方成

【摘要】數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是初一數(shù)學(xué)的一種重要題型，經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn).動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)轉(zhuǎn)化的思想方法，對(duì)學(xué)生處理信息并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力要求較高.關(guān)于如何解決數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，本文有一些思考和建議，期望能對(duì)大家有所幫助.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)軸；動(dòng)點(diǎn)；解題技巧

一直以來(lái)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題都是中考中的重點(diǎn)題型，它通常是由一個(gè)大問(wèn)題組成，再細(xì)化成一個(gè)個(gè)小問(wèn)題.需要學(xué)生層層抽絲剝繭，由淺入深地挖掘題目中的核心條件.數(shù)軸是學(xué)生進(jìn)入初中以來(lái)第一次數(shù)與形的碰撞，借助數(shù)軸感受“化數(shù)為形，化形為數(shù)”.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在數(shù)軸上的應(yīng)用具有明顯的綜合性，它融合了行程的概念、數(shù)與形的結(jié)合，以及分類(lèi)轉(zhuǎn)化的思維方式.對(duì)這類(lèi)問(wèn)題解法研究應(yīng)做到由易到難，分類(lèi)時(shí)不重不漏，有理有據(jù).

1 理清基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)平移

在一條數(shù)軸上，我們規(guī)定向右為正，向左為負(fù).如果一個(gè)點(diǎn)向右平移，只需要把這個(gè)點(diǎn)加上運(yùn)動(dòng)的距離.如果向左運(yùn)動(dòng)，就是減去它運(yùn)動(dòng)的距離.

（1）如圖1，假設(shè)點(diǎn)P位于原點(diǎn)，那么向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度后達(dá)到的點(diǎn)A，其所代表的數(shù)值可以理解為0加上3，即3；向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B代表的數(shù)值理解為0減去3，即－3.

（2）設(shè)定點(diǎn)P代表的數(shù)是2，當(dāng)其向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度后，我們得到點(diǎn)A，此時(shí)，點(diǎn)A所表達(dá)的數(shù)值可以被認(rèn)為是5，這是由2加3計(jì)算得出的；向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)B，點(diǎn)B所表達(dá)的數(shù)值可以被認(rèn)為是-1，這是由2減去3計(jì)算得出的－1.

1.2 兩點(diǎn)距離

如圖2，點(diǎn)E與點(diǎn)F的距離，即線(xiàn)段EF的長(zhǎng).

（1）若點(diǎn)E所表示的數(shù)為2，點(diǎn)F所表示的數(shù)為5，則EF=5－2=3；

（2）若點(diǎn)E所表示的數(shù)為-2，點(diǎn)F所示的數(shù)為3，則EF=3－（－2）=5；

（3）若點(diǎn)E所表示的數(shù)為-2，點(diǎn)F所示的數(shù)為-4，則EF=－2－（－4）=2.

根據(jù)以上分析，我們可以得出：在數(shù)軸上，兩點(diǎn)之間的距離等于這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對(duì)值，也就是右側(cè)的數(shù)值減去左側(cè)的數(shù)值.這個(gè)原則可以簡(jiǎn)單地概括為“大數(shù)減小數(shù)”.歸納可得：若點(diǎn)E所表示的數(shù)為a時(shí)，點(diǎn)F所示的數(shù)為b，且a>b，則EF=a－b；若點(diǎn)E所表示的數(shù)為a時(shí)，點(diǎn)F所示的數(shù)為b，則EF=a－b.

1.3 中點(diǎn)表示法

如圖3，數(shù)軸上點(diǎn)P向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)F表示的數(shù)為-1，向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)E表示的數(shù)為3，則點(diǎn)P表示的數(shù)是1.由此可得，數(shù)軸上點(diǎn)E表示的數(shù)為a，點(diǎn)F表示的數(shù)為b，那么線(xiàn)段EF的中點(diǎn)P表示數(shù)為a+b2.

1.4 行程問(wèn)題

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上移動(dòng)時(shí)，我們可以將向右的移動(dòng)方向定義為正方向，并將向右的移動(dòng)速度定義為正速度，反之，向左的移動(dòng)速度則被視為負(fù)速度.從這個(gè)角度來(lái)看，我們可以通過(guò)在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上增加該點(diǎn)的移動(dòng)距離確定其移動(dòng)后的坐標(biāo).

2 剖析典型例題

例1 已知如圖4，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為10．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tt>0秒．

（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，它所表示的數(shù)是．

（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)．求：

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P追上點(diǎn)Q？

②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度？

解析 （1）運(yùn)用點(diǎn)的平移，B在A左邊，A表示的數(shù)為6，A，B兩點(diǎn)間的距離為10，所以數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為6－10=－4；P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)，是（－4+6）÷2=1.

（2）采用方程解決此類(lèi)問(wèn)題，這題是行程問(wèn)題中的同向追趕問(wèn)題.①點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)追上點(diǎn)Q，由于點(diǎn)P要多運(yùn)動(dòng)10個(gè)單位才能追上點(diǎn)Q，則4t=10+2t，然后解方程得到t＝5；②分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)a秒時(shí)，不超過(guò)Q，則10+2a－4a=8；超過(guò)Q，則10+2a+8=4a；由此求解即可.

①點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)追上點(diǎn)Q根據(jù)題意得4t=10+2t，解得t＝5.

答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，點(diǎn)P追上點(diǎn)Q.

②設(shè)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)a秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)P不超過(guò)Q，則10＋2a-4a＝8，解得a＝1；當(dāng)P超過(guò)Q，則10+2a+8=4a，解得a=9.

答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或9秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度.

因此，解決數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的思想方法是含有字母的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)的位置，再運(yùn)用分類(lèi)討論思想和已知條件來(lái)列方程計(jì)算．

3 明確解題思路

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題思想是數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)轉(zhuǎn)化.著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”簡(jiǎn)而言之，就是在動(dòng)點(diǎn)數(shù)學(xué)問(wèn)題中要將數(shù)量關(guān)系和空間形式相結(jié)合，加以處理.

解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的第一步，審題，直接剖析問(wèn)題核心，抓住動(dòng)點(diǎn)，理清題目，畫(huà)出圖形，在多個(gè)條件中提取關(guān)鍵信息；第二步，在數(shù)軸上表示各點(diǎn)的坐標(biāo)，并理清動(dòng)點(diǎn)速度，時(shí)間和路程；第三步，動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)用字母表示；第四步，借助數(shù)軸上線(xiàn)段長(zhǎng)度、線(xiàn)段中點(diǎn)的代數(shù)表示方法，根據(jù)題目列出方程，并解方程.這樣就歸納出數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的“通性通法”，從而幫助學(xué)生化難為易，化動(dòng)為靜，分類(lèi)討論，抓住動(dòng)點(diǎn)用代數(shù)表示，以不變應(yīng)萬(wàn)變，尋找破題點(diǎn).

理想的數(shù)學(xué)解題，教師應(yīng)該認(rèn)真思考自己所要傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，洞穿這一知識(shí)點(diǎn)處于相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)的環(huán)節(jié)之中，確定知識(shí)環(huán)節(jié)的來(lái)龍去脈，還要細(xì)心分析學(xué)生生成這一知識(shí)點(diǎn)時(shí)的心理環(huán)節(jié)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生生成知識(shí)的“來(lái)龍”與“去脈”之間的本質(zhì)差異［1］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是已有基礎(chǔ)知識(shí)的建構(gòu)，生成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“再生長(zhǎng)”，從而從解題中萌生數(shù)學(xué)的思想方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

參考文獻(xiàn)：

［1］張昆，宋乃慶.初一列方程入門(mén)教學(xué)的思考與建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（02）：4-7.