何喜平 朱宸材

［摘? 要］ 單元起始課作為章節(jié)學(xué)習(xí)的源頭與引領(lǐng)，不僅承擔(dān)著本課顯性知識的教學(xué)，還承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)提升的隱性教學(xué)功能. 將數(shù)學(xué)文化融入起始課的教學(xué)，能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和發(fā)展規(guī)律. 融合數(shù)學(xué)文化的教學(xué)強(qiáng)調(diào)的是一種育人理念，體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)趣味，通過教學(xué)過程的實(shí)施，最終指向的是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 素養(yǎng)導(dǎo)向；數(shù)學(xué)文化；簡單隨機(jī)抽樣

緣起

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出數(shù)學(xué)文化要融入高中數(shù)學(xué)課堂. 這不僅是教師教學(xué)的需要，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的需要.對教師而言，這是課堂教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，可以使學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的地位，理解數(shù)學(xué)的科學(xué)價值與意義，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)質(zhì)量.從學(xué)生角度出發(fā)，可以擴(kuò)充課外知識，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問題，促進(jìn)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，進(jìn)而轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地生根.

在一堂“簡單隨機(jī)抽樣”的課堂教學(xué)中，筆者因?yàn)槿谌肓艘恍?shù)學(xué)文化，學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)大有改觀.據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對統(tǒng)計知識缺乏興趣，課堂氛圍沉悶，許多學(xué)生只是知識的被動接受者，而融入數(shù)學(xué)文化之后，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性很高，課堂學(xué)習(xí)氛圍活躍，一些學(xué)生顯得很有探索欲. 因此，筆者深受鼓舞，現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計與反思撰寫成文，與同行交流.

教學(xué)過程簡述

1. 引入

師：在以往所學(xué)的數(shù)學(xué)知識中，幾乎所有問題的結(jié)果都可以被準(zhǔn)確計算出來，如一個三角形的兩角和一邊的大小確定了，那么剩余的邊和角就可以被精確計算出來.但是，生活中很多問題是難以精確計算出結(jié)果的. 在小說《三體》中，三體世界有三個太陽，受這三個太陽間相互作用力的影響，這三者發(fā)生運(yùn)動，它們的運(yùn)動規(guī)律能夠算出來嗎？

生1：它們的運(yùn)動是沒有規(guī)律的，三體人會遭遇晝夜季節(jié)無規(guī)律更替的“亂紀(jì)元”，極端天氣帶來嚴(yán)苛的生存環(huán)境讓三體文明不斷地毀滅，為了尋找合適的生存環(huán)境，三體人決定入侵地球.

師：正確. 事實(shí)上，三體問題是天體力學(xué)中的基本力學(xué)模型. 三體問題是指三個質(zhì)量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質(zhì)點(diǎn)的天體，在相互之間萬有引力的作用下的運(yùn)動規(guī)律問題.很多數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家為解決這個問題做了很多努力，比較著名的有牛頓、龐加萊、歐拉、拉格朗日等，但是到目前為止，三體問題仍然不可解.

生2：當(dāng)三個星球按原本的軌跡運(yùn)行發(fā)生位置改變，改變后的相互位置會使相互之間的引力發(fā)生改變，這反過來又會改變它們的運(yùn)行軌跡，復(fù)雜的相互作用使三體問題不可解.

師：是的. 但是三體問題就不能被認(rèn)識了嗎？科學(xué)家在計算機(jī)上模擬三星系統(tǒng)，追蹤演變過程. 通過大量的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，一個三星系統(tǒng)在歷經(jīng)所有可能的狀態(tài)后，最終只剩下一個雙星系統(tǒng)和一個“逃逸”的星體，得出了三體問題的一個統(tǒng)計學(xué)結(jié)論. 所以說，三體人不必冒著生命危險去尋找合適的生存環(huán)境，他們只需等待，等待多余的太陽“逃逸”，而成為穩(wěn)定的雙星系統(tǒng)（這里跟學(xué)生開個玩笑）.

師：生活中很多問題都是無法進(jìn)行精確計算的，比如現(xiàn)在很多同學(xué)上學(xué)都是由家長開車送來的，那么途中行駛的時間可以精確計算出來嗎？這肯定是不可能的，因?yàn)樵谛旭傔^程中有很多不確定因素，如行駛速度、堵車程度、紅燈等待……這些不確定因素都會影響行駛時間.那么，如何回答不能被精確計算的問題呢？請問你上學(xué)需要多少時間？

生3：15分鐘左右.

師：15分鐘是怎么得出來的？

生3：根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)估計的.

師：這其實(shí)就是數(shù)學(xué)中的統(tǒng)計.對于不能精確計算的問題，我們可以通過“統(tǒng)計”和“概率”的知識來認(rèn)識. 統(tǒng)計學(xué)是通過收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來認(rèn)識未知現(xiàn)象的一門科學(xué)，“概率統(tǒng)計”是一種重要的數(shù)學(xué)思想. 如今，統(tǒng)計學(xué)已應(yīng)用于很多領(lǐng)域，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)、氣象學(xué)、非線性動力學(xué)等. 接下來我們的學(xué)習(xí)內(nèi)容就是“統(tǒng)計”與“概率”.

2. 相關(guān)概念介紹

筆者指出統(tǒng)計的研究對象是數(shù)據(jù)，核心是通過數(shù)據(jù)分析研究和解決問題；結(jié)合生活中的實(shí)例，介紹獲得數(shù)據(jù)的兩種辦法（全面調(diào)查和抽樣調(diào)查），以及總體、個體、調(diào)查變量、樣本、樣本容量等概念，讓學(xué)生區(qū)分全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)抽樣調(diào)查的重要性，引出本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容——簡單隨機(jī)抽樣.

3. 簡單隨機(jī)抽樣的概念講解

思考：假設(shè)口袋中有紅色和白色共1000個小球，除顏色外，小球的大小、質(zhì)地完全相同. 你能通過抽樣調(diào)查的方法估計袋中紅球所占的比例嗎？怎么解決呢？

？搖生4：可以從袋中摸出一個小球，記下顏色后放回，再摸出一個小球，如此重復(fù)50次. 如果這50次中，紅球出現(xiàn)了10次，那么可以估計口袋中紅球占比約為20%，于是紅球個數(shù)約為200.

？搖師：很好！初中的概率知識告訴我們，隨著摸球次數(shù)的增加，摸到紅球的頻率會逐漸穩(wěn)定于摸到紅球的概率，即紅球所占比例，因此可以通過摸到紅球的頻率來估計袋中的紅球數(shù). 大家請注意，怎樣得到的樣本能科學(xué)合理地反映總體情況？對每次摸球有什么要求嗎？

？搖生5：每次摸球時，應(yīng)保證每一個小球被摸到的概率相同.

？搖師：很好，這樣得到的樣本中的紅球占比與總體中的紅球占比更接近.你能將抽樣過程重新說一下嗎？

？搖生5：先將這1000個小球攪拌均勻，然后隨機(jī)摸出一個小球，記下顏色后放回，攪拌均勻后再摸出一個小球，如此重復(fù)50次.

？搖師：很好，摸出一個小球后必須放回嗎？

生5：也可以不放回，先將這1000個小球攪拌均勻，然后逐個不放回地摸出50個小球.

？搖師：很好，顯然這種方法更方便快捷，還有不同的方法嗎？

生6：也可以一次性摸出50個小球.

？搖師：都說得很好，這是最常見的三種方法. 在摸球過程中，關(guān)鍵一點(diǎn)是要保證每一個小球被摸到的可能性相同. 一般地，設(shè)一個總體含有N（N為正整數(shù)）個個體，從中逐個抽取n（1≤n＜N）個個體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)每個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的每個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機(jī)抽樣. 放回簡單隨機(jī)抽樣與不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機(jī)抽樣. 相比放回簡單隨機(jī)抽樣，不放回簡單隨機(jī)抽樣的效率更高，因此實(shí)踐中人們更多采用不放回簡單隨機(jī)抽樣. 本章中若未具體說明，簡單隨機(jī)抽樣就是指不放回簡單隨機(jī)抽樣.

師：請大家思考，用簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本，一定能準(zhǔn)確反映總體的情況嗎？

生7：不一定，由于隨機(jī)性的存在，肯定存在誤差，有時可能誤差較大.

師：說得很好，我們只能盡可能縮小誤差，但誤差肯定是存在的. 了解了簡單隨機(jī)抽樣的概念，那么在實(shí)際問題中，怎么實(shí)施這種抽樣方法呢？我們來看這個例子.

4.簡單隨機(jī)抽樣在實(shí)際問題中的實(shí)施

例題：一家家具廠要為樹人中學(xué)高一年級制作課桌椅，他們事先想了解全體高一年級學(xué)生的平均身高，以便設(shè)定可調(diào)節(jié)課桌椅的標(biāo)準(zhǔn)高度. 已知樹人中學(xué)高一年級有712名學(xué)生，如果要通過簡單隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查高一年級學(xué)生的平均身高，應(yīng)該怎么抽取樣本？

師：這個統(tǒng)計問題中，總體、個體、調(diào)查變量分別是什么？

生8：樹人中學(xué)的全體高一學(xué)生的身高是總體，每一位學(xué)生的身高是個體，學(xué)生的身高是調(diào)查變量.

師：怎么實(shí)施簡單隨機(jī)抽樣呢？

生8：可以將這個問題還原成剛才的問題，即將這712名學(xué)生看作712個小球，然后不放回地逐個抽取.

師：說得很好，請你將過程具體說說.

生8：第一步，先將這712名學(xué)生按1至712進(jìn)行編號；第二步，將所有編號寫在大小、質(zhì)地?zé)o差別的小球上；第三步，將小球放入不透明的口袋中，攪拌均勻；第四步，逐個不放回地取出n個小球；第五步，將這n個小球上的編號對應(yīng)的學(xué)生組成樣本.

師：很好，必須對這712名學(xué)生進(jìn)行編號嗎？可以使用他們的學(xué)號嗎？

生9：可以，最好利用已有的編號.

師：必須將所有編號寫在大小、質(zhì)地?zé)o差別的小球上嗎？有沒有替代品？

生10：也可以用外觀、質(zhì)地相同的紙片或卡片，只要保證每個個體被抽到的可能性相同即可.

師：很好，但這個制作過程其實(shí)挺麻煩的，為了解決這個麻煩，還有一種辦法叫做“隨機(jī)數(shù)法”. 例如準(zhǔn)備10個大小、質(zhì)地相同的小球，小球上分別寫上數(shù)字0，1，2，…，9，把它們放入不透明的口袋中. 從口袋中有放回地摸取3次，每次摸取前充分?jǐn)嚢?，并把第一、二、三次摸到的?shù)字分別作為百、十、個位數(shù)，這樣就生成了一個三位隨機(jī)數(shù). 如此重復(fù)若干次，如果得到的隨機(jī)數(shù)不在編號范圍內(nèi)或與前面重復(fù)，就舍棄編號，直到取夠樣本所需要的隨機(jī)數(shù)的個數(shù)，然后將編號與這些隨機(jī)數(shù)相一致的學(xué)生身高組成樣本. 這種產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法叫做“用隨機(jī)試驗(yàn)生成隨機(jī)數(shù)”.

5. 利用信息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù)

利用計算器、電腦及某些軟件，生成隨機(jī)數(shù). 讓學(xué)生閱讀教材內(nèi)容，并利用教室電腦演示.

6. 課堂小結(jié)

師：請你談?wù)劚竟?jié)課的收獲.

生11：在三體問題的一個統(tǒng)計學(xué)結(jié)論中，我看到了統(tǒng)計學(xué)在數(shù)學(xué)中的地位、價值和意義，了解了概率統(tǒng)計是一種重要的數(shù)學(xué)思想，對于不能精確求解的問題可以通過概率統(tǒng)計知識來認(rèn)識. 學(xué)習(xí)了簡單隨機(jī)抽樣的概念，掌握了實(shí)施簡單隨機(jī)抽樣的步驟，以及產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的一些手段.

教學(xué)反思

1. 數(shù)學(xué)文化的滲透彰顯“統(tǒng)計”的數(shù)學(xué)地位

“統(tǒng)計”與“概率”是人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)（2019版）必修第二冊的尾聲，縱觀兩冊必修教科書，從第一章“集合與常用邏輯用語”至第八章“立體幾何初步”，所涉及的數(shù)學(xué)問題幾乎都可以準(zhǔn)確推算出結(jié)果. 但在實(shí)際生活中，很多問題包含多個變量，且變量存在不確定性，如“三體問題”“氣象預(yù)測問題”等，都無法進(jìn)行精確計算，不過可以通過統(tǒng)計與概率的知識來估計. 因此，統(tǒng)計與概率的知識在數(shù)學(xué)中的地位至關(guān)重要，也許是這個原因，“統(tǒng)計”與“概率”在必修的教材上壓軸登場.

2. 數(shù)學(xué)文化的融入體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科價值

數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵包括數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)應(yīng)用等，將數(shù)學(xué)文化恰當(dāng)?shù)厝谌胝n堂中，可以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的學(xué)科價值. 本節(jié)課先以大多數(shù)學(xué)生所熟知的小說《三體》引入新知，雖然三體問題不可解，但通過計算機(jī)模擬得出了一個統(tǒng)計學(xué)結(jié)論；然后引出生活中無法進(jìn)行精確計算的問題，這些問題可以通過統(tǒng)計學(xué)的知識來提高認(rèn)識，讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)統(tǒng)計的意義，體會概率統(tǒng)計是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法；再介紹統(tǒng)計學(xué)應(yīng)用的領(lǐng)域，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、氣象學(xué)、醫(yī)學(xué)、非線性動力學(xué)等，讓學(xué)生認(rèn)識統(tǒng)計學(xué)的價值.

3. 數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果

“簡單隨機(jī)抽樣”是“統(tǒng)計”章節(jié)的起始內(nèi)容，為了使學(xué)生對本章知識產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，課堂中需要融入數(shù)學(xué)文化來讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)意義，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài).因?yàn)楹芏囝I(lǐng)域都要用到概率統(tǒng)計的知識，所以與概率統(tǒng)計有關(guān)的數(shù)學(xué)文化是非常豐富的，在課堂中融入數(shù)學(xué)文化有很多選擇. 從課堂效果來看，引入三體問題一下子就吸引住了學(xué)生的眼球，在講述數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家為解三體問題付出努力的這段史實(shí)時，學(xué)生的聲音、表情與坐姿表現(xiàn)出了學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，在后續(xù)授課的過程中，特別是在講述簡單隨機(jī)抽樣的概念以及其應(yīng)用時，學(xué)生都能全身心投入.

《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》提出核心素養(yǎng)的總體框架和基本內(nèi)涵，《中國高考評價體系》確立高考中學(xué)科素養(yǎng)的考查目標(biāo)，標(biāo)志著中國高考正在實(shí)現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變. 數(shù)學(xué)文化如同一條紐帶，把知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度四個方面的目標(biāo)有機(jī)地結(jié)合在一起. 數(shù)學(xué)史的融入可以讓今人和古圣隔空對話，碰撞、思考和研究，建立一種不同時空之間的神秘且特殊的聯(lián)系融入課堂教學(xué)中，可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的地位、價值與意義，改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，真正落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).