周敏

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)學(xué)問題與圖形相結(jié)合，通過圖形的特點和性質(zhì)來解決數(shù)學(xué)問題的思維方式.本文旨在探討深度學(xué)習(xí)視角下數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.首先介紹了數(shù)形結(jié)合思想的定義和特點，并強(qiáng)調(diào)其在數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢和作用.然后在一個具體例題中詳細(xì)講解了如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題.接著對比了傳統(tǒng)解題方法和數(shù)形結(jié)合思想的差異和優(yōu)劣點.進(jìn)一步設(shè)計了一組相關(guān)習(xí)題，并分析了學(xué)生在解題過程中的表現(xiàn)和策略，以及數(shù)形結(jié)合思想對解題的優(yōu)勢和幫助.通過研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合思想能夠提高學(xué)生的空間思維能力、知識的綜合運(yùn)用能力，培養(yǎng)他們的圖形觀察和推理能力，有助于加深對數(shù)學(xué)問題的理解和應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想；初中數(shù)學(xué)；深度學(xué)習(xí)

數(shù)形結(jié)合思想是一種將數(shù)學(xué)與圖形相結(jié)合的解題方法，通過運(yùn)用圖形的特點和性質(zhì)來解決數(shù)學(xué)問題.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想被認(rèn)為是培養(yǎng)學(xué)生空間思維能力、提高解題技巧的重要策略.然而，目前對于深度學(xué)習(xí)視角下數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用仍缺乏系統(tǒng)性的研究.

1 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1.1 數(shù)形結(jié)合思想的定義和特點

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)非常重要的一種解題方法，是通過將數(shù)學(xué)問題與圖形相結(jié)合，利用圖形的特點和性質(zhì)來解決數(shù)學(xué)問題的一種思維方式.其核心思想是通過將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，通過觀察和分析圖形，根據(jù)問題的特點，將代數(shù)問題借助于圖形解決，或者將幾何圖形中的關(guān)系量化轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系，再根據(jù)圖形的形狀、特點、位置、數(shù)量、關(guān)系等特征，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為圖形的屬性或?qū)缀螌傩赞D(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，從而達(dá)到以形助數(shù)，以數(shù)解形的作用，進(jìn)而達(dá)到使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化，更易于理解、解決數(shù)學(xué)問題的目的［1］.

數(shù)形結(jié)合思想具有以下特點：一是綜合性.數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)?shù)學(xué)的不同內(nèi)容融合在一起，通過幾何圖形的視覺化表達(dá)，幫助學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識.二是直觀性.圖形是直觀可見的，通過觀察圖形可以直接感知到其形狀、大小以及相互關(guān)系，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解和思考，把抽象的問題具體化.三是模型化.數(shù)形結(jié)合思想將數(shù)學(xué)問題抽象成幾何模型，通過數(shù)學(xué)模型的建立和分析，可以更清晰地展示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和解題方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.四是思維的靈活性.通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以從不同角度考慮問題，既可以從數(shù)學(xué)概念出發(fā)，也可以從圖形出發(fā)，從而更全面地理解問題.

1.2 數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢和作用

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中具有以下優(yōu)勢和作用.一是激發(fā)興趣.數(shù)形結(jié)合思想通過以圖形為媒介，能夠使抽象的數(shù)學(xué)問題更具有形象性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心.學(xué)生可以通過觀察、分析和推理，將抽象的數(shù)學(xué)概念和問題轉(zhuǎn)化為直觀且可視化的形式，使學(xué)習(xí)變得更加生動有趣.二是提高空間思維和想象能力.數(shù)形結(jié)合思想要求學(xué)生從圖形的角度去考慮問題，培養(yǎng)了學(xué)生的空間思維能力和幾何直觀感知能力.通過觀察和操作圖形，學(xué)生可以培養(yǎng)對幾何形狀、屬性和關(guān)系的敏感性，提升他們在處理空間問題時的思維靈活性和幾何直覺.三是增強(qiáng)問題解決能力.數(shù)形結(jié)合思想通過將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為圖形進(jìn)行分析和推理，能夠鍛煉學(xué)生解決問題的能力和邏輯思維能力.學(xué)生需要觀察圖形的特點、關(guān)系和規(guī)律，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析和解決問題.這種思維方式培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力、創(chuàng)造性思維能力和靈活思維能力，使他們能夠更有效地解決數(shù)學(xué)問題［2］.四是深入理解數(shù)學(xué)知識，提高解題效率.數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生從圖形的視角去理解數(shù)學(xué)知識，或者從數(shù)的方面去解釋圖形，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深入理解和應(yīng)用.通過觀察圖形的特點和關(guān)系，學(xué)生可以感受到數(shù)學(xué)的運(yùn)用和意義，提高對數(shù)學(xué)原理和規(guī)律的把握和理解程度.

2 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的實踐

2.1 數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的運(yùn)用

例1 如圖1所示，在正△ABC中，邊AB、BC、CA分別有點D、E、F，且滿足DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB，求點D在AB上的位置.

解析 根據(jù)題目給出的條件，我們要求點D在邊AB上的位置.這里涉及線段關(guān)系，需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題.

先假設(shè)符合條件的點D、E、F已經(jīng)作出，再利用已知條件，尋找線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解.

解 設(shè)AB=1，AD=x.

由于△ABC為正三角形，且DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB，根據(jù)直角三角形，30°角所對直角邊等于斜邊一半的定理，我們可以得到以下數(shù)量關(guān)系：

AF=2x，CF=1－2x，CE=2CF=2－4x，BE=1－CE=4x－1，BD=2BE=8x－2，

而AD+BD=AB，即x+（8x－2）=1.解這個方程可以得到x=13，即點D位于AB邊上的13分點處.

通過解這個方程，我們可以得到AD的值，并進(jìn)一步計算出BD的長度，最終確定點D位于AB邊上的具體位置.

小結(jié) 通過該例題的講解，我們可以看到數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用在解決復(fù)雜問題時具有很大的幫助.通過將幾何圖形和數(shù)量關(guān)系相結(jié)合，我們能夠更清晰地理解題目的條件和要求，從而運(yùn)用適當(dāng)?shù)耐茖?dǎo)和計算方法來解決問題.在初中數(shù)學(xué)教材中，通過類似的例題和練習(xí)題，可以幫助學(xué)生深入理解數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，以數(shù)解形，并提高他們的解題能力和空間思維能力.在解決幾何問題時，通過將幾何中的形的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)的關(guān)系，可以更加直觀地理解和解決問題.

2.2 數(shù)形結(jié)合思想在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用

在很多代數(shù)問題中，比如一些含有字母的絕對值的運(yùn)算，公式的恒等變形，不等式的解的問題，圖形與坐標(biāo)，函數(shù)與方程組，函數(shù)與不等式等函數(shù)問題，我們經(jīng)常會利用數(shù)軸、幾何圖形、圖像等與數(shù)或點的坐標(biāo)相結(jié)合來解決數(shù)學(xué)問題，從而形成數(shù)形結(jié)合思想.通過圖形或者圖像，我們可以直觀地看到數(shù)的變化趨勢、數(shù)的性質(zhì)以及不等式的解集等，從而通過數(shù)形結(jié)合思想解決此類問題.

例2 文具店、書店、服裝店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店的西邊30m處，服裝店在書店的東邊80m處，小明從書店出來沿街先向西走了20m，接著又向東走了100m（見圖2），則小明此時的位置在（? ）

（A）文具店處? （B）書店東100m處

（C）服裝店處 ?（D）文具店東100m處

解析 將這條東西走向的大街視為數(shù)軸，以書店作為原點，并規(guī)定正東方向為正方向.每單位長度表示10m.根據(jù)題目描述，文具店位于書店西邊30m處，服裝店位于書店東邊80m處.我們可以根據(jù)這些信息在數(shù)軸上標(biāo)出文具店和服裝店的位置.根據(jù)小明從書店起始位置開始，先向西走了20m，再向東走了100m的過程，我們可以在數(shù)軸上找到小明此時的位置.由于小明從書店（起點）向西走了20m，所以他現(xiàn)在的位置應(yīng)該是書店的位置減去20m.由于小明又向東走了100m，所以他的位置應(yīng)該在書店向西走了20m的位置加上100m.將書店的位置設(shè)為原點，并根據(jù)數(shù)軸上的正、負(fù)和單位長度代表的距離來表示文具店和服裝店的位置.根據(jù)計算，文具店的位置可以表示為-30，服裝店的位置可以表示為+80，小明此時的位置可以用+80來表示，因此根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想對數(shù)軸上的位置關(guān)系進(jìn)行分析，可以確定小明此時的位置在服裝店處，故選C.

小結(jié) 在給出的習(xí)題中，通過畫數(shù)軸將文具店、書店和服裝店的位置表示出來，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上點的位置關(guān)系.通過數(shù)形結(jié)合思想，將實際情境轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的點的位置，學(xué)生通過圖形的展示和數(shù)學(xué)模型的建立，更容易理解問題和進(jìn)行推理.在這個習(xí)題中，學(xué)生可以通過觀察數(shù)軸上的位置關(guān)系和加減運(yùn)算的規(guī)律，確定小明此時的位置在服裝店處.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用使得抽象的數(shù)學(xué)問題具有更直觀的形象性，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的興趣和主動思考能力.通過解題過程，學(xué)生不僅掌握了具體問題的解法，還培養(yǎng)了幾何形象思維和數(shù)學(xué)建模能力，提升了數(shù)學(xué)問題的解決能力和數(shù)學(xué)思維水平［3］.

因此，數(shù)形結(jié)合思想在解決很多代數(shù)問題，比如代數(shù)中不等式求解問題，函數(shù)增減性，交點，最值，大小比較，圖形與坐標(biāo)等問題，以及一些公式的證明問題中運(yùn)用非常廣泛，直觀地幫助學(xué)生從形的角度解決了數(shù)的問題，幫助我們更好地理解代數(shù)問題的本質(zhì)，提供了一種簡便的解題方法.將抽象的數(shù)學(xué)問題和直觀的圖形結(jié)合起來，使我們更好地理解和解決數(shù)學(xué)問題.

2.3 對比使用傳統(tǒng)解題方法和數(shù)形結(jié)合思想的差異和優(yōu)劣點

傳統(tǒng)解題方法和數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中，存在著一些差異和各自的優(yōu)劣點.

傳統(tǒng)解題方法主要依賴于代數(shù)運(yùn)算和符號表示，強(qiáng)調(diào)邏輯推理和符號運(yùn)算的過程.通過列方程、列不等式、化簡、代數(shù)計算等步驟來解決數(shù)學(xué)問題.該方法在一些抽象的運(yùn)算與計算題目中具有一定優(yōu)勢，更加側(cè)重于數(shù)學(xué)公式和規(guī)則的運(yùn)用.然而，在幾何圖形的分析證明和應(yīng)用問題中可能略顯不足，較難從直觀角度入手進(jìn)行解題.

與傳統(tǒng)解題方法相比，數(shù)形結(jié)合思想更加注重圖形的觀察和分析，將問題轉(zhuǎn)化為圖形的特征和關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)和求解.通過圖形的直觀表達(dá)，能夠激發(fā)學(xué)生的空間思維能力和直觀感知能力.數(shù)形結(jié)合思想在許多問題中具有較大優(yōu)勢，能夠提供更多的直觀解釋和啟示.數(shù)形結(jié)合思想能夠更清晰地展現(xiàn)幾何的性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律，使得問題的解答更加直觀、具體和易于理解.然而，數(shù)形結(jié)合思想也存在一些局限性.對于一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，可能需要較高的空間直觀能力和幾何推理能力才能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題.

3 數(shù)形結(jié)合思想在習(xí)題中的應(yīng)用與效果

3.1 設(shè)計一組相關(guān)習(xí)題，要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題

這組習(xí)題的設(shè)計旨在培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)問題與幾何圖形相結(jié)合的能力，并通過具體的例題來引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題.通過反復(fù)練習(xí)和實踐，學(xué)生能夠逐漸掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用技巧，提高解題的準(zhǔn)確性和效率.

例3 在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，3），B（-1，3），C（0，5），若△CAB與△DBA全等（見圖3），求點D的坐標(biāo).

解析 此題需要根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，在平面直角坐標(biāo)系中描出點A，點B，點C，并連接AB，AC，BC，得到△ABC，再根據(jù)三角形全等的判定定理——邊邊邊定理，在坐標(biāo)系中畫出與之全等的圖形，因為AB邊確定，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊高相等，可以得到與△CAB全等的△DAB有三個，進(jìn)而求出點D的坐標(biāo)有三個.

小結(jié) 數(shù)形結(jié)合思想在習(xí)題中的應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生更直觀地理解數(shù)學(xué)問題，并利用幾何圖形的特征和關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)和計算.通過設(shè)計相關(guān)習(xí)題，要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，可以鍛煉他們的觀察和推理能力，提高解題的整體水平.另外，借助于圖形與坐標(biāo)，函數(shù)圖象等解決數(shù)學(xué)問題，可以更直觀地展示函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，便于學(xué)生理解和掌握.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)適時引入能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的習(xí)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并有效培養(yǎng)他們運(yùn)用代數(shù)知識與幾何知識的綜合思維能力.

3.2 學(xué)生習(xí)題表現(xiàn)和解題策略

學(xué)生在習(xí)題表現(xiàn)和解題策略上的差異是個體之間的正?，F(xiàn)象.有些學(xué)生可能能夠迅速理解和解決數(shù)形結(jié)合問題，準(zhǔn)確地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和幾何規(guī)律.另一些學(xué)生可能需要更多時間和練習(xí)，以提升他們的數(shù)形結(jié)合能力和解題技巧.還有一些學(xué)生可能遇到困難，難以將數(shù)學(xué)概念和幾何形狀相結(jié)合，解釋和應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)律.

有些學(xué)生可能善于使用圖形分析和推理，通過觀察幾何形狀的特征和關(guān)系來解決問題.另一些學(xué)生可能更傾向于代數(shù)思維，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程或表達(dá)式進(jìn)行求解.還有一些學(xué)生可能采用試錯法或反復(fù)嘗試不同方法，以找到正確的解決途徑.教師在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生的習(xí)題表現(xiàn)和解題策略，以便更好地指導(dǎo)和支持學(xué)生.這可以通過觀察學(xué)生的作業(yè)、與學(xué)生的交流或小組討論等方式來了解學(xué)生的習(xí)題表現(xiàn)和解題思路.針對學(xué)生的差異性，教師可以根據(jù)學(xué)生的需求進(jìn)行個別輔導(dǎo)和指導(dǎo)，提供適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)資源和策略，以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的知識和技巧.

3.3 數(shù)形結(jié)合思想在解題過程中的優(yōu)勢和幫助

數(shù)形結(jié)合思想在解題過程中具有許多優(yōu)勢和幫助.第一，可視化問題解決.數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的圖形相聯(lián)系，使問題更加可視化.通過可視化，學(xué)生能夠更直觀地觀察、分析和理解問題，從而提高解題的準(zhǔn)確性和效率.第二，創(chuàng)造性思維培養(yǎng).數(shù)形結(jié)合思想鼓勵學(xué)生發(fā)展創(chuàng)造性思維，從不同角度思考問題，并嘗試找到不同的解決方法.學(xué)生可以嘗試各種組合、變換和創(chuàng)新，以通過自己的探索來解決問題.第三，綜合能力提升.數(shù)形結(jié)合思想讓學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，使代數(shù)知識與幾何知識融會貫通，從而提升他們的綜合解題能力.學(xué)生需要將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為幾何圖形或圖像，然后利用這些圖形或圖像來進(jìn)行分析、推理和解答問題.第四，規(guī)律發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用.通過數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生能夠更容易地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中的規(guī)律和關(guān)系，并將其應(yīng)用到其他類似的情境中.例如，通過觀察幾何圖形的對稱性、比例關(guān)系或角度關(guān)系，學(xué)生可以推斷出數(shù)學(xué)規(guī)律，然后將這些規(guī)律應(yīng)用到其他幾何問題中.第五，擴(kuò)展解題思路.數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生擴(kuò)展他們的解題思路.它能夠鼓勵學(xué)生嘗試不同的方法和策略，以求得更全面和深入的解決方案.通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以突破傳統(tǒng)的解題思維模式，從多個角度思考問題，找到更多的解決途徑.

4 結(jié)語

綜上所述，通過深度學(xué)習(xí)視角下數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究，我們可以得出以下結(jié)論：數(shù)形結(jié)合思想是一種有效的解題方法，能夠幫助學(xué)生提升空間思維能力和解題技巧.在初中數(shù)學(xué)教材中實踐數(shù)形結(jié)合思想可以豐富教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和理解能力.數(shù)形結(jié)合思想在解題過程中能夠促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深入理解，并培養(yǎng)他們的觀察和推理能力.然而，在實踐中仍需注意教學(xué)方法的靈活運(yùn)用和個性化教學(xué)的重要性.未來研究可以進(jìn)一步探索數(shù)形結(jié)合思想在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，并結(jié)合創(chuàng)新教育技術(shù)共同推動數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］香欽源.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地：初中版，2023（17）：20-21.

［2］崔文東.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究［J］.數(shù)理天地：初中版，2023（13）：33-34.

［3］周建榮.數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用［J］.信息周刊，2022（5）：55-57.