楊培

[摘要]文章概述深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵，提出深度解題教學(xué)的操作步驟：分析教學(xué)內(nèi)容、設(shè)置學(xué)習(xí)任務(wù)、分解學(xué)習(xí)任務(wù)、反思學(xué)習(xí)過程、設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)，探討以問題遞變、研究方法、知識(shí)屬性為主線組織教學(xué)的三種解題教學(xué)策略．

[關(guān)鍵詞]深度學(xué)習(xí)；深度教學(xué)；解題教學(xué)；教學(xué)策略

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分之一，它不僅有助于學(xué)生鞏固知識(shí)與方法，還有助于學(xué)生構(gòu)建良好的認(rèn)知體系，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)達(dá)成，目前．解題教學(xué)還存在較多問題．比如教學(xué)內(nèi)容偏重技巧．忽略知識(shí)聯(lián)系的思考過程．不利于學(xué)生良好思維習(xí)慣的培養(yǎng)；又如教學(xué)活動(dòng)重學(xué)輕得，忽略過程性知識(shí)的教學(xué)．缺乏對數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累；再如教學(xué)目標(biāo)浮于表面，忽略題目間的聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)習(xí)處于知識(shí)方法的機(jī)械式訓(xùn)練，本文以深度學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)．結(jié)合筆者教育教學(xué)思考．提出指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略，以期破解當(dāng)前解題教學(xué)存在的問題．

從“深度學(xué)習(xí)”到“深度教學(xué)”

1．“深度學(xué)習(xí)”的基本內(nèi)涵

國內(nèi)關(guān)于深度學(xué)習(xí)概念的界定多以安富海和郭華的深度學(xué)習(xí)定義為基礎(chǔ)．安富海認(rèn)為：深度學(xué)習(xí)是一種基于理解的學(xué)習(xí)．是指學(xué)習(xí)者以高階思維的發(fā)展和實(shí)際問題的解決為目標(biāo)．以整合的知識(shí)為內(nèi)容，積極主動(dòng)地、批判性地學(xué)習(xí)新的知識(shí)和思想．并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中．且能將已有的知識(shí)遷移到新的情境中的一種學(xué)習(xí)．郭華認(rèn)為：深度學(xué)習(xí)指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題．全身心地積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程．

縱觀上述表述．不難發(fā)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的基本內(nèi)涵既包含學(xué)習(xí)過程．也包含學(xué)習(xí)結(jié)果．二者是一個(gè)有機(jī)整體．即通過圍繞挑戰(zhàn)性任務(wù)．運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)構(gòu)建完整的學(xué)習(xí)路線．促進(jìn)學(xué)習(xí)者經(jīng)歷由淺層學(xué)習(xí)到深度學(xué)習(xí)的過程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)能力的提升．從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”．

2．“深度教學(xué)”的操作步驟

深度教學(xué)的“深度”內(nèi)涵與深度學(xué)習(xí)的“深度”內(nèi)涵一致．深度教學(xué)是超越具體知識(shí)與技能．觸及學(xué)科本質(zhì)和規(guī)律．提升學(xué)生思維品質(zhì)．幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的教學(xué)，深度教學(xué)需要教師跳出僅以知識(shí)與技能為教學(xué)目標(biāo)的局限，追求更高層次的教學(xué)目標(biāo)，使教學(xué)以知識(shí)與技能為學(xué)習(xí)載體，促進(jìn)學(xué)生能力提升、精神成長.

為了提高數(shù)學(xué)深度解題教學(xué)的可操作性，筆者借鑒鄭毓信提出的深度教學(xué)四環(huán)節(jié)——聯(lián)系、問題引領(lǐng)、交流和互動(dòng)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，于然、趙世恩提出的深度教學(xué)五步驟——布置學(xué)習(xí)任務(wù)、主動(dòng)探究并激活知識(shí)元、獲取數(shù)學(xué)本質(zhì)、鞏固知識(shí)元之間的聯(lián)系、總結(jié)學(xué)習(xí)過程，提出數(shù)學(xué)深度解題教學(xué)具體操作步驟如下：分析教學(xué)內(nèi)容、設(shè)置學(xué)習(xí)任務(wù)、分解學(xué)習(xí)任務(wù)、反思學(xué)習(xí)過程、設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)（各步驟具體實(shí)施要點(diǎn)如表1所示）．

指向“深度學(xué)習(xí)”的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略

解題教學(xué)因?qū)W習(xí)階段不同大致可分為新授課階段、章末階段和復(fù)習(xí)階段．根據(jù)不同階段解題教學(xué)的特點(diǎn)．結(jié)合上述深度教學(xué)操作步驟．筆者提出三種解題教學(xué)策略．

1．策略一：以“問題遞變”為主線組織教學(xué)

數(shù)學(xué)問題的發(fā)展總是由簡單到復(fù)雜．問題遞變是數(shù)學(xué)問題從提出到發(fā)展的方式方法．可以遵循構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)的規(guī)律，按照“簡單≒復(fù)雜”或“低維≒高維”的邏輯順序分析“原始問題”與“目標(biāo)問題”的聯(lián)結(jié)點(diǎn)、突破點(diǎn)等，以問題遞變?yōu)橹骶€組織教學(xué)，是指以“原始問題”與“目標(biāo)問題”之間的問題遞變過程的發(fā)現(xiàn)為教學(xué)內(nèi)容．將能從“原始問題”變化而來的較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題組織起來進(jìn)行教學(xué)，更適合新授課階段.

問題1重在引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)思考與函數(shù)y=x4-2x2+1/x2-2聯(lián)系緊密的函數(shù)模型y=mx+（n/x），找到解決問題的突破點(diǎn)．問題2呈現(xiàn)由簡單到復(fù)雜的問題遞變過程．培養(yǎng)學(xué)生思考“原始問題”與“目標(biāo)問題”之間關(guān)系的習(xí)慣，挖掘換元、平移、通分等遞變聯(lián)結(jié)點(diǎn)，為解題方法的學(xué)習(xí)做好鋪墊．問題3在問題1和問題2的基礎(chǔ)上．引導(dǎo)學(xué)生利用換元、拆分進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，掌握解決問題的方法.

反思學(xué)習(xí)過程 回顧解題方法產(chǎn)生的過程．將新的分式函數(shù)模型納入原有分式函數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中．向前能追溯問題產(chǎn)生的過程．向后能根據(jù)遞變方式產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)問題，同時(shí)，深化對遞變方式蘊(yùn)含的解決問題的突破點(diǎn)的深層理解.

設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 如表2所示，評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)以題目1鞏固基本技能，以題目2、題目3強(qiáng)化遞變方法．以題目4培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力．促進(jìn)學(xué)生發(fā)展．

案例1的教學(xué)．先通過廣泛聯(lián)系的思考找到學(xué)生解決問題的最近發(fā)展區(qū)，再呈現(xiàn)由簡單到復(fù)雜的遞變過程．最后探尋由復(fù)雜向簡單轉(zhuǎn)化的解決方法．這一學(xué)習(xí)過程，通過問題發(fā)展的“來路”引導(dǎo)學(xué)生找到問題解決的“回路”，能有效破除單純技巧學(xué)習(xí)的弊端．促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn)．

2．策略二：以“研究方法”為主線組織教學(xué)

數(shù)學(xué)研究方法指“背景—概念—性質(zhì)—結(jié)構(gòu)—應(yīng)用”這一數(shù)學(xué)研究路徑，其體現(xiàn)了知識(shí)發(fā)展邏輯，能用來分析數(shù)學(xué)問題的形成方式．以研究方法為主線組織教學(xué)．是指以某類數(shù)學(xué)對象的研究方法為教學(xué)內(nèi)容．將能體現(xiàn)該研究方法的數(shù)學(xué)內(nèi)容組織起來進(jìn)行教學(xué)，更適合章末階段.

案例2 復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì).

分析教學(xué)內(nèi)容 復(fù)雜函數(shù)和復(fù)合函數(shù)是兩類初等函數(shù)，復(fù)雜函數(shù)的形成蘊(yùn)含著用加、減、乘、除等運(yùn)算觀點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)的方法．使得復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)研究可以轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的性質(zhì)研究．這也是數(shù)學(xué)研究方法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，此外．函數(shù)性質(zhì)的研究一般從函數(shù)圖象的研究開始．

設(shè)置學(xué)習(xí)任務(wù) 關(guān)于函數(shù)f（x）=sin|x|+|sinx|有下述四個(gè)結(jié)論：①f（x）是偶函數(shù)；②f（x）在區(qū)間（π/2，π）內(nèi)單調(diào)遞增；③f（x）在區(qū)間[-π，π]內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)；④f（x）的最大值為2．這些結(jié)論中正確的編號(hào)是_____．

分解學(xué)習(xí)任務(wù) 問題1：問題求解需要應(yīng)用哪些知識(shí)或方法？說一說你的解題策略？

問題2：研究函數(shù)性質(zhì)的一般路徑是什么？

問題3：函數(shù)f（x）由哪兩個(gè)函數(shù)構(gòu)成？你能用這兩個(gè)函數(shù)研究f（x）的圖象與性質(zhì)嗎？

問題4：從研究方法和知識(shí)應(yīng)用兩個(gè)角度說一說問題求解方法的特點(diǎn).

問題1重在探討解題視角．一是直接應(yīng)用奇偶性、單調(diào)性、正弦函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)，逐個(gè)判斷結(jié)論；二是應(yīng)用函數(shù)研究方法進(jìn)行整體求解，問題2用于回顧研究函數(shù)的一般方法；概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用．問題3用于回顧用運(yùn)算觀點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)的方法．引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)算眼光閱讀函數(shù)．通過函數(shù)y=sin|x|和y=|sinx|圖象的疊加研究f（x）的圖象，再通過觀察圖象逐個(gè)判斷結(jié)論．其中，在研究y=sin|x|和y=|sinx|圖象時(shí)需要應(yīng)用圖象變換等方法，問題4用于引導(dǎo)學(xué)生思考辨析，體會(huì)隱藏在知識(shí)學(xué)習(xí)過程中的研究方法的思維價(jià)值．

反思學(xué)習(xí)過程 回顧解題方法與函數(shù)研究方法的一致性．將函數(shù)研究方法作為隱性知識(shí)整合引入函數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，掌握運(yùn)用運(yùn)算眼光閱讀函數(shù)的方法．以及運(yùn)用運(yùn)算方式研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的方法，形成“函數(shù)模型→從運(yùn)算、變換等觀點(diǎn)閱讀函數(shù)性質(zhì)→運(yùn)算性質(zhì)畫→出函數(shù)圖→應(yīng)用性質(zhì)”的一般解題策略．深層次理解解題方法蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)研究方法．

設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 如表3所示，評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)以題目1、題目2、題目3鞏固研究方法．題目1的函數(shù)對象與課堂教學(xué)一致．題目2的函數(shù)對象需要良好的函數(shù)模型意識(shí)；題目3的函數(shù)對象需要經(jīng)過圖象分析、平移、換元等方法進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化．三道題目的研究對象的復(fù)雜程度逐漸加深．

案例2的教學(xué)挖掘出研究函數(shù)的一般方法，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)．將不同類型的復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)研究統(tǒng)一起來，形成一般解題策略．這一學(xué)習(xí)過程，通過挖掘隱性知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，能有效跳出單純應(yīng)用知識(shí)解決問題的學(xué)習(xí)局限，突出過程性知識(shí)的重要性，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，推動(dòng)深度學(xué)習(xí)的達(dá)成．

3．策略三：以“知識(shí)屬性”為主線組織教學(xué)

一類數(shù)學(xué)對象有不同的知識(shí)屬性．對不同知識(shí)屬性的理解．會(huì)產(chǎn)生不同的解題方法，將同一類數(shù)學(xué)對象的所有知識(shí)屬性梳理出來形成整體理解，可以從整體教學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行教學(xué)，以知識(shí)屬性為主線組織教學(xué)．是指以知識(shí)屬性的思維框架的構(gòu)建為教學(xué)目標(biāo)，將同一類數(shù)學(xué)對象的不同知識(shí)屬性整合起來進(jìn)行教學(xué)．更適合復(fù)習(xí)階段，

案例3 平面向量的綜合應(yīng)用．

分析教學(xué)內(nèi)容 平面向量既有大小又有方向，具有平面幾何、抽象向量、坐標(biāo)向量等三種知識(shí)屬性，除去直接應(yīng)用概念與公式解決問題外，平面向量的基礎(chǔ)問題、綜合問題都可以從平面幾何、抽象向量、坐標(biāo)向量等三個(gè)角度進(jìn)行思考，探尋解題思路.

設(shè)置學(xué)習(xí)任務(wù) 任務(wù)設(shè)置包括線性運(yùn)算、模長、數(shù)量積等常見問題，都可以從平面幾何、抽象向量、坐標(biāo)向量等三個(gè)角度進(jìn)行求解．為思維框架的構(gòu)建做好基礎(chǔ).

任務(wù)1：在△ABC中，AD為BC邊上的中線．E為AD的中點(diǎn)，則EB=（ ）

A．3/4AB-1/4AC

分解學(xué)習(xí)任務(wù)問題1：上述四個(gè)任務(wù)的典型求解方法分別是什么？應(yīng)用了哪些向量知識(shí)？知識(shí)屬性是什么？

問題2：你能從其他知識(shí)屬性的角度來求解上述任務(wù)嗎？

問題3：根據(jù)上述任務(wù)的學(xué)習(xí)過程．你能整合提煉出平面向量綜合問題的一般解決策略嗎？

問題1重在從“一題一法”的角度復(fù)習(xí)回顧基本技能．提煉出三種知識(shí)屬性的思考方向，初步構(gòu)建思維框架．任務(wù)1指向抽象向量視角的用基底表示向量；任務(wù)2指向抽象向量視角的公式應(yīng)用；任務(wù)3指向坐標(biāo)向量視角的數(shù)量積運(yùn)算；任務(wù)4指向平面幾何視角的數(shù)量積幾何意義應(yīng)用．問題2組織學(xué)生從三種不同的角度重新思考四個(gè)任務(wù)的求解方法．經(jīng)歷發(fā)散思考的過程，將四個(gè)任務(wù)從思維框架的視角統(tǒng)一起來，問題3引導(dǎo)學(xué)生從“一題一法”到“多題一思維框架”，培養(yǎng)學(xué)生整體觀念下的系統(tǒng)思維．

反思學(xué)習(xí)過程 回顧從解題方法到思維框架構(gòu)建的全過程．將平面向量的知識(shí)屬性作為問題解決方法的思考起點(diǎn)，強(qiáng)化同一類數(shù)學(xué)對象不同視角下理解的整體觀念．優(yōu)化原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成“先作圖分析，再從平面幾何、抽象向量、坐標(biāo)向量等三個(gè)思考方向探究問題解決方法”的一般策略．深層次把握不同問題底層思維邏輯的一致性．

設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 如表4所示．評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)以題目1、題目2鞏固基本技能；題目3提高要求，重在鞏固思維框架；題目4拓展至動(dòng)態(tài)問題的研究．檢測學(xué)生遷移應(yīng)用思維框架的能力．此外，題目與任務(wù)的平面幾何、坐標(biāo)向量的思考視角配合了特殊與一般的思想方法，雖然圖形特殊化的四個(gè)題目的數(shù)學(xué)情境的復(fù)雜程度不斷加深，但都可以應(yīng)用思維框架探尋解法.

案例3的教學(xué)緊扣平面向量的知識(shí)屬性．把握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)聯(lián)系，將不同問題的思考方法整合起來．形成研究平面向量問題的思維框架．這一學(xué)習(xí)過程．通過挖掘數(shù)學(xué)對象的知識(shí)屬性，學(xué)生能有效跳出就題論題、就方法論方法的淺層學(xué)習(xí)；突出知識(shí)、題目之間的聯(lián)系性、融通性，能養(yǎng)成學(xué)生數(shù)學(xué)思考的良好習(xí)慣．促進(jìn)深度學(xué)習(xí)發(fā)生.

結(jié)語

數(shù)學(xué)深度解題教學(xué)的目標(biāo)是學(xué)生能夠在解題學(xué)習(xí)過程中．自覺思考“目標(biāo)問題”與“原始問題”之間的關(guān)系．自主挖掘“目標(biāo)問題”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)研究方法．主動(dòng)構(gòu)建“目標(biāo)問題”知識(shí)屬性的思維框架，不斷完善、優(yōu)化自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)．利用數(shù)學(xué)思維思考問題．最終由“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”，上述所討論的數(shù)學(xué)深度解題教學(xué)操作步驟下的三種教學(xué)策略分別體現(xiàn)了三個(gè)不同學(xué)習(xí)階段的深度學(xué)習(xí)；在新授課階段．以“問題遞變”為主線組織教學(xué)．引導(dǎo)學(xué)生廣泛聯(lián)系與縱深思考．促進(jìn)“深度”學(xué)習(xí)；在章末階段．以“研究方法”為主線組織教學(xué)．引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)，融合零散的知識(shí)，促進(jìn)“廣度”學(xué)習(xí)；在復(fù)習(xí)階段，以“知識(shí)屬性”為主線組織教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維．形成思維框架．促進(jìn)“貫通度”學(xué)習(xí)．總之．?dāng)?shù)學(xué)教師需要通過數(shù)學(xué)解題教學(xué)以深刻的思想啟迪學(xué)生．更好地促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.