江秀涵 李敏

摘要：振動頻率是日常生活和物理學中經(jīng)常遇到的重要概念之一，探究影響振動頻率的因素具有重要的理論和應(yīng)用意義。本文基于古箏琴弦成功地探究了弦振動頻率的影響因素，發(fā)現(xiàn)振動頻率隨弦長的變短、直徑的減小以及拉伸度的增大而增大，所得結(jié)論具有定性甚至定量的準確性。古箏琴弦頻率測量方案具有成本低、精度高和易操作等優(yōu)點，是一種易于推廣的探究頻率影響因素的可行方案。

關(guān)鍵詞：振動頻率；影響因素；古箏琴弦

眾所周知，“運動是絕對的，靜止是相對的”。從宏觀世界到微觀世界，振動問題無處不在。宏觀世界中高聳入云的建筑樓宇，橫跨江海湖泊或者溝壑險灘的橋梁，奔馳的汽車、火車，以及飛行中的飛機或火箭等，都在發(fā)生著各種程度的振動。微觀世界里，構(gòu)成物質(zhì)的原子或分子都在其平衡位置振動，原子的振動以及原子間的相互作用，決定了物質(zhì)的各種物理和化學性質(zhì)。另外，一種振動可由其振幅、頻率和相位來來決定，各種物體或振動都有其固有頻率。當驅(qū)動力的頻率和固有頻率相等時，就會導(dǎo)致共振現(xiàn)象發(fā)生。因此，只有弄清決定系統(tǒng)固有頻率的因素，才能為產(chǎn)生或抑制共振現(xiàn)象提供技術(shù)參考。至今，有關(guān)弦、桿、換的振動理論和實驗研究依然引起人們的關(guān)注。[1]

實際物體的振動是一個復(fù)雜的問題，可分為三維、二維和一維振動。振動系統(tǒng)的固有頻率的探測方法有多種，常見的方法有：（一）共振法：用簡諧力激振，引起系統(tǒng)共振，從而找到系統(tǒng)的各階固有頻率。（二）錘擊法：用沖擊力激振，通過輸入的力信號和輸出的響應(yīng)信號進行傳函分析，得到各階固有頻率。然而，這些測量方法都依賴于專業(yè)的實驗設(shè)備，從而對頻率的測量提出了較高的門檻要求。人們不禁要問，是否有更加便捷的實驗方法來測量振動的頻率，并研究影響振動頻率的因素有哪些呢？

我們知道，弦的振動是一種相對簡單的一維振動，基本上是一個理想模型，可以幫助我們更好地了解影響振動的因素。因此人們易于想到，可以使用樂器的琴弦來完成頻率測量。最常見的樂器有琵琶和吉他，它們都是琴弦彈撥發(fā)聲。一般說來，不同粗細的琴弦越多，越有利于提升實驗選擇的靈活性，越有利于提升實驗結(jié)果的準確性。然而琵琶只有4根琴弦，吉他也僅有6根琴弦，這必然對實驗測量造成了一定的限制。是否有更理想的樂器呢？中國傳統(tǒng)民樂樂器古箏擁有21根琴弦，原則上應(yīng)該是探測弦振動頻率的理想選擇。

2015年，鄧小偉等對古箏弦振動及琴碼的動力學進行了建模和理論分析，并進行了實驗驗證，為進一步研究古箏提供了參考。[2]然而，其目的主要是解決了古箏振動聲學特性分析中的結(jié)構(gòu)模型簡化問題，并且其實驗也需要專業(yè)的實驗儀器。本文嘗試提出利用古箏琴弦等簡易工具，建立用古箏琴弦開展有關(guān)弦振動頻率的影響因素的研究方案。本文系統(tǒng)研究了弦的長度、粗細、張弛度對振動頻率的影響規(guī)律，進一步對數(shù)據(jù)進行分析處理，最終得到了弦振動頻率隨各種影響因素變化的定性和定量關(guān)系，為弦振動的頻率研究提供了一種切實可行的方案。

1?實驗儀器、原理和過程

1.1實驗儀器

該實驗所用的實驗儀器主要有古箏、古箏琴弦、桌子、軟尺、直尺、重物、木條、圓柱木棍、釘子、細繩、筆記本電腦，頻率檢測軟件（虛擬儀器0.94）等。

1.2實驗原理

首先將一根琴弦固定在木條上，然后用手撥動琴弦，琴弦就會振動發(fā)聲，利用裝有音頻分析軟件的筆記本電腦作為頻率探測器，探測聲音頻率。實驗裝置圖如圖1所示，代表釘子，是定滑輪，之間的弦長代表琴弦的有效長度。通過改變琴弦的長度、粗細和張馳度，可以改變琴弦振動的頻率，從而研究琴弦的長度、粗細、張弛度對其振動頻率的影響。

1.3實驗過程

該實驗的基本步驟可以概括如下：（1）打開頻率測試儀，調(diào)整到振動頻率測試狀態(tài)，靠近古箏或?qū)嶒炞雷臃胖茫唬?）選用某一直徑的琴弦，利用釘子和定滑輪，固定好琴弦，調(diào)整到合適拉伸強度，如圖1所示；（3）輕輕撥動琴弦發(fā)出聲音，讀取測試儀頻率讀數(shù)并記錄。重復(fù)2次撥動，并記錄讀數(shù)；（4）用米尺測量琴弦的長度，并記錄弦長；（5）改變釘子的位置以延長琴弦有效長度，或者更換不同直徑的琴弦，然后重復(fù)步驟（3）和（4）。具體實驗裝置圖如圖2所示。在直接利用古箏開展實驗時，可通過移動箏碼改變有效琴弦長度。

2?結(jié)果與討論

2.1弦長和張馳度的定性影響

圖3給出了利用古箏研究琴弦的振動頻率隨琴弦長度和張馳度的變化規(guī)律?？紤]到數(shù)據(jù)的可區(qū)分性、操作的便利性和數(shù)據(jù)的準確性，我們從古箏的21根琴弦中，選用了1、3、5、6、7和9號琴弦。首先以1號琴弦來討論頻率的變換規(guī)律。在特定拉力作用下，隨著弦長的增大，弦的振動頻率逐漸減小。當弦長受到更大的拉力，即弦的張馳度增大時，振動頻率隨弦長的變化曲線整體抬升，即對特定弦長的弦，其振動頻率隨著拉力的增加而增大。因此可以得到如下結(jié)論：顯得振動頻率隨弦長增大而減小、隨拉力增大而增大。為驗證上述結(jié)論的可靠性，進一步測量了古箏3、5、6、7和9號琴弦的振動頻率，如圖3所示。容易發(fā)現(xiàn)，由1號琴弦所得的振動頻率對弦長和拉力的依賴關(guān)系是普適的。圖3每幅圖中的粗線給出的是當對應(yīng)琴弦處在標準音準時振動頻率隨弦長的變化關(guān)系，該結(jié)果應(yīng)該可以在古箏上直接重復(fù)。需要強調(diào)的是，上述利用古箏得到的規(guī)律屬于定性規(guī)律，下面利用圖2（b）所示的自制裝置來進行定量性的研究。

2.2弦長的定量影響

現(xiàn)在定量研究弦長對振動頻率的影響。表1列出了直徑為0.05cm的1號琴弦，在質(zhì)量為4.3kg重物拉伸下，對應(yīng)不同弦長的振動頻率。由于是通過定滑輪施加的拉力，可近似認為拉力始終保持相同。顯然，從表1可以看出，振動頻率隨著弦長的增加頻率逐漸降低。

2.3弦粗細的定量影響

表2給出了在有效弦長為17cm時，在質(zhì)量為4.3kg重物拉伸下，對應(yīng)不同直徑的琴弦的振動頻率。比較可以看出，琴弦振動頻率隨著琴弦直徑的增加而逐漸降低。為更清楚地看出振動頻率和弦粗細的依賴關(guān)系，在圖5中給出了頻率隨弦橫截面積的平方根的倒數(shù)的變化曲線，數(shù)據(jù)擬合后所得的關(guān)系為，這表明弦的振動頻率與弦的橫截面積的平方根近似成反比。對于圓柱形的古箏琴弦，振動頻率近似與弦的直徑成反比。

2.4弦振動頻率的一般公式

基于上述有關(guān)琴弦長度、琴弦橫截面積（或直徑）和琴弦張馳度三種因素對琴弦振動頻率的影響規(guī)律，琴弦的振動頻率公式可以歸納為

其中常數(shù)。公式（1）表明振動頻率隨弦長減小、弦變細和拉力的增加而增大，該結(jié)論與拉緊的繩或弦線中的頻率公式相一致，[3]這進一步說明利用古箏琴弦研究琴弦振動頻率的影響因素的研究方案是可靠和可行的。

需要指出的是，我們實驗的主要誤差來源有三個方面：（1）所用的古箏琴弦是一種兩種材料組成的復(fù)合材料，不同粗細的琴弦兩種材質(zhì)的比例未必相同；（2）設(shè)備簡易，反復(fù)使用后表面會變粗糙等，也會帶來不確定的誤差；（3）頻率測量是利用了筆記本的話筒結(jié)合應(yīng)用軟件來實現(xiàn)的，具有零成本的優(yōu)點，當然精確度也略低，不過已經(jīng)足以滿足本實驗的需求?？上驳氖?，盡管設(shè)備簡陋，但所得結(jié)論確實是定性甚至定量準確的。另外，受限于實驗儀器，本實驗中也沒有考慮如溫度、濕度和弦材質(zhì)等因素的影響。

結(jié)語

基于古箏和自制琴弦固定器，詳細探究了琴弦長度、琴弦粗細和琴弦張馳度三種因素對弦振動頻率的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：弦的長度、粗細和張弛度都對振動頻率有影響，并且定量給出了振動頻率對弦長度、粗細的依賴關(guān)系。該研究表明，古箏琴弦數(shù)量多的優(yōu)勢使其成為研究弦振動頻率問題的理想設(shè)備，利用古箏琴弦探究琴弦的振動規(guī)律以及振動頻率的影響因素是一個成本低、精度高、易操作的可行方案。另外，該研究成果對調(diào)整古箏的音準具有參考價值，甚至對調(diào)整其他彈撥弦類樂器的校準都有一定的參考意義。

參考文獻：

[1]方奕忠，崔新圖，沈韓，等.弦、桿、環(huán)的橫振動理論與實驗研究[J].大學物理，2023，42（6）：32-39.

[2]鄧小偉，余征躍，姚衛(wèi)平，等.古箏弦振動及琴碼的動力學分析[J].振動與沖擊，?2015，34（18）：166-170.

[3]吳百詩.大學物理（下）[M].北京.高等教育出版社，?2012.

作者簡介：?江秀涵（????）?，男，漢族，中學生;李敏（????），女，漢族，教師，研究方向：物理學與物理教育。