將復(fù)數(shù)領(lǐng)域推廣到多項(xiàng)式方程領(lǐng)域．引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷用數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)等過程，讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷發(fā)展與完善的過程，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看待問題．切實(shí)提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展．

代數(shù)基本原理的證明超出了學(xué)生現(xiàn)有水平．因此本節(jié)課教學(xué)只要學(xué)生能夠猜想出代數(shù)基本定理，并且能夠用于解決簡(jiǎn)單的問題即可，在本節(jié)課教學(xué)中，教師要擺脫傳統(tǒng)的講授式教學(xué)模式的束縛，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、交流、反思等理性思維過程．讓學(xué)生在學(xué)懂會(huì)用的基礎(chǔ)上．掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)學(xué)習(xí)能力．

2．教學(xué)目的

（1）讓學(xué)生在具體實(shí)例中歸納猜想代數(shù)基本定理．并用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述；

（2）體會(huì)方程的根的個(gè)數(shù)與方程之間、根與根之間、根與系數(shù)之間的關(guān)系．學(xué)會(huì)用歸納的思想方法研究問題;

（3）引導(dǎo)學(xué)生自主探究，讓學(xué)生在互動(dòng)交流中養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣，提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力．

3．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

（1）理解和掌握代數(shù)基本定理；

（2）韋達(dá)定理的推廣與應(yīng)用；

（3）通過經(jīng)歷觀察、歸納、猜想等思維過程，主動(dòng)獲取知識(shí).

教學(xué)過程

1．復(fù)習(xí)導(dǎo)入，啟迪思維

問題1數(shù)系為什么要擴(kuò)充7在擴(kuò)充過程中，什么保持不變？

問題2在復(fù)數(shù)集內(nèi)，以下方程該如何求解？

（1）x2-1=0;（2）x4_1=0;（3）x2-2x+3=0;（4）x2-ix=0;（5）x3-3x2+5x-3=0;（6）x3+ix2-x-i=0.

問題給出后．筆者讓學(xué)生獨(dú)立求解．待大多數(shù)學(xué)生完成求解后．筆者讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行討論．筆者巡視并適時(shí)給予指導(dǎo)．從而幫助學(xué)生順利完成解答．筆者讓各小組派代表展示解題結(jié)果，并鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行解后反思．讓學(xué)生體會(huì)方程形式的差異、根的差異，激發(fā)學(xué)生探索新知的積極性．

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)．讓學(xué)生體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充的必要性和不變性，加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，從而為新內(nèi)容的學(xué)習(xí)做鋪墊，本課內(nèi)容比較抽象，為了幫助學(xué)生理解和掌握，筆者從學(xué)生熟悉的方程出發(fā)，讓學(xué)生初步體會(huì)方程與根之間的關(guān)系．以便學(xué)生快速地融入新知的探究中．在此過程中，筆者創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生獨(dú)立思考與合作探究．一方面加強(qiáng)學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的理解和鞏固，另一方面讓學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)后．對(duì)方程的根及方程的形式的認(rèn)識(shí)更加豐富．點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．

2．自主探究，知識(shí)建構(gòu)

（1）指導(dǎo)觀察，猜想結(jié)論．

問題3 結(jié)合以上方程的形式及根的形式，請(qǐng)思考這樣幾個(gè)問題：①一元n次方程在復(fù)數(shù)集有幾個(gè)根？②如果一元n次方程有復(fù)數(shù)根．那么復(fù)數(shù)根間存在怎樣的關(guān)系？③類比實(shí)系數(shù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系能否得到復(fù)系數(shù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？④復(fù)系數(shù)三次方程x3+ix2-x-i=0的根與系數(shù)存在怎樣的關(guān)系？⑤一元n次方程的根與系數(shù)存在怎樣的關(guān)系？綜合以上分析過程，你能得到怎樣的結(jié)論？

在教學(xué)中．筆者用PPT呈現(xiàn)各方程的計(jì)算結(jié)果，先讓學(xué)生獨(dú)立觀察、分析，然后小組討論、合作探究．在筆者的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生獨(dú)立思考．主動(dòng)交流，課堂氣氛活躍．待大部分學(xué)生有結(jié)論后．筆者讓學(xué)生匯報(bào)交流.

設(shè)計(jì)意圖 從計(jì)算結(jié)果出發(fā)．讓學(xué)生對(duì)比觀察、歸納總結(jié)，逐漸形成猜想，在此過程中，筆者設(shè)置精心創(chuàng)設(shè)的問題，為學(xué)生思考提供方向．加快知識(shí)生成速度，本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容非常抽象，僅憑講授很難讓學(xué)生理解和接受，同時(shí)直接教授也很難讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想等思維過程，影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．不利于新知的理解與掌握．因此．在本節(jié)課教學(xué)中，筆者將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生．讓學(xué)生相互交流、相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充，逐漸形成正確認(rèn)識(shí)，進(jìn)而突破難點(diǎn)．當(dāng)然．在此過程中，學(xué)生也遇到過一些障礙，筆者通過鼓勵(lì)和引導(dǎo)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體價(jià)值．讓學(xué)生真正成了課堂學(xué)習(xí)主體．

（2）合作探究，提升能力．

探究1 任何一元n（n∈N'）次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個(gè)一次因式的乘積．一元n次多項(xiàng)式方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．

①巧借特例，驗(yàn)證定理．

學(xué)生根據(jù)以上結(jié)果能夠得到探究1，但是借助6個(gè)方程就得到這一結(jié)論．難免有些牽強(qiáng)，于是筆者又讓學(xué)生列舉了一些實(shí)例進(jìn)一步驗(yàn)證，從學(xué)生列舉的實(shí)例來看，大多數(shù)為一元二次方程和一元三次方程．因?yàn)橐辉匠痰拇螖?shù)超過4．就沒有統(tǒng)一的求根公式了，這樣學(xué)生求解比較困難．基于此，為了讓學(xué)生獲得豐富的感知，筆者借助Mathematica軟件進(jìn)行演示（如圖1所示），這樣學(xué)生就可以列舉更為復(fù)雜的方程進(jìn)行驗(yàn)證．以此加深對(duì)探究1的理解．

設(shè)計(jì)意圖 探究1的論證要用到代數(shù)基本定理．但是運(yùn)用高中知識(shí)證明該定理是無法完成的，因此筆者沒有直接利用代數(shù)基本定理去驗(yàn)證．而是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用特殊到一般的思想方法進(jìn)行總結(jié)歸納，不過．僅通過6個(gè)特例來驗(yàn)證顯然不具說服力．于是筆者又提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生列舉更多的實(shí)例，讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣去發(fā)現(xiàn)、去探索，以此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，讓學(xué)生逐漸愛上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．由于高次多項(xiàng)式的因式分解是一個(gè)難點(diǎn)問題．為了幫助學(xué)生突破這一難點(diǎn)．筆者借助Mathematica軟件進(jìn)行了演示．這樣既能幫助學(xué)生積累豐富的感性素材，又能讓特殊到一般的思想方法深入學(xué)生之心．大幅提升學(xué)生參與課堂的積極性．

②引人數(shù)學(xué)史，理解定理.

接著筆者介紹代數(shù)基本定理的發(fā)展歷史．并鼓勵(lì)學(xué)生課后查閱有關(guān)資料，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)引入該定理的必要性，堅(jiān)定學(xué)生的學(xué)習(xí)信心．

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不單要讓學(xué)生掌握知識(shí)，更重要的是要讓學(xué)生掌握研究方法．激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．因此．在實(shí)際教學(xué)中．教師有必要搜集一些學(xué)生感興趣的數(shù)學(xué)史．讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展是如何一步一步走過來的，這樣不僅可以豐富課堂活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，對(duì)發(fā)展學(xué)生的問題解決能力也是極有益的，代數(shù)基本定理是比較抽象的．讓學(xué)生順著數(shù)學(xué)家的思路走近代數(shù)基本定理，有利于學(xué)生獲得深刻的理解．

探究2 假設(shè)復(fù)數(shù)a+bi是實(shí)系數(shù)一元n次方程axn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的根．那么它的共軛復(fù)數(shù)a-bi也是該方程的根．（復(fù)數(shù)根是成對(duì)出現(xiàn)的）

在論證探究2時(shí)，筆者又給出了這樣一個(gè)問題：已知復(fù)數(shù)1+2i是方程x2-ax+b=0（a，b∈R）的一個(gè)根，則a=____，b=____，方程的另一個(gè)根是____.

從教材安排來看．共軛復(fù)數(shù)只涉及相關(guān)概念．沒有對(duì)性質(zhì)進(jìn)行深入探究．因此．對(duì)于探究2的證明可以留給學(xué)生課后完成．這樣一方面可以減少課堂容量．提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；另一方面可以給學(xué)生提供獨(dú)立探究的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)．

設(shè)計(jì)意圖 探究2比較抽象，學(xué)生很難理解和接受，基于此，筆者給出具體實(shí)例，以此降低思維難度，提高學(xué)生參與的積極性．同時(shí)，借助此實(shí)例可以有效鏈接探究1和探究2。并為后續(xù)問題的解決做鋪墊．

探究3 對(duì)于問題3．是否可以用韋達(dá)定理來解決呢？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生利用韋達(dá)定理解決問題，讓學(xué)生親身體驗(yàn)從二次方程的韋達(dá)定理推廣至三次方程的韋達(dá)定理的過程，滲透類比、歸納等思想方法，在此基礎(chǔ)上．筆者進(jìn)行適度啟發(fā)．以此讓學(xué)生自然地將二次方程的韋達(dá)定理推廣至n次方程的韋達(dá)定理．引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)展的眼光看待問題．

在筆者的啟發(fā)和指導(dǎo)下．學(xué)生完成韋達(dá)定理由二次向三次的推廣后．筆者又提出了一個(gè)問題：設(shè)a，b，c是方程x3-3x-2=0的根．則（1+a/1-a）+（1+b/1-b）+（1+c/1-c）=________.

結(jié)合探究2的結(jié)果．由韋達(dá)定理可得a+b+c=0，ab+bc+ca=-3，abc=2，然后通分并化簡(jiǎn)，易求（1+a/1-a）+（1+b/1-b）+（1+c/1-c）=-3．

設(shè)計(jì)意圖 借助具體應(yīng)用．一方面檢查學(xué)生對(duì)探究2的理解程度，另一方面讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)探究的意義．提升學(xué)生的數(shù)學(xué)探究興趣．

3．學(xué)以致用，拓展延伸

（1）設(shè)a，b，c是方程x3-k1x-k2=0的根（k1+k2≠），則1+a/1-a）+（1+b/1-b）+（1+c/1-c）=________.

（2）試寫出anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的根與系數(shù)之間的關(guān)系．（不需要證明）

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用探究1及探究2的結(jié)論解決問題．讓學(xué)生體會(huì)韋達(dá)定理在解決實(shí)際問題中的價(jià)值，加深學(xué)生對(duì)代數(shù)基本定理的理解．

4．課堂小結(jié)，穩(wěn)固知識(shí)

問題4通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)．你有哪些收獲，還有哪些困惑？請(qǐng)從知識(shí)、思想、方法等方面談一談．

本環(huán)節(jié)筆者讓學(xué)生獨(dú)立思考．然后讓學(xué)生展示并交流所思、所想.

設(shè)計(jì)意圖 教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、思想、方法等方面進(jìn)行多角度反思與回顧．讓學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)．掌握數(shù)學(xué)研究方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．

教學(xué)思考

1．充分發(fā)揮教師主導(dǎo)作用．提升課堂資源的價(jià)值

教師作為課堂教學(xué)的組織者．其肩負(fù)著對(duì)課程資源的鑒別、開發(fā)與利用．在課堂教學(xué)中．教師要提高對(duì)課程資源的認(rèn)識(shí)．要充分理解數(shù)學(xué)知識(shí)的前世今生，以便教學(xué)中更好地呈現(xiàn)問題的來龍去脈．實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通，同時(shí)．教師要關(guān)注學(xué)情．精心創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知水平的問題．讓學(xué)生主動(dòng)參與探究活動(dòng)．有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．另外．教師要了解學(xué)生的困惑．在適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)創(chuàng)設(shè)梯度問題，以此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，讓不同層級(jí)的學(xué)生都能有所發(fā)展.

例如．在本節(jié)課教學(xué)前．筆者認(rèn)真研究過教學(xué)內(nèi)容，明確了三個(gè)探究主題（根的個(gè)數(shù)、根與根之間的關(guān)系和根與系數(shù)之間的關(guān)系）．并結(jié)合實(shí)例設(shè)計(jì)了相應(yīng)問題．引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、探究、猜想等思維過程，從而讓學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)．掌握數(shù)學(xué)研究方法．獲得可持續(xù)學(xué)習(xí)能力．

2．充分激發(fā)學(xué)生主體價(jià)值，豐富課堂教學(xué)資源

學(xué)生不僅是課程資源的消費(fèi)者．更是課堂教學(xué)資源的開發(fā)者．隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛發(fā)展，學(xué)生獲得知識(shí)與信息的途徑趨于多元化，教師要提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生查閱相關(guān)資料．以此通過信息的整合與加工，開闊學(xué)生的視野．加深學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解．讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

例如，在本節(jié)課教學(xué)中，筆者讓學(xué)生課后查閱相關(guān)資料補(bǔ)充探究結(jié)果的證明過程．這樣不僅可以開闊學(xué)生的視野．加深學(xué)生對(duì)代數(shù)基本定理的理解．還可以提高學(xué)生應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題的能力．

3．充分發(fā)揮信息技術(shù)優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)課堂資源的整合

在新課程背景下，各種與數(shù)學(xué)有關(guān)的信息技術(shù)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來了便利．例如本節(jié)課教學(xué)．在論證探究1的過程中，筆者引入了Mathematica軟件，幫助學(xué)生獲得更多的教學(xué)資源，讓學(xué)生充分體會(huì)探究的科學(xué)性、合理性，促進(jìn)知識(shí)的深化和能力的提升．

總之．教師作為課堂教學(xué)的組織者、啟發(fā)者和點(diǎn)撥者，要不斷更新教學(xué)觀念和教學(xué)方法，關(guān)注各種教學(xué)資源的整合與加工，將“教材”轉(zhuǎn)化為“學(xué)材”，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生從學(xué)會(huì)走向會(huì)學(xué)．