趙翠

摘要：數(shù)學(xué)學(xué)科具有較強(qiáng)的思維性與邏輯性，但初中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知水平有限，教材便將完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)打亂進(jìn)行重排.數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)單元教學(xué)內(nèi)容時(shí)，應(yīng)當(dāng)挖掘單元內(nèi)不同知識(shí)間的聯(lián)系，通過重新調(diào)整教學(xué)順序幫助學(xué)生將瑣碎的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，最終構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.文章以初中教材《平面直角坐標(biāo)系》單元為例，詳細(xì)介紹了如何基于知識(shí)結(jié)構(gòu)開展單元設(shè)計(jì)教學(xué)，在帶領(lǐng)學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，最終實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.

關(guān)鍵詞：知識(shí)結(jié)構(gòu)；初中數(shù)學(xué)；單元設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）11-0050-03

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，而是知識(shí)的吸收與再組織的過程，如果學(xué)生無(wú)法將學(xué)過的知識(shí)聯(lián)系起來，那么這些知識(shí)在腦海中就是一盤散沙，無(wú)法學(xué)以致用.教材中知識(shí)的排版順序雖然能夠幫助學(xué)生快速掌握知識(shí)要點(diǎn)，卻不利于學(xué)生站在宏觀角度思考知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)[1].因此，初中數(shù)學(xué)教師需要基于知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行單元教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)做到“瞻前顧后”，將單元內(nèi)細(xì)碎的知識(shí)要點(diǎn)串聯(lián)起來，最終匯總為系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

1 “平面直角坐標(biāo)系”單元設(shè)計(jì)

要想帶領(lǐng)學(xué)生透徹理解平面直角坐標(biāo)系的內(nèi)涵，首先需要了解平面直角坐標(biāo)系是由什么構(gòu)成的.教材中指出，平面直角坐標(biāo)系是由兩條互相垂直的數(shù)軸組成，且這兩條數(shù)軸在原點(diǎn)處重合.因此，平面直角坐標(biāo)系的教學(xué)講解與數(shù)軸是分不開的.筆者認(rèn)為，可從六個(gè)方面為學(xué)生講解平面直角坐標(biāo)系與數(shù)軸之間的聯(lián)系：一是基本概念的講解；二是兩點(diǎn)之間的距離與其中點(diǎn)的坐標(biāo)；三是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)之間存在什么坐標(biāo)特征；四是數(shù)軸上的點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題；五是如何運(yùn)用數(shù)軸以及坐標(biāo)系解決實(shí)際問題；六是基于知識(shí)結(jié)構(gòu)的數(shù)軸與平面直角坐標(biāo)系總結(jié).

1.1 基本概念的講解

為了能夠準(zhǔn)確表示一條直線上的某一個(gè)點(diǎn)的位置，我們引出了數(shù)軸.教師可以借助生活情境進(jìn)行教學(xué)，具體如例1.在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層分析，如何精準(zhǔn)表達(dá)某一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)的位置，此時(shí)引出何為平面直角坐標(biāo)系，具體如例2.

例1假設(shè)某一中學(xué)門外有一條南北向的馬路，在大門往南8 m處種著一棵楊樹，在大門往南5 m處種著一棵柳樹，而在大門往北4 m處種著一棵蘋果樹，在大門往北6 m處安裝了一根電線桿，請(qǐng)大家在紙上繪制出上述情境.

例2在上面的分析中我們已經(jīng)可以使用數(shù)軸表示一條直線上某一個(gè)點(diǎn)的位置，那么請(qǐng)大家思考如何確定一個(gè)平面上某一個(gè)點(diǎn)的位置.

教學(xué)意圖：數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系的概念都是在精準(zhǔn)確定某一點(diǎn)位置的基礎(chǔ)上提出的，前者為一維空間——直線，后者為二維空間——平面.

1.2 兩點(diǎn)之間的距離與其中點(diǎn)的坐標(biāo)

1.2.1 兩點(diǎn)之間的距離

要想確定數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)的距離，可以將這兩個(gè)點(diǎn)的位置分別表示為a與b，那么它們之間的距離為|a-b|.

要想確定平面坐標(biāo)上兩個(gè)點(diǎn)的距離，我們可以將這兩個(gè)點(diǎn)的位置表示為（x1，y1）及（x2，y2），此時(shí)它們間的距離有三種情況：

情況一：如果兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，即x1=x2，那么距離為|y1-y2|；

情況二：如果兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即y1=y2，那么距離為|x1-x2|；

情況三：如果兩個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都不相同，那么距離為（x1-x2）2+（y1-y2）2.

教學(xué)意圖：無(wú)論是數(shù)軸還是平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)，學(xué)生都需要掌握兩點(diǎn)距離的計(jì)算方式[2].如果平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)點(diǎn)連成的直線能夠與x軸或者y軸平行，那么我們就可以將其簡(jiǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的算法.如果這兩個(gè)點(diǎn)連成的直線與x軸或者y軸不存在平行關(guān)系，那么學(xué)生就可以使用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

1.2.2 中點(diǎn)的坐標(biāo)

例3設(shè)數(shù)軸上存在一條線段AB，點(diǎn)C是該線段的中點(diǎn)，請(qǐng)大家計(jì)算出不同線段的中點(diǎn)位置，見表1.在計(jì)算完成后，請(qǐng)大家推理出數(shù)軸上線段中點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式.

例4設(shè)平面坐標(biāo)系中存在八個(gè)點(diǎn)，我們將其位置表示為：A（-1，-1），B（3，3），C（1，1），D（1，4），E（-3，3），F(xiàn)（-1，1），G（5，-1），H（3，-2），I（3，2），J（1，-2），求CG，BE，DJ，HI，F(xiàn)F的中點(diǎn)坐標(biāo).在完成后思考：線段兩點(diǎn)的坐標(biāo)與中點(diǎn)坐標(biāo)間存在什么關(guān)系？

教學(xué)意圖：學(xué)生在學(xué)習(xí)完成數(shù)軸上線段中點(diǎn)的位置表示方式后，就可以根據(jù)這一規(guī)律來類比坐標(biāo)系線中段中點(diǎn)位置的表示方式.

1.3 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)之間的坐標(biāo)特征

例5已知的平面直角坐標(biāo)系如下圖1所示，當(dāng)△ABC經(jīng)過變換后可以得到△PQR，請(qǐng)寫出不同點(diǎn)的坐標(biāo)：A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，P點(diǎn)坐標(biāo)為，Q點(diǎn)坐標(biāo)為，R點(diǎn)坐標(biāo)為.完成后請(qǐng)觀察A點(diǎn)與P點(diǎn)、B點(diǎn)與Q點(diǎn)、C點(diǎn)與R點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)之間存在什么關(guān)系，并總結(jié)出一般規(guī)律.

教學(xué)意圖：學(xué)生在本環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)明白，當(dāng)坐標(biāo)系中某一點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b）時(shí)，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a，-b），即兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù).

1.4 數(shù)軸上的點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

例6設(shè)某一數(shù)軸上存在兩個(gè)點(diǎn)A與B，其位置分別為-8和9.動(dòng)點(diǎn)P將從點(diǎn)B開始以每秒兩個(gè)單位的速度向負(fù)方向移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q將從點(diǎn)A開始以每秒一個(gè)單位的速度向正方向移動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)了t秒后，請(qǐng)寫出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P與Q的位置.

例7坐標(biāo)系內(nèi)存在一點(diǎn)A，其坐標(biāo)為（8，-3）.將點(diǎn)A先沿y軸向上移動(dòng)4個(gè)單位，得到點(diǎn)B，該點(diǎn)的坐標(biāo)為多少？若將點(diǎn)A先沿x軸向右移動(dòng)4個(gè)單位，得到點(diǎn)C，該點(diǎn)的坐標(biāo)為多少？請(qǐng)觀察點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)，你能發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律？

教學(xué)意圖：學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律與坐標(biāo)內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律是相似的.

1.5 運(yùn)用數(shù)軸以及坐標(biāo)系解決實(shí)際問題

例8某市的貨運(yùn)車司機(jī)王師傅在某一天上午一直行駛在南北走向的公路上，如果我們將朝南的方向設(shè)為正方向，朝北的方向設(shè)為負(fù)方向，那么王師傅這一段時(shí)間的位置變化為（單位為km）：-4，-1，+5，-7，+10，-3，+13，當(dāng)王師傅將最后一件貨物送完后，終點(diǎn)距離最開始的距離有多遠(yuǎn)，終點(diǎn)在出發(fā)點(diǎn)的哪個(gè)方向上？

例9在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6，BC=4，以AB邊所在的直線為x軸，A點(diǎn)原點(diǎn)，AD邊所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.請(qǐng)根據(jù)以上信息寫出長(zhǎng)方形四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)位置.如果改變平面直角坐標(biāo)系，那么這四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)又會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

教學(xué)意圖：當(dāng)面對(duì)生活問題時(shí)，很多學(xué)生難以將關(guān)鍵信息運(yùn)用起來，此時(shí)我們可以構(gòu)建數(shù)軸以及坐標(biāo)系來刻畫某一點(diǎn)的位置，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.

2 基于知識(shí)結(jié)構(gòu)開展單元教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐思考

《平面直角坐標(biāo)系》這一單元的內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要，學(xué)生在后續(xù)的知識(shí)學(xué)習(xí)中還使用坐標(biāo)系作為解題工具，教師應(yīng)當(dāng)深度挖掘教材內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層分析[3].然而《平面直角坐標(biāo)系》單元的內(nèi)容較為零散，如何有效運(yùn)用知識(shí)結(jié)構(gòu)開展單元教學(xué)設(shè)計(jì)，這是一個(gè)值得深思的問題.

2.1 如何講解單元知識(shí)

課堂中教師需要做好知識(shí)銜接的準(zhǔn)備，先為學(xué)生講解數(shù)軸知識(shí)，并以此為基礎(chǔ)展開坐標(biāo)系模塊的教學(xué).該過程應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)軸與坐標(biāo)系知識(shí)間的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生更加系統(tǒng)地理解平面直角坐標(biāo)系.例如，教師在為學(xué)生講解如何計(jì)算“坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離”時(shí)，切不可直接將推導(dǎo)過程展示給學(xué)生，而是應(yīng)當(dāng)啟發(fā)學(xué)生對(duì)“數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離”的計(jì)算方式進(jìn)行深度思考，并以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)出平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離計(jì)算方式.這一教學(xué)方法不僅可以提升學(xué)生的自主探究力，更是能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解.

2.2 如何引導(dǎo)學(xué)生思考

當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)完成數(shù)軸知識(shí)內(nèi)容后，教師需要將此作為教學(xué)基礎(chǔ)開展后續(xù)的平面直角坐標(biāo)系教學(xué)，該方式可以讓學(xué)生面對(duì)新知識(shí)時(shí)不再犯怵，而是可以主動(dòng)運(yùn)用數(shù)軸規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo).由此看來，基于知識(shí)結(jié)構(gòu)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)并不是簡(jiǎn)單的知識(shí)堆砌，其可以幫助學(xué)生將瑣碎的知識(shí)點(diǎn)匯集起來，最終成為一個(gè)整體.當(dāng)學(xué)生能夠理解數(shù)軸與平面直角坐標(biāo)系之間的聯(lián)系時(shí)，就能夠?qū)崿F(xiàn)一維至二維的飛躍，數(shù)學(xué)思維得到不斷完善.

2.3 如何開展后續(xù)學(xué)習(xí)

當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)完成數(shù)軸以及平面直角坐標(biāo)系的內(nèi)容后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：我們?nèi)绾伪硎灸骋粋€(gè)點(diǎn)在三維空間中的位置呢？該擴(kuò)展性問題可以讓學(xué)生對(duì)空間直角坐標(biāo)系產(chǎn)生基本的認(rèn)知.基于之前的知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以很快根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的概念推理出空間直角坐標(biāo)系的概念，并參照教師課堂中的教學(xué)流程，通過合作學(xué)習(xí)的方式分析空間內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)的距離的計(jì)算公式、空間內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的線段的中點(diǎn)位置表示方式及運(yùn)用空間直角坐標(biāo)系解決實(shí)際問題.

3 結(jié)束語(yǔ)

通過上述的分析能夠發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用知識(shí)結(jié)構(gòu)開展單元設(shè)計(jì)能夠很好地解決以往教學(xué)中知識(shí)割裂的狀態(tài).該教育理念認(rèn)為初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生探究不同知識(shí)要點(diǎn)間的關(guān)聯(lián).因此，數(shù)學(xué)教師必須熟悉教材中不同單元知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，并通過清晰明了的單元設(shè)計(jì)方案引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)體系及邏輯結(jié)構(gòu).實(shí)踐表明，基于知識(shí)結(jié)構(gòu)的單元設(shè)計(jì)能夠有效提升初中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中完成知識(shí)的遷移，最終形成完善的核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[3] 王志海.淺析初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的基本策略[J].新課程，2022（34）：122-123.

［責(zé)任編輯：李璟］