傅鵬

摘要：專題教學(xué)是一種以主題為中心、以問(wèn)題為導(dǎo)向的教學(xué)方法，其目的是通過(guò)對(duì)某一主題的全面深入學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果.在專題教學(xué)中，解題回顧是一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，它有助于學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)并糾正錯(cuò)誤、加深對(duì)解題思路和方法的理解.本文以八年級(jí)幾何教學(xué)為例，探索專題教學(xué)中解題回顧的實(shí)踐方法和效果.

關(guān)鍵詞：專題教學(xué)；解題回顧；實(shí)踐探索；幾何教學(xué)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）11-0011-03

專題教學(xué)是一種針對(duì)特定主題進(jìn)行深入學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，與傳統(tǒng)的零散知識(shí)點(diǎn)教學(xué)相比，它能夠幫助學(xué)生建立知識(shí)的整體框架，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)參與度[1].目前，很多教師認(rèn)為專題教學(xué)就是讓學(xué)生多練習(xí)題、多接觸不同的題型，因此現(xiàn)有的專題教學(xué)主要以題海戰(zhàn)術(shù)為主.但在這種模式下，學(xué)生只能機(jī)械化解題，“見樹木而不見森林”，不利于學(xué)生解題能力的提升.

1 解題回顧的含義

波利亞在他的著作《怎樣解題》中將解題過(guò)程分為四個(gè)階段：理解問(wèn)題意思、擬訂方案、執(zhí)行方案和回顧.其中回顧意為檢查完整的答案，重新審查結(jié)果及得出該結(jié)果的過(guò)程.解題回顧是解題過(guò)程中的重要環(huán)節(jié)，它是解題活動(dòng)中的“元認(rèn)知”.通過(guò)解題回顧，不僅可以發(fā)現(xiàn)解題活動(dòng)中的問(wèn)題，還可以弄清數(shù)學(xué)問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法.解題回顧的目的是幫助學(xué)生深入理解解題過(guò)程，發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤和不足之處，并從中獲取反饋和改進(jìn)的機(jī)會(huì).通過(guò)回顧，學(xué)生可以審查自己的解題思路和方法是否正確，是否符合問(wèn)題的要求，是否運(yùn)用了適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)和技巧.解題回顧是培養(yǎng)學(xué)生批判性思維和自主學(xué)習(xí)能力的重要環(huán)節(jié).通過(guò)反思和總結(jié)，學(xué)生可以不斷提高自己的解題能力和數(shù)學(xué)思維水平.

在幾何模塊，按照?qǐng)D形的結(jié)構(gòu)特征，可以分為不同的幾何模型.學(xué)生在平時(shí)的解題過(guò)程中，主要存在著以下幾個(gè)問(wèn)題：一是無(wú)法精準(zhǔn)識(shí)別幾何模型，即混淆不同的圖形，無(wú)法正確識(shí)別和分類不同的幾何模型；二是對(duì)模型的基本結(jié)論不夠熟悉，即缺乏對(duì)幾何模型基本結(jié)論的了解；三是對(duì)模型的處理方法不熟悉，即學(xué)生不知道如何構(gòu)造和操作幾何圖形，對(duì)不同幾何模型的處理方法不熟悉；四是對(duì)特定模型的解題方法只知其然而不知其所以然，即學(xué)生只知道特定模型的解題方法，但缺乏對(duì)其背后原理和推理過(guò)程的理解.

2 教學(xué)實(shí)踐

2.1 一題多變，融會(huì)貫通

一題多變中的“變”，意為“變式”，是指在某一特定的數(shù)學(xué)定理、模型或規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過(guò)改變條件、參數(shù)或數(shù)學(xué)情境，衍生出多個(gè)新的題目或問(wèn)題形式.無(wú)論題目如何變化，都需要去掉題目的表面修飾，緊抓本質(zhì).通過(guò)一題多變的方式，可以深入挖掘知識(shí)的內(nèi)涵和外延，幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí).

例1如圖1所示，∠DAE的兩邊上各有一點(diǎn)B、C，連接BC，求證：∠DBC+∠ECB=180°+∠A.

解析因?yàn)椤螪BC和∠ECB是△ABC的外角，所以∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC.又因?yàn)椤螦+∠ACB+∠ACB=180°，所以∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，以及三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵.

變式1如圖2所示，△ABC中，∠A=65°，直線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠BDE+∠CED=（）

A. 180°B.215° C. 235°D. 245°

解析因?yàn)椤螦=65°，所以∠ADE+∠AED=180°-65°=115°，所以∠BDE+∠CED=360°-115°=245°，故答案為D.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，與圖1相比，圖2略微復(fù)雜，但考查的知識(shí)點(diǎn)不變.

變式2如圖3所示，在△ABC中，∠C=70°，沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（）

A. 360° B. 250°C. 180° D. 140°

解析在△ABC中，因?yàn)椤螩=70°，所以∠A+∠B=180°-∠C =110°，所以∠1+∠2=360°-110°=250°，故選B.

點(diǎn)評(píng)本題由三角形的內(nèi)角和定理延伸到多邊形的內(nèi)角和定理.一方面，可利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠B=110°；另一方面，可考慮利用四邊形的內(nèi)角和為360°求解.與變式1相比，本題難度更進(jìn)一步.

變式3圖4是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3-∠2的度數(shù)為.

解析如圖4，因?yàn)椤?+∠4=180°，∠1=120°，所以∠4=60°.因?yàn)椤?=∠2+∠4，所以∠3-∠2=∠4=60°.

點(diǎn)評(píng)本題結(jié)合實(shí)際生活情境，主要考查三角形外角的性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí).

變式4如圖5所示，在△ABC中，∠B=58°，三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC=．

解析利用三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)易得∠AEC=60°，求解過(guò)程從略.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探索問(wèn)題的變式，可以幫助學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)概念和原理.例如，通過(guò)將問(wèn)題的條件稍作修改，或者將問(wèn)題中的一些數(shù)值進(jìn)行調(diào)整，可以引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題的本質(zhì)和關(guān)鍵點(diǎn).這種探索過(guò)程不僅可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，還可以培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力和創(chuàng)新思維.另外，數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)聯(lián)性知識(shí)，通過(guò)探索這些相關(guān)問(wèn)題，也可以幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

2.2 一題多解，開闊思路

一題多解是指在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，存在多種不同的解決方法或策略.在數(shù)學(xué)的專題教學(xué)中，一題多解可以幫助學(xué)生從不同的角度去思考和解決問(wèn)題，拓寬他們的思維方式和解題思路.不同的解法可以啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的多個(gè)解決路徑，激發(fā)他們的創(chuàng)造力和想象力.通過(guò)比較多個(gè)解法，學(xué)生可以更深入地理解問(wèn)題的本質(zhì)和要求.

例2如圖6所示，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)M是AD邊上不同于A、D的點(diǎn)，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn).若sin∠ABM=1010，求證：∠NMB=∠MBC.

證法1（構(gòu)造三角形）如圖7，MN的延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.設(shè)AM=1，因?yàn)閟in∠ABM=1010，所以AMBM=1010，則BM=10，所以AB=BM2-AM2=3.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以DM=AD-AM=2.因?yàn)镹為DC的中點(diǎn)，所以DN=CN=12DC=32.在Rt△DMN中，MN=MD2+DN2=52.又因?yàn)椤螹DN=∠NCP=90°，∠MND=∠PNC，所以△MDN≌△ECN，所以CP=DM=2，NP=MN=52，所以MP=MN+NP=5，BP=BC+CP=5，所以MP=BP，所以∠NMB=∠MBC.

證法2（構(gòu)造梯形）如圖8，作NQ∥MB交BC于點(diǎn)Q.證明過(guò)程從略.

證法3（轉(zhuǎn)移角構(gòu)造全等三角形）如圖9，作BH⊥MN于點(diǎn)H，連結(jié)BN.證明過(guò)程從略.

證法4（轉(zhuǎn)移角構(gòu)造相似三角形）如圖10，連結(jié)BN，作EN⊥MB于點(diǎn)E.證明過(guò)程從略.

證法5示意圖證法5（作中位線轉(zhuǎn)移角）如圖11，作NF∥BC交MB于點(diǎn)F.證明過(guò)程從略.

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，不要盲目追求解題數(shù)量，而應(yīng)該注重解題質(zhì)量.通過(guò)深入思考和精心解答一個(gè)問(wèn)題，可以更好地掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，提高學(xué)生的解題能力和思維深度.不同的解法，涉及不同的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法.通過(guò)比較不同的解法，學(xué)生可以更深入地理解數(shù)學(xué)概念和原理，培養(yǎng)知識(shí)系統(tǒng)性和關(guān)聯(lián)性.這種比較和分析不同解法的過(guò)程有助于學(xué)生形成更全面的數(shù)學(xué)思維，同時(shí)提高學(xué)生的解題技巧.在深入解答一個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的一些規(guī)律和特點(diǎn)，這有助于學(xué)生在解決類似問(wèn)題時(shí)能夠更快地找到突破口和解題思路.在“一題多解”過(guò)程中，學(xué)生會(huì)不斷地重復(fù)和運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶和理解，從而為更深層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3 結(jié)束語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，通過(guò)解題后的“回顧與反思”，可以將問(wèn)題從具體的情境中抽象出來(lái)，進(jìn)一步推廣引申.在推廣引申過(guò)程中，還可以發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的相似關(guān)系和相聯(lián)關(guān)系.通過(guò)比較不同問(wèn)題的解題方法和思路，可以發(fā)現(xiàn)它們之間的共同之處，進(jìn)而找到更一般性的解題方法或解題規(guī)律.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 許彬.源點(diǎn) 節(jié)點(diǎn) 生長(zhǎng)點(diǎn)：指向解題能力的專題復(fù)習(xí)課教學(xué)探析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（2）：58-61.

［責(zé)任編輯：李璟］