李進(jìn)

[摘要]文章基于“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)內(nèi)容，從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，從圖形語言過渡到自然語言，在基于“三會”視角的學(xué)習(xí)探究過程中，數(shù)學(xué)表達(dá)由粗略到精準(zhǔn)，自然生成函數(shù)單調(diào)性的概念，滲透數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．

[關(guān)鍵詞]概念教學(xué)；“三會”；單調(diào)性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出“三會”即“會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界．會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”，而概念教學(xué)是發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)以及落實(shí)學(xué)生“三會”的重要載體．同時“三會”又與“六大核心素養(yǎng)”關(guān)系密切．高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長史寧中教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)的眼光就是數(shù)學(xué)抽象，與數(shù)學(xué)抽象關(guān)系密切的是直觀想象；數(shù)學(xué)的思維就是邏輯推理．而數(shù)學(xué)運(yùn)算則是邏輯推理的一種特殊形式；數(shù)學(xué)的語言就是數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)今數(shù)據(jù)分析變得越來越重要，逐漸形成了一種新的數(shù)學(xué)語言．陜西師范大學(xué)羅新兵教授等人認(rèn)為：“三會”的本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種“結(jié)果”．也是學(xué)生具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種表現(xiàn)．可見，在概念教學(xué)中有效落實(shí)“三會”有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升．因此．在數(shù)學(xué)教學(xué)時．我們可以按照“三會”來設(shè)計和實(shí)施教學(xué)活動．筆者以蘇教版必修第一冊第五章的“函數(shù)的單調(diào)性”這一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計為例．淺談筆者的想法和做法.

教材分析

函數(shù)的單調(diào)性是高中階段學(xué)生接觸并研究的第一個函數(shù)性質(zhì)．也是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的性質(zhì)，研究函數(shù)單調(diào)性的一般方法是數(shù)形結(jié)合、由直觀到抽象、由特殊到一般，學(xué)生借助對函數(shù)圖象的觀察、分析、歸納，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象“升”“降”變化的直觀特征，用自然語言描述為“y隨著x的增大而增大（減小）”，進(jìn)一步量化，發(fā)現(xiàn)“y隨著x的增大而增大（減?。钡臄?shù)字特征，獲得數(shù)學(xué)符號表達(dá)．完成對數(shù)學(xué)概念的形式化、符號化．通過函數(shù)單調(diào)遞增（減）、增（減）區(qū)間以及增（減）函數(shù)概念的生成，逐步完善函數(shù)的單調(diào)性的知識體系．同時．學(xué)生用符號語言分步逐句翻譯、表征自然語言獲得單調(diào)性的概念，為后續(xù)奇偶性、周期性等知識的學(xué)習(xí)積累豐富的活動經(jīng)驗(yàn)．

學(xué)情分析

學(xué)生在初中已經(jīng)結(jié)合一些常見的基本初等函數(shù)對單調(diào)性有了“定性”的認(rèn)識，能夠從圖象的直觀變化感受圖象的上升（下降）趨勢．具備用自然語言描述這種變化趨勢的能力．學(xué)生在第二章“常用邏輯用語”中學(xué)習(xí)了全稱量詞和存在量詞．會用數(shù)學(xué)符號語言表述存在量詞命題及全稱量詞命題，為函數(shù)單調(diào)性的“定量”研究做好了知識儲備．

教學(xué)目標(biāo)

從“形”和“數(shù)”兩方面理解函數(shù)的單調(diào)性．能利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性．能利用定義對一些簡單函數(shù)的單調(diào)性給出形式化的證明．

通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究．滲透符號化與形式化、數(shù)形結(jié)合思想方法．培養(yǎng)學(xué)生觀察、判斷、抽象、概括能力.

教學(xué)難點(diǎn)

用符號語言來形式化表征函數(shù)的單調(diào)性.

教學(xué)過程

教學(xué)流程設(shè)計

1．情境引入，提出問題

問題情境：如圖2所示，氣溫θ是關(guān)于時間t的函數(shù)，記為θ=f（t）．觀察這個氣溫變化圖．說出氣溫在哪些時間段內(nèi)是逐漸升高的．在哪些時間段內(nèi)是逐漸下降的？

追問：生活中還有其他具有這種“升”“降”的例子嗎？

生1：心電圖、股市走勢圖等．

師：有很多函數(shù)具有類似性質(zhì)，這就是本節(jié)課我們將要研究的函數(shù)的重要性質(zhì)——函數(shù)的單調(diào)性．

設(shè)計意圖 由貼近學(xué)生生活的情境引領(lǐng)學(xué)生感悟生活與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光感知世界，從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題．完成第一次數(shù)學(xué)抽象過程．

2．合作探究。生成概念

問題1 觀察下列函數(shù)圖象．指出它們的變化趨勢．

生2：從左至右看，有的圖象是上升的，有的圖象是下降的，有的圖象在一些區(qū)間內(nèi)是上升的、在一些區(qū)間內(nèi)又是下降的.

追問：圖象這種“升”“降”規(guī)律反映函數(shù)值y隨著自變量x的增大是如何變化的？

生3：在某個區(qū)間內(nèi)，圖象從左至右上升←→在某個區(qū)間內(nèi)，y隨著x的增大而增大．在某個區(qū)間內(nèi)．圖象從左至右下降←→在某個區(qū)間內(nèi)y隨著x的增大而減小.

師：你能說出函數(shù)y=x+1/x在哪個區(qū)間內(nèi)y隨著x的增大而增大嗎？

生4：不能，因?yàn)椴磺宄@個函數(shù)圖象是怎樣的．

師：在我們學(xué)習(xí)的過程中，有時候遇到的函數(shù)有解析式但不清楚其圖象．或者圖象不明顯．無法利用圖象觀察得到“y隨著x的增大而增大（減?。钡慕Y(jié)論，因此我們有必要進(jìn)一步研究如何來刻畫“y隨著x的增大而增大（減小）”．

設(shè)計意圖 由生活中的現(xiàn)實(shí)情境過渡到數(shù)學(xué)中的函數(shù)實(shí)例．為用數(shù)學(xué)思維思考世界提供具體的數(shù)學(xué)問題，將圖形語言的“上升（下降）”過渡到自然語言的“y隨著x的增大而增大（減小）”，完成第二次數(shù)學(xué)抽象過程．同時．在概念建構(gòu)過程中讓學(xué)生意識到用符號語言進(jìn)行表征的必要性.

問題2 如何用數(shù)學(xué)符號語言來刻畫“在區(qū)間D內(nèi)，y隨著x的增大而增大”？

（學(xué)生獨(dú)立思考，小組合作討論．）

生5：取x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）．

師：你這里“x1＜x2”體現(xiàn)的是什么？“f（x1）＜f（x2）”體現(xiàn)的又是什么？

生5：“x1＜x2”體現(xiàn)的是“x增大”，“f（x1）＜f（x2）”體現(xiàn)的是“y增大”．

師：“y隨著x的增大而增大”能不能保證“x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”？取“x1，x2”兩個值能保證“y隨著x的增大而增大”嗎？

（小組再次合作討論）

生6：“在區(qū)間D內(nèi)，y隨著x的增大而增大”能推出“在區(qū)間D內(nèi)，x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”，但“在區(qū)間D內(nèi)，x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”不能保證“在區(qū)間D內(nèi)，y隨著x的增大而增大”，范例如圖4所示．

在范例中，“在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)，x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”，但“在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)，y隨著x的增大而增大”不成立．因此，應(yīng)該改為“在區(qū)間D內(nèi)，所有的x1

師：在第二章“簡易邏輯用語”中我們學(xué)習(xí)了兩個邏輯聯(lián)結(jié)詞“任意”和“存在”．所以這里的“所有”我們可以用“任意”來替代.

師：我們再來看這句話，“在區(qū)間D內(nèi)，y隨著x的增大而增大”，這里“隨著”怎么體現(xiàn)？

生7：當(dāng)x1＜x2時.

師：這里“在區(qū)間D內(nèi)”怎么體現(xiàn)？

生8：x1∈D，x2∈D．

最后得到結(jié)論如下：任意x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）←→在區(qū)間D內(nèi)，y隨著x的增大而增大.

設(shè)計意圖通過問題串引導(dǎo)學(xué)生思考，給予學(xué)生表達(dá)、修正的機(jī)會．學(xué)生先獨(dú)立思考形成初步認(rèn)識．再小組合作討論、思維碰撞提升認(rèn)識，在此過程中學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，感知數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性、數(shù)學(xué)概念的完備性．將自然語言“y隨著x的增大而增大”過渡到符號語言．完成第三次數(shù)學(xué)抽象過程，通過對這兩種描述方式的對比．讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)符號語言的美.

問題3 如何用符號語言刻畫一般函數(shù)y=f（x）在定義域l內(nèi)的區(qū)間D上單調(diào)遞增？

問題4 能類比函數(shù)單調(diào)遞增的定義得到函數(shù)單調(diào)遞減的定義嗎？

設(shè)計意圖 由特殊到一般．學(xué)生歸納出函數(shù)單調(diào)遞增的定義．類比出函數(shù)單調(diào)遞減的定義，學(xué)生的思維得到升華；在數(shù)形結(jié)合中體會數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)圖象的一致性，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維分析世界．

3．例題精講，遷移內(nèi)化

例1 畫出函數(shù)y=1/x（x≠0）的圖象，并寫出其單調(diào)區(qū)間．

生9：遞減區(qū)間（-∞，0）U（0，+∞）．

師：這個結(jié)論對不對？符不符合定義？

生10：-1<1，但f（-1）＜（1），因此y=1/x在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞減的．

師：所以函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)．不一定在整個定義域內(nèi)具有單調(diào)性．

例2 證明：函數(shù)f（x）=1/x-1在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增．

（學(xué)生獨(dú)立證明，小組合作討論．）

設(shè)計意圖 例1是利用函數(shù)圖象判斷其單調(diào)性．引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．它是函數(shù)的局部性質(zhì)．例2是應(yīng)用定義給出形式化的證明，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用符號語言的習(xí)慣．兩個例題引導(dǎo)學(xué)生從“形”和“數(shù)”兩個方面理解函數(shù)的單調(diào)性．

4．課堂小結(jié)，收獲經(jīng)驗(yàn)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？我們是如何得到這些知識的？你有什么收獲？

設(shè)計意圖合理歸納總結(jié)．形成思維體系，感受思想方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

5．課堂延伸，升華思維

（1）記y2-y1=△y，x2-x1=△x，那么函數(shù)的單調(diào)性與△y/△x的符號有什么關(guān)系？

（2）利用定義研究函數(shù)f（x）=x+1/x的單調(diào)性．

設(shè)計意圖 繼續(xù)深化函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．引領(lǐng)學(xué)生深刻認(rèn)識概念的內(nèi)涵與外延．提升數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．

教后反思

1．注重概念的自然生成，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)概念課．學(xué)生獲得單調(diào)性概念的數(shù)學(xué)抽象過程分為三個階段：

（1）用數(shù)學(xué)眼光觀察世界.

課初引入環(huán)節(jié)，將實(shí)際問題去生活化轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．抽離出事物的本質(zhì)特征．用圖形語言進(jìn)行表征——在什么范圍內(nèi)圖象從左至右上升，在什么范圍內(nèi)圖象從左至右下降．從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)．

（2）用數(shù)學(xué)思維思考世界.

在概念探索環(huán)節(jié)，借助小組合作的方式．鼓勵學(xué)生深入思考，從而將圖形語言過渡到自然語言——y隨著x的增大而增大（減?。谧灾魈剿鞯倪^程中．學(xué)生的邏輯推理能力得到發(fā)展．

（3）用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

通過設(shè)置問題串．充分給予學(xué)生表達(dá)、修正的機(jī)會，將自然語言過渡到符號語言，用符號語言分步逐句翻譯“y隨著x的增大而增大（減?。?，最大限度地尊重并引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“自己的表達(dá)”．從而生成函數(shù)單調(diào)遞增（減）、增（減）區(qū)間、增（減）函數(shù)等概念．最后設(shè)置課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，不斷加深學(xué)生對研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

2．關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，提升學(xué)習(xí)力

在整節(jié)課的教學(xué)中．關(guān)注“三會”目標(biāo)的同時遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．利用學(xué)生自主探究、小組合作等方式充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，在探索的過程中逐步感悟特殊到一般等數(shù)學(xué)思想，對于小組合作學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)．教師要提前建立學(xué)習(xí)小組．以4-6人為一組，設(shè)置組長一名．要求組長組織合作學(xué)習(xí)的開展．教師提出問題后．先讓學(xué)生獨(dú)立思考．然后讓學(xué)生小組交流．交流時分工明確，輪流發(fā)言，一人發(fā)言，其他人認(rèn)真傾聽，中途不打斷，不重復(fù)別人的發(fā)言．可以補(bǔ)充別人的發(fā)言．小組內(nèi)達(dá)成共識后由組長匯總記錄，匯報時由一人作為代表即可，小組合作學(xué)習(xí)不限于小組內(nèi)、課堂內(nèi)，以形成一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究“共同體”為目標(biāo)．學(xué)生在合作中積極傾聽、分享表達(dá)，增強(qiáng)合作意識，提高合作能力，提升學(xué)習(xí)效能．本節(jié)課講解的是函數(shù)單調(diào)性的研究步驟與方法．為學(xué)生研究函數(shù)的其他性質(zhì)提供了依據(jù)，增強(qiáng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力．