葉妙妙

［摘? 要］ 文章以“用字母表示數(shù)”的教學(xué)為例，借助“唱不完的兒歌”與“年齡關(guān)系”引發(fā)學(xué)生的思考與表達(dá)，讓學(xué)生感知并理解數(shù)學(xué)符號(hào)，培育其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 符號(hào)意識(shí)；表達(dá)；字母

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出數(shù)學(xué)抽象能力包括數(shù)感、量感與符號(hào)意識(shí)三類。實(shí)踐證明，運(yùn)用豐富的教學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生感知數(shù)學(xué)符號(hào)，能發(fā)展學(xué)生的抽象思維。重視學(xué)生符號(hào)意識(shí)的發(fā)展和培養(yǎng)，成為越來(lái)越多數(shù)學(xué)教師的共識(shí)。規(guī)范學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的應(yīng)用能強(qiáng)化他們的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，拔高其數(shù)學(xué)思維，發(fā)展其數(shù)學(xué)能力。筆者以“用字母表示數(shù)”的教學(xué)為例，談?wù)勅绾螐姆?hào)意識(shí)的角度培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

一、學(xué)情分析：代數(shù)表達(dá)初探

“用字母表示數(shù)”是小學(xué)代數(shù)知識(shí)體系的起點(diǎn)。由于小學(xué)生處于抽象思維初步形成的階段，因此對(duì)字母（抽象）表達(dá)數(shù)字（具象）的學(xué)習(xí)需要有一個(gè)知識(shí)探索和認(rèn)知整合的過(guò)程。

課前，教師要求學(xué)生以舉手的方式回答以下幾個(gè)問(wèn)題：a能否表示數(shù)？a+20能否表示數(shù)？a+20能否代表數(shù)量關(guān)系？

表1為學(xué)生對(duì)這三個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。

從結(jié)論來(lái)看，雖然所有學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)是認(rèn)可的，但是也有學(xué)生認(rèn)為數(shù)與數(shù)量關(guān)系并不能用含字母的式子來(lái)表示。為了進(jìn)一步了解學(xué)生的想法，教師與持否定態(tài)度的學(xué)生進(jìn)行了交流，他們認(rèn)為：“a+20”屬于一個(gè)式子，要計(jì)算完成后才能表示數(shù)；同時(shí)，算式無(wú)法表示數(shù)量關(guān)系。在問(wèn)題的引領(lǐng)下，學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知狀態(tài)完全暴露，即認(rèn)知停留在用單個(gè)字母表示數(shù)上，對(duì)含字母的式子的本質(zhì)不夠了解。

二、教學(xué)分析與設(shè)計(jì)：目標(biāo)導(dǎo)向與認(rèn)知提升

想要讓學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的感知來(lái)提升表達(dá)能力，教師在教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定上就應(yīng)明確方向，確定好教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，設(shè)計(jì)出符合真實(shí)學(xué)情的教學(xué)范式?；谇笆鰧W(xué)生認(rèn)知的階段和狀態(tài)，筆者圍繞教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)的教學(xué)過(guò)程，助力學(xué)生的認(rèn)知螺旋式提升。

1. 設(shè)定目標(biāo)

通過(guò)對(duì)課標(biāo)要求、教材內(nèi)容以及學(xué)情的具體剖析，筆者確定了本節(jié)課蘊(yùn)含培育符號(hào)意識(shí)、深化數(shù)學(xué)表達(dá)、發(fā)展推理意識(shí)等目標(biāo)。在感知符號(hào)深化表達(dá)的視角下設(shè)定教學(xué)目標(biāo)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）通過(guò)具體情境揭示用字母表示數(shù)所蘊(yùn)含的價(jià)值與意義，讓學(xué)生感知用字母表示數(shù)的重要性、簡(jiǎn)捷性與普適性，理解含有字母的式子既可以表示數(shù)，又可以表示數(shù)量關(guān)系；

（2）引導(dǎo)學(xué)生親歷“具體—抽象”的過(guò)程，用字母或含字母的式子將問(wèn)題描述出來(lái)，深化其符號(hào)意識(shí)和培養(yǎng)其表達(dá)能力；

（3）借助生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生感知本節(jié)課學(xué)習(xí)的必要性，提升其數(shù)學(xué)表達(dá)能力和發(fā)展其符號(hào)意識(shí)。

2. 教學(xué)實(shí)踐

（1）引導(dǎo)學(xué)生自主提問(wèn)，促進(jìn)自主表達(dá)

通過(guò)設(shè)計(jì)師生的討論互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自主提出問(wèn)題：一方面增強(qiáng)學(xué)生的探索興趣，提高課堂教學(xué)效率；另一方面促使學(xué)生自主表達(dá)，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。數(shù)學(xué)知識(shí)本就由生活中的一些事物抽象而來(lái)，教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)計(jì)一個(gè)“唱不完的兒歌”情境，不僅能為課堂教學(xué)提供生動(dòng)的素材，而且能促使學(xué)生感知生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光與思維觀察生活實(shí)際，從而提升知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)。

教學(xué)片段1

師：本節(jié)課我們將要探索的知識(shí)為“用字母表示數(shù)”，當(dāng)你們看到這個(gè)主題時(shí)，最想知道的知識(shí)是什么？

生1：為什么要用字母表示數(shù)？這么做的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)是什么？

生2：該如何用字母來(lái)表示數(shù)呢？是不是隨便找一個(gè)字母都可以？

生3：用字母表示數(shù)用在什么地方？

師：很好！提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要，大家在短時(shí)間內(nèi)就提出這么多有價(jià)值的問(wèn)題，值得表?yè)P(yáng)。

（2）踐行以生為本理念，創(chuàng)設(shè)探究場(chǎng)景

學(xué)生是課堂的主人，教師要讓學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的感知發(fā)展語(yǔ)言表達(dá)能力，要為學(xué)生創(chuàng)造更多參與探究的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在思辨中理解知識(shí)的特點(diǎn)，感知用字母表示數(shù)的便捷與實(shí)際需要。創(chuàng)設(shè)探究場(chǎng)景促使學(xué)生感知用字母表示數(shù)是科學(xué)合理的一種方法。由此可以看出，“以生為本”理念下的數(shù)學(xué)課堂更融洽，也更能提升學(xué)生的表達(dá)能力。

教學(xué)片段2

師：帶著問(wèn)題，咱們來(lái)聽一首兒歌。

教師播放兒歌：1只青蛙4條腿，2只青蛙8條腿……

師：如果從數(shù)學(xué)的角度來(lái)分析這首兒歌，它存在什么特點(diǎn)？

生4：如果一直唱下去，唱不完。

生5：不論有幾只青蛙，腿的數(shù)量為青蛙數(shù)量的4倍。

師：既然這首兒歌怎么也唱不完，那如何用一句話來(lái)描述這首兒歌呢？

生6：100只青蛙的腿有400條。

生7：不論有幾只青蛙，都有青蛙數(shù)量4倍的腿。

生8：★只青蛙有“★×4”條腿。

師：這些表達(dá)方式帶給你們什么體驗(yàn)？

生9：我認(rèn)為用具體的數(shù)來(lái)描述不方便，生7的表達(dá)方法雖然能說(shuō)清楚青蛙與腿的關(guān)系，但文字較多，有點(diǎn)煩瑣。用★代表青蛙的數(shù)量，比較清晰，就是畫“★”這個(gè)符號(hào)需要花點(diǎn)時(shí)間。

師：思路很清晰，有沒(méi)有更便捷的方法來(lái)表示青蛙與青蛙腿的數(shù)量？

生10：可以借助字母來(lái)表示，比如a只青蛙，b條青蛙腿。

生11：可以用一個(gè)字母表示，比如a只青蛙，a×4條青蛙腿。

師：這兩位同學(xué)借助了字母來(lái)表示數(shù)，究竟用哪種方式更科學(xué)呢？

生12：第一種表達(dá)方式應(yīng)用了兩個(gè)字母來(lái)表示兩個(gè)不同的數(shù)，我們無(wú)法從這兩個(gè)字母中發(fā)現(xiàn)青蛙數(shù)量與腿數(shù)量的關(guān)系，因此這種方式不合理。

生13：第二種表達(dá)方式將青蛙與腿的數(shù)量關(guān)系描述清楚了，它明確了腿的數(shù)量為青蛙數(shù)量的4倍。

師：對(duì)于式子“a×4”，大家有沒(méi)有什么疑問(wèn)？

生14：a×4為一個(gè)算式，那么它的結(jié)論究竟是多少呢？

生15：a×4就是一個(gè)算式，可以用它來(lái)表示青蛙腿的數(shù)量嗎？因?yàn)榍嗤芡鹊臄?shù)量為一個(gè)數(shù)。

師：針對(duì)以上兩個(gè)問(wèn)題，誰(shuí)來(lái)解釋一下？

生16：a×4的結(jié)論究竟是多少，要看a的值，若a=1，a×4=1×4=4；若a=2，a×4=2×4=8；若a=100，a×4=100×4=400……在a不確定的情況下，結(jié)論也不確定，但式子a×4確實(shí)可以表示數(shù)。

（3）具象抽象思維轉(zhuǎn)換，深化概念理解

問(wèn)題能激發(fā)學(xué)生的潛能，讓學(xué)生充分發(fā)散思維，聯(lián)系生活實(shí)際說(shuō)一些可用a×4表達(dá)的內(nèi)容。這不僅為學(xué)生提供了表達(dá)的機(jī)會(huì)，更是培育學(xué)生發(fā)散思維與創(chuàng)新意識(shí)的過(guò)程。學(xué)生感知由具體到抽象，再?gòu)某橄蟮骄唧w的思路歷程，深化了對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解。

教學(xué)片段3

師：通過(guò)以上探索，大家都知道a×4可以表示數(shù)，除此之外，它還能表示什么呢？

生17：還能代表數(shù)量關(guān)系，因?yàn)閍×4中的a不論是多少，都代表了它的結(jié)論為a的4倍。

師：數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為數(shù)形結(jié)合是探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法，因?yàn)閿?shù)缺形時(shí)少直觀。如圖1，若字母a代表了一個(gè)數(shù)，我們可借助一條線段來(lái)表示該數(shù)，在此基礎(chǔ)上用另一條線段來(lái)描述a×4。由此，說(shuō)一說(shuō)你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生18：a的長(zhǎng)短決定了a×4的長(zhǎng)短，只要明確了a是多少，a×4就明確了。

生19：我發(fā)現(xiàn)a不論是多少，a×4恒定為a的4倍，這是一個(gè)不變的數(shù)量關(guān)系。

師：結(jié)合我們的生活實(shí)際，想一想a×4除了能表示兒歌中青蛙腿的數(shù)量，還能表示什么？

生20：比如每輛汽車都有4只輪子，那么a輛小汽車的輪子數(shù)量是多少呢？

生21：若a為正方形的邊長(zhǎng)，那么正方形的周長(zhǎng)就是a×4。

生22：若練習(xí)本的價(jià)格為a，a×4則代表了4冊(cè)練習(xí)本的價(jià)格。

師：非常好！實(shí)際生活中有很多情況可借助a×4這個(gè)式子來(lái)描述，大家所提出的生活現(xiàn)象存在什么共性的東西嗎？

生23：雖然a×4所表達(dá)的具體內(nèi)容不一樣，但是其中的數(shù)量關(guān)系卻一樣——均為4倍關(guān)系。

（4）多維度拓展練習(xí)，鞏固抽象認(rèn)知

數(shù)學(xué)是一門探索事物間數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，講究簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)美。教師要鼓勵(lì)學(xué)生自主分析不同式子是否可以簡(jiǎn)寫，促使其進(jìn)一步感知數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔美的重要性，這對(duì)提升學(xué)生的思維能力與理性精神具有重要意義。

教學(xué)片段4

師：在書寫含有字母的式子時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們記住字母與字母之間、字母與數(shù)之間的乘號(hào)都可以用“·”替代或省略不寫，數(shù)一般寫在字母的前面，比如a×4可用4a或4·a來(lái)表示。現(xiàn)在請(qǐng)大家分析，a×b、a×a、m×3、p+4可否簡(jiǎn)寫？該怎么寫？

學(xué)生一致提出：a×b可簡(jiǎn)寫為ab，a×a寫作a2，m×3簡(jiǎn)寫為3m，p+4屬于加法運(yùn)算，不可以簡(jiǎn)寫，含有字母的乘法式子才可省略運(yùn)算符號(hào)。

（5）運(yùn)用常見模型，引導(dǎo)數(shù)學(xué)表達(dá)

年齡是學(xué)生熟悉的素材，以此作為教學(xué)資源可增強(qiáng)學(xué)生的表達(dá)欲。關(guān)于年齡的數(shù)量關(guān)系屬于常用的數(shù)學(xué)模型，不論在哪一年，兩個(gè)人的年齡差是恒定不變的。以此作為教學(xué)素材，可進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，為培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

教學(xué)片段5

師：吳麗與李強(qiáng)在聊天，李強(qiáng)說(shuō)他今年9歲，吳麗表示自己比李強(qiáng)大2歲。聰明的你，能否用字母來(lái)描述今后任何一年吳麗的年齡？

生24：李強(qiáng)9歲時(shí)吳麗的年齡為9+2；李強(qiáng)10歲時(shí)，吳麗的年齡為10+2；若李強(qiáng)的年齡為a，那么吳麗的年齡就是a+2。

師：李強(qiáng)14歲時(shí)，吳麗幾歲？李強(qiáng)43歲時(shí)，吳麗的年齡是多少？

生24：根據(jù)a+2可知李強(qiáng)14歲時(shí)，吳麗的年齡是16歲；李強(qiáng)在43歲時(shí)，吳麗的年齡為45歲。

（6）引入數(shù)形結(jié)合，助力理解符號(hào)

線段圖的應(yīng)用可將數(shù)量關(guān)系直觀地展示給學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)量關(guān)系與式子的實(shí)際內(nèi)涵。隨著對(duì)線段圖的觀察與分析，學(xué)生在充分感知與理解符號(hào)的基礎(chǔ)上，能夠理解量之間“變”與“不變”的關(guān)系。

教學(xué)片段6

師：在這個(gè)年齡關(guān)系中，a的值有沒(méi)有可能為230？由此讓你想到什么？

生25：不能，因?yàn)槿撕茈y活到那個(gè)年齡。因此用字母表示數(shù)時(shí)，還要考慮實(shí)際情況，只有符合邏輯的表達(dá)方法才準(zhǔn)確。因此，在必要時(shí)要給字母限定范圍。

師：現(xiàn)在我們借助線段圖來(lái)感知兩名學(xué)生的年齡，用一條可伸縮的線段代表a，不論a的長(zhǎng)短是多少，均在這個(gè)數(shù)上“＋2”，進(jìn)一步確認(rèn)年齡差恒定不變的規(guī)律。

（7）暢談收獲感悟，深化數(shù)學(xué)表達(dá)

課堂總結(jié)是一節(jié)課的重要組成部分。數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)的情境中發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問(wèn)題，這是發(fā)展學(xué)生“四基與四能”的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感和深化表達(dá)能力的關(guān)鍵。

教學(xué)片段7

師：若吳麗的年齡用字母b來(lái)表示，那么兩個(gè)人之間的年齡數(shù)量關(guān)系該如何表示？

生26：根據(jù)情境條件可知吳麗比李強(qiáng)大2歲，反之則為李強(qiáng)比吳麗小2歲，由此可確定李強(qiáng)的年齡為b-2。

師：咱們一起探索了用字母或含有字母的式子來(lái)表示數(shù)的問(wèn)題，這種表示方法具有什么優(yōu)點(diǎn)？

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生的回答比較豐富，主要有如下幾類：這樣表示更簡(jiǎn)捷；用字母表示數(shù)不僅能清楚揭示數(shù)的意義，還能將數(shù)和數(shù)間的關(guān)系展示出來(lái)；一個(gè)明確的數(shù)只能描述一種情況，而字母可以表示一類數(shù)，范圍更廣……

師：既然用字母表示數(shù)存在那么多優(yōu)點(diǎn)，是不是就不需要阿拉伯?dāng)?shù)字了？

答案是否定的，在明確知道具體的數(shù)時(shí)，還是用明確的數(shù)來(lái)表示；若描述未知數(shù)或一類數(shù)，則需要借助字母來(lái)表示。因此，字母與阿拉伯?dāng)?shù)字缺一不可。

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，說(shuō)一說(shuō)你們的收獲與感悟，關(guān)于課堂伊始所提出的問(wèn)題有沒(méi)有得到解決？通過(guò)學(xué)習(xí)，你們還有什么疑惑嗎？

三、教學(xué)評(píng)價(jià)：經(jīng)由反建構(gòu)的數(shù)學(xué)場(chǎng)景表達(dá)

縱觀本節(jié)課，學(xué)生在課堂伊始自主提出問(wèn)題，隨著教學(xué)活動(dòng)的開展分析并解決了問(wèn)題。這種教學(xué)方式充分體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維螺旋式上升的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生在知識(shí)建構(gòu)和反建構(gòu)中帶著新問(wèn)題走出課堂，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。本節(jié)課體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的階段性特征以及學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力線性發(fā)展的過(guò)程，為后續(xù)研究其他問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。

下課前，筆者又一次展示了課堂伊始的問(wèn)題，此時(shí)，學(xué)生基本能夠準(zhǔn)確得出結(jié)論，且明白其原理與意義。由此可以看出學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的理解比較到位。

總之，符號(hào)意識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。教師應(yīng)努力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，深化其數(shù)學(xué)表達(dá)能力，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。