朱明明

［摘? 要］ 文章以“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”為例，在大單元視角下架構(gòu)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的學(xué)習(xí)路徑，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)深度研學(xué)在整體把握大單元知識(shí)架構(gòu)的基礎(chǔ)上體驗(yàn)知識(shí)生成和發(fā)展的過(guò)程． 通過(guò)系列問(wèn)題設(shè)計(jì)，引領(lǐng)學(xué)生在課堂活動(dòng)中逐步養(yǎng)成仔細(xì)觀察、用心思考的良好數(shù)學(xué)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學(xué)；大單元教學(xué)；深度研學(xué)

新課標(biāo)研制成員呂世虎教授指出：?jiǎn)卧虒W(xué)設(shè)計(jì)就是“在教學(xué)整體觀的指導(dǎo)下，以教材為基礎(chǔ)，用系統(tǒng)論的方法對(duì)教材中‘具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合，并形成相對(duì)完整的教學(xué)單元，以?xún)?yōu)化教學(xué)效果的教學(xué)設(shè)計(jì)”． 單元教學(xué)設(shè)計(jì)著眼于“距離”這一“具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性”的內(nèi)容，有利于學(xué)生構(gòu)建整體性和系統(tǒng)性的知識(shí)，避免“只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林”的知識(shí)碎片化，體現(xiàn)了新課標(biāo)的教學(xué)要求． 本文以“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”為例，探索單元教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要意義.

教學(xué)過(guò)程和設(shè)計(jì)意圖

1. 單元教學(xué)，方法引領(lǐng)

節(jié)首語(yǔ)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微. 代數(shù)和幾何，若兩者相互結(jié)合、共同發(fā)展，則會(huì)相互加強(qiáng)，以快速的步伐向完善化猛進(jìn). 而解析幾何正是兩者之間的橋梁，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).

回憶舊知，引入新知，體現(xiàn)單元教學(xué)理念.

師：距離是解析幾何研究的對(duì)象之一，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平面上兩點(diǎn)間的距離，推導(dǎo)出了兩點(diǎn)間的距離公式. 同學(xué)們，我們還應(yīng)該研究平面上的哪些距離呢？

生1：我們還應(yīng)該研究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.

生2：研究?jī)蓷l平行線(xiàn)間的距離.

師：要想研究這兩個(gè)“距離”，我們首先要知道它們的定義分別是什么. 你知道它們分別是怎樣定義的嗎？

生3：兩條平行線(xiàn)間的距離是指夾在兩條平行線(xiàn)之間的公垂線(xiàn)的長(zhǎng)度，也就是從一條平行線(xiàn)上的任意一點(diǎn)向另一條平行線(xiàn)作垂線(xiàn)所得垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度.

師：我們發(fā)現(xiàn)兩條平行線(xiàn)間的距離可以化歸為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，因此研究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離就顯得尤為重要.

設(shè)計(jì)意圖 首先用數(shù)學(xué)名言讓學(xué)生知道代數(shù)和幾何是不可分割的整體，解析幾何是兩者的紐帶；然后通過(guò)上節(jié)課研究的兩點(diǎn)之間的距離，引導(dǎo)學(xué)生思考接下來(lái)應(yīng)該研究平面上的哪些距離，以探究新舊知識(shí)間的關(guān)系，體現(xiàn)大單元教學(xué)理念.

2. 有效遷移，自主研學(xué)

問(wèn)題1 開(kāi)始新課前讓我們一起回憶一下上節(jié)課是如何研究?jī)牲c(diǎn)間的距離公式的.

師生交流：運(yùn)用“化斜為正”思想，構(gòu)造直角三角形得到A，B間的距離公式.

問(wèn)題2 根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，今天你準(zhǔn)備怎樣推導(dǎo)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式呢？

學(xué)生通過(guò)小組討論得到了兩個(gè)方案，如圖3所示.

師：請(qǐng)兩個(gè)小組的同學(xué)分別說(shuō)一下你們是怎么想到這兩個(gè)方案的.

生4：我們是根據(jù)定義想到方案1的，因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離是指點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，所以只要求出垂足Q的坐標(biāo)，然后利用上節(jié)課所學(xué)的兩點(diǎn)間的距離公式，就可以求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離PQ了.

師：很好，第一小組同學(xué)想運(yùn)用我們上節(jié)課所學(xué)的兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)解決今天要研究的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題，那么第二小組同學(xué)是怎么想到方案2的呢？

生5：因?yàn)槲覀冊(cè)谕茖?dǎo)兩點(diǎn)間的距離公式時(shí)用的是“化斜為正”思想，所以這里我們也想嘗試去構(gòu)造一個(gè)直角三角形，用“化斜為正”思想解決這個(gè)新問(wèn)題.

師：老師覺(jué)得你們的想法也非常好，其他小組的同學(xué)覺(jué)得他們的想法好不好呢？好在哪里呢？

生6：好，他們沒(méi)有直接去求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，而是利用圖形的幾何特征去求PQ的長(zhǎng)度.

通過(guò)對(duì)比兩個(gè)方案，讓學(xué)生找出這兩個(gè)方案各自研究的重點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行探究.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生利用上節(jié)課學(xué)習(xí)的兩點(diǎn)間的距離公式及推導(dǎo)方法去探究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)和方法的遷移過(guò)程.

問(wèn)題3 （用方案1解題后）解題時(shí)是否遇到過(guò)困難？解題后的感受是什么？

生7：太繁了?。ūг梗?/p>

師：所以我看到有的同學(xué)沒(méi)有算下去，對(duì)吧？（笑，表示理解）現(xiàn)在我們具體來(lái)找一找哪幾步的計(jì)算比較復(fù)雜.

師：我們有沒(méi)有什么辦法來(lái)避免或優(yōu)化這幾步運(yùn)算呢？（學(xué)生思考）

引導(dǎo)學(xué)生帶著問(wèn)題用整體的眼光重新審視條件和目標(biāo)，尋找優(yōu)化解題過(guò)程的方法.

師：這個(gè)想法非常好！接下來(lái)我們就可以直接研究這兩個(gè)整體了，不妨令它們分別為X，Y，然后呢？哦，這位同學(xué)說(shuō)我們可以先解出X，Y，然后代入目標(biāo)函數(shù)得到X2+Y2，或者先將第一個(gè)方程轉(zhuǎn)化為BX－AY=0，再將兩個(gè)方程分別平方后相加，也同樣可以得到X2+Y2. 接下來(lái)的運(yùn)算就留給同學(xué)們課后自己去完成了.

問(wèn)題4 （用方案2解題后）對(duì)比兩個(gè)方案，說(shuō)說(shuō)兩個(gè)方案各自的側(cè)重點(diǎn)是什么.

師生交流：方案1運(yùn)用代數(shù)法求點(diǎn)Q坐標(biāo)后再借助兩點(diǎn)間的距離公式算出PQ的長(zhǎng)度，側(cè)重于用代數(shù)法來(lái)研究幾何問(wèn)題，而方案2則運(yùn)用圖形的幾何特征來(lái)優(yōu)化代數(shù)運(yùn)算，這就是所謂的數(shù)形結(jié)合，相輔相成.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)兩個(gè)方案的對(duì)比和總結(jié)，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)和方法從已知向未知遷移的過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的重要地位.

師生交流：發(fā)現(xiàn)AB=0（A=0，B≠0或A≠0，B=0）時(shí)上述公式依然成立（具體情況如表1所示）.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)討論AB=0（A=0，B≠0或A≠0，B=0）這種特殊情況來(lái)完善點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的應(yīng)用范圍，體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和完備性.

3. 典型例題，學(xué)會(huì)應(yīng)用

例題：求點(diǎn)P（－1，2）到下列各直線(xiàn)的距離.

（1）y=－2x+10；

（2）3x=2.

追問(wèn)：運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式解題時(shí)你有哪些體會(huì)？

師生交流：（1）用此公式時(shí)要先建立直線(xiàn)的一般式方程；（2）斜率不存在或?yàn)?時(shí)，直接利用圖形性質(zhì)求解更快捷.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)設(shè)置具體、直觀的問(wèn)題，深化學(xué)生對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的理解，強(qiáng)化和鞏固學(xué)生運(yùn)用公式的能力.

學(xué)以致用：某電信局計(jì)劃年底解決本地區(qū)最后一個(gè)小區(qū)的“寬帶光纖電纜改造”工程． 經(jīng)過(guò)測(cè)量，若按照部門(mén)內(nèi)部設(shè)計(jì)好的坐標(biāo)圖（即以電信局為原點(diǎn)），得知這個(gè)小區(qū)光纖電纜接入點(diǎn)的坐標(biāo)為P（－1，2），離它最近的只有一條光纖電纜線(xiàn)通過(guò)，其方程為2x－y－10=0． 要完成這項(xiàng)工程至少需要多長(zhǎng)的光纖電纜線(xiàn)？（單位：千米）

生10：求解這道應(yīng)用題，首先根據(jù)題意找出本題要求的是“至少需要多長(zhǎng)的光纖電纜線(xiàn)”，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的定義可知，就是求點(diǎn)P（－1，2）到直線(xiàn)2x－y－10=0的距離，于是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了我們熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，接下來(lái)的運(yùn)算我們?cè)诶}中已經(jīng)完成，最后就是檢驗(yàn)作答.

師：回答得很完整，請(qǐng)坐！由此可知，解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：首先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后通過(guò)邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后就是檢驗(yàn)作答. （此時(shí)展示圖5所示的解決步驟供學(xué)生觀看）

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)設(shè)置社會(huì)生活中的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的理解，強(qiáng)化學(xué)生靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題的能力.

4. 總結(jié)反思，提升認(rèn)識(shí)

師：同學(xué)們，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你們有哪些收獲呢？

生11：我們學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，掌握了代數(shù)法、幾何法，體會(huì)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想.

師：很好，我們發(fā)現(xiàn)兩條平行線(xiàn)之間的距離可以化歸為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，而點(diǎn)到直線(xiàn)的距離可以化歸為兩點(diǎn)間的距離，接下來(lái)我們還可以研究些什么呢？

下面一起梳理本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，然后讓學(xué)生利用今天所學(xué)的知識(shí)去研究?jī)蓷l平行線(xiàn)之間的距離公式. 所謂復(fù)習(xí)舊知，構(gòu)建新知，探索未知.

設(shè)計(jì)意圖 在課堂小結(jié)的同時(shí)，用“單元”思想引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的系統(tǒng)性、整體性和延展性.

5. 布置作業(yè)，自主提升

（1）知識(shí)鞏固型作業(yè)：課本第38頁(yè)的練習(xí)1、練習(xí)3和練習(xí)4.

（2）思維拓展型作業(yè)：上網(wǎng)查閱相關(guān)資料，寫(xiě)一篇小論文《點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的推導(dǎo)》.

設(shè)計(jì)意圖 作業(yè)布置體現(xiàn)層次性、選擇性和開(kāi)放性.

教學(xué)反思和四大特點(diǎn)

本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容是蘇教版選擇性必修第一冊(cè)第一章“直線(xiàn)與方程”的最后一個(gè)內(nèi)容，它在研究直線(xiàn)的方程和兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，借助上節(jié)課研究的兩點(diǎn)間的距離公式，進(jìn)一步研究點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，為下節(jié)課學(xué)習(xí)兩條平行線(xiàn)之間的距離公式打下了基礎(chǔ)，體現(xiàn)了大單元教學(xué)理念. 在本節(jié)課課堂教學(xué)中，學(xué)生在問(wèn)題的引導(dǎo)下參與度高、活動(dòng)充分、思維活躍，課堂生態(tài)好. 從學(xué)生作業(yè)反饋來(lái)看，課堂效果也很好.

1. 創(chuàng)設(shè)合理情境，提出新問(wèn)題

遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教材的編寫(xiě)意圖，本節(jié)課通過(guò)創(chuàng)設(shè)“兩點(diǎn)間的距離公式及推導(dǎo)”這一數(shù)學(xué)情境，提出問(wèn)題“我們還可以研究些什么”，繼而引出課題“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”．這樣的設(shè)計(jì)自然順暢，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又符合數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展規(guī)律，更符合普通高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的要求和新教材的編寫(xiě)意圖．

2. 遵循單元設(shè)計(jì)，建構(gòu)知識(shí)體系

對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，完整的知識(shí)體系不能只包含知識(shí)，還要包含其內(nèi)部縱橫交錯(cuò)的關(guān)聯(lián). 在大單元設(shè)計(jì)中，教師首先對(duì)一個(gè)單元要有整體認(rèn)識(shí)，隨后基于關(guān)聯(lián)性學(xué)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成自主梳理、構(gòu)建知識(shí)體系的習(xí)慣，找到認(rèn)知體系，形成思維體系. 本節(jié)課就是通過(guò)“點(diǎn)到直線(xiàn)的距離”這一載體，將整個(gè)“平面上的距離”一節(jié)內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)，幫助學(xué)生厘清了知識(shí)的來(lái)龍去脈. 心中裝綠洲，眼中看森林，運(yùn)用大單元設(shè)計(jì)的教學(xué)，無(wú)論是學(xué)習(xí)質(zhì)量還是學(xué)習(xí)效率都遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)低效的碎片化教學(xué).

3. 設(shè)計(jì)關(guān)鍵問(wèn)題，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

教學(xué)設(shè)計(jì)中以學(xué)生熟悉的情境為鋪墊，通過(guò)“我們還可以研究平面上的哪些距離”“根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，怎樣來(lái)推導(dǎo)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式”等問(wèn)題的引導(dǎo)，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，主動(dòng)思考，全身心參與，體驗(yàn)成功，這樣“獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)”就是深度學(xué)習(xí)．

4. 把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)育人價(jià)值

本節(jié)課教學(xué)過(guò)程采用“雙線(xiàn)”設(shè)計(jì)，以“數(shù)學(xué)公式的發(fā)現(xiàn)—推導(dǎo)—驗(yàn)證—應(yīng)用”為明線(xiàn)，以“事實(shí)方法—數(shù)學(xué)方法—數(shù)學(xué)思想—數(shù)學(xué)本質(zhì)觀”為暗線(xiàn). 明線(xiàn)以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系；暗線(xiàn)以數(shù)學(xué)思想方法為載體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì). 利用明線(xiàn)和暗線(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，讓學(xué)生“數(shù)學(xué)化”思考、解決問(wèn)題，這正是用“數(shù)學(xué)的方式”落實(shí)學(xué)科育人價(jià)值．

5. 注重“解決問(wèn)題”，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)注重由“解題”到“解決問(wèn)題”的轉(zhuǎn)變，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“解題”背后的一般方法與思想，探究問(wèn)題解決過(guò)程中的一般規(guī)律和數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．