王錚　孔令德

［摘 要］計算幾何是一門代數(shù)、幾何和計算機技術(shù)相融合的計算機類專業(yè)課，以研究曲線曲面建模為主要內(nèi)容。傳統(tǒng)計算幾何課程內(nèi)容偏數(shù)學(xué)理論，教學(xué)方法比較單一，而且缺乏豐富的教學(xué)資源，導(dǎo)致課程難教難學(xué)。針對這一狀況，結(jié)合應(yīng)用型本科高校辦學(xué)定位中對學(xué)生能力培養(yǎng)的要求，文章提出通過重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容、改革教學(xué)方法和建設(shè)課程資源等，加強對學(xué)生實踐能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生的綜合能力。

［關(guān)鍵詞］計算幾何；應(yīng)用性；課程改革；教學(xué)內(nèi)容；教學(xué)方法；教學(xué)資源

［中圖分類號］G642.0［文獻標(biāo)識碼］A［文章編號］2095-3437（2024）04-0053-05

自20世紀(jì)40年代計算機出現(xiàn)后，很多復(fù)雜的幾何問題都可以借助計算機來解決，這促進了計算幾何學(xué)科的誕生。計算幾何主要研究如何繪制物體的三維線框模型，是對物體的形狀信息進行計算機表示、分析與綜合，由函數(shù)逼近論、微分幾何、代數(shù)幾何、數(shù)值分析和計算機科學(xué)組成的一門交叉學(xué)科。

在國外許多知名大學(xué)中，計算幾何課程面向高年級本科生和研究生開設(shè)，而國內(nèi)在本科階段開設(shè)該課程的高校寥寥無幾，大多是在相關(guān)專業(yè)的研究生階段開設(shè)。實際上，計算幾何在計算機圖形學(xué)、機器人學(xué)、地理信息系統(tǒng)、計算機視覺和計算生物學(xué)等領(lǐng)域都有著重要的作用。特別是近年來，美國對我國尖端技術(shù)惡意打壓和限制，能否攻克“卡脖子”技術(shù)難關(guān)，對我國科技自主發(fā)展有重要的意義。計算幾何對我國計算機建模技術(shù)的發(fā)展有著重要的作用，因此在本科階段開設(shè)本課程有著比較現(xiàn)實的意義。本課程可以培養(yǎng)學(xué)生自由曲線曲面建模和3D實體造型等方面的能力，為學(xué)生畢業(yè)后從事虛擬現(xiàn)實、游戲開發(fā)、仿真技術(shù)、科學(xué)計算可視化和計算機輔助設(shè)計與制造等領(lǐng)域的建模工作打下良好的基礎(chǔ)。

一、存在的問題

計算幾何涉及多個學(xué)科知識的綜合應(yīng)用，教與學(xué)都有一定的難度[1]。筆者所在的學(xué)校是應(yīng)用型本科院校，以培養(yǎng)學(xué)生的知識技能應(yīng)用能力為主要目標(biāo)，學(xué)生的學(xué)習(xí)起點較低、能力較弱。課程組在參考其他院校本課程的開設(shè)方法時，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法對學(xué)生的綜合能力要求較高，而教學(xué)資源的缺乏容易讓學(xué)生對課程知識的學(xué)習(xí)望而卻步。

（一）課程內(nèi)容難

計算幾何主要的研究內(nèi)容是幾何形體的數(shù)學(xué)描述和計算機表述，涉及大量的數(shù)學(xué)理論。無論是本科階段還是研究生階段，在開設(shè)本課程的高校中，教學(xué)重點大多是計算幾何知識中蘊含的數(shù)學(xué)理論知識，偏重算法的推導(dǎo)和證明，不強調(diào)算法的實現(xiàn)過程。純理論的課程內(nèi)容，使得學(xué)生學(xué)習(xí)時不容易理解，更難以加以運用，學(xué)習(xí)之后感覺云里霧里，不知所以。

（二）教學(xué)方式單一

在傳統(tǒng)教學(xué)方法中，教學(xué)的主體是教師，教師根據(jù)教學(xué)大綱制定授課計劃，按照授課計劃按部就班講授課程。而計算幾何課程本身較難，在傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生的參與程度不高、積極性不高、興趣不濃，教學(xué)效果一般。

（三）考核方法單一

計算幾何課程傳統(tǒng)考核方式以筆試為主，通過客觀題和程序填空題等考查學(xué)生對理論知識的掌握程度，對編程能力要求不高，難以衡量學(xué)生的編程能力和算法設(shè)計及實現(xiàn)能力，難以很好地體現(xiàn)教學(xué)效果。

（四）缺少教學(xué)資源

在課程本身難度較高、學(xué)生基礎(chǔ)較差的情況下，為學(xué)生提供多種類型的教學(xué)資源以方便學(xué)生課上、課下學(xué)習(xí)，對提升學(xué)生的學(xué)習(xí)動力、增強學(xué)習(xí)效果有重要的作用。而目前國內(nèi)計算幾何課程公開的教學(xué)資源有限，科學(xué)合理地建設(shè)課程資源，對幫助學(xué)生學(xué)習(xí)非常重要。

二、問題解決方法

針對計算幾何課程教學(xué)中存在的問題，課程組在多年的一線教學(xué)實踐過程中不斷探索，針對性地提出了問題解決方法，顯著提升了教學(xué)效果。

（一）優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

計算幾何覆蓋的知識面很廣，為了適應(yīng)本科教學(xué)，教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計應(yīng)該符合應(yīng)用型教學(xué)的特點，以提高學(xué)生的實踐能力為主要目的。

課程組經(jīng)過探索，針對應(yīng)用型本科院校的學(xué)情，提出了“把握主線，重在實現(xiàn)”的教學(xué)思路，摒棄了傳統(tǒng)教學(xué)中重理論輕實踐、重數(shù)學(xué)輕代碼的特點，在教學(xué)內(nèi)容方面既把握課程主線，覆蓋課程內(nèi)容的基本原理，又兼顧培養(yǎng)學(xué)生的編程實踐能力，選擇合適的、經(jīng)典的案例，以便學(xué)生能更好地理解和實現(xiàn)算法。

在課程教學(xué)中，主要講解曲線曲面建模的方法，包括Bezier曲線曲面、B樣條曲線曲面、NURBS曲線曲面等內(nèi)容，并且給出了具體的編程實現(xiàn)方法，有助于提高學(xué)生的編程實踐能力。

此外，為了使教學(xué)內(nèi)容與社會實際需求接軌，課程組將學(xué)科前沿知識、企業(yè)實際項目和教學(xué)內(nèi)容進行了有機結(jié)合，將企業(yè)項目案例中3D建模和實體打印等內(nèi)容穿插在教學(xué)過程中，為學(xué)生畢業(yè)后從事虛擬現(xiàn)實、游戲開發(fā)、仿真技術(shù)、科學(xué)計算可視化和計算機輔助設(shè)計與制造等領(lǐng)域的建模工作打下良好的基礎(chǔ)。

（二）改革教學(xué)手段和方法

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，教師在上課時，可以使用豐富多樣的輔助教學(xué)手段，以提升教學(xué)效率。此外，采取科學(xué)合理的教學(xué)方法對激發(fā)學(xué)生興趣、提升教學(xué)效果也有著重要的作用。采用好的教學(xué)方法和手段，可以收到事半功倍的效果。

1.改革教學(xué)手段

課程組在授課時充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)，以學(xué)習(xí)通為主要的在線教學(xué)工具，同時使用QQ和微信等軟件輔助教學(xué)。

（1）課前預(yù)習(xí)

在學(xué)習(xí)通發(fā)布教學(xué)資源和課前預(yù)習(xí)任務(wù)，提出預(yù)習(xí)問題。

（2）課上學(xué)習(xí)

根據(jù)學(xué)生上傳的答案檢驗預(yù)習(xí)效果，并且使用學(xué)習(xí)通組織課堂簽到、搶答和討論等活動，輔助課堂教學(xué)。

（3）課后拓展

課堂結(jié)束后，在學(xué)習(xí)通發(fā)布課后拓展案例，組織學(xué)生以個人或者小組等形式完成拓展案例，并且上傳和展示結(jié)果，學(xué)生之間互評后教師進行總結(jié)。

2.改革教學(xué)方法

為了提升教學(xué)效果，課程組經(jīng)過探索和實踐，采用“運行案例，講解原理，翻轉(zhuǎn)討論，以賽促學(xué)”的教學(xué)模式，通過案例化、翻轉(zhuǎn)課堂等方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，指導(dǎo)學(xué)生積極參加相關(guān)比賽、申報軟件著作權(quán)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合實踐能力。

（1）案例化教學(xué)

無論是醫(yī)學(xué)圖像還是航空航天設(shè)備，都需要由計算機事先經(jīng)過精密計算建立三維幾何模型，之后再進行工業(yè)化生產(chǎn)[2]。案例化教學(xué)可以讓學(xué)生了解課程知識的應(yīng)用價值。以學(xué)科經(jīng)典案例和企業(yè)實際項目為載體呈現(xiàn)課程知識點，先引入案例、提出問題，分析和提煉其中需要用到的具體知識，之后再講解原理，把抽象理論的學(xué)習(xí)具體化到實際案例中，可以取得較好的教學(xué)效果。

將課堂時間按照1∶1的比例一分為二，在結(jié)合案例講解算法原理、分析程序代碼之后，要求學(xué)生課內(nèi)討論并且進行編程實踐訓(xùn)練，教師進行輔導(dǎo)，將理論知識和實踐操作有機結(jié)合。

（2）翻轉(zhuǎn)課堂

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者。翻轉(zhuǎn)課堂可以營造良好的課堂氛圍，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力[3]。課程組秉持以學(xué)生為中心的理念，指導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)的全過程。在課程教學(xué)中，提前給學(xué)生布置任務(wù)，課堂上組織學(xué)生通過小組討論總結(jié)各自的方法和觀點，之后由學(xué)生登臺闡述自己小組的討論過程和結(jié)論。通過這樣的方法，加深學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解，培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力、團隊合作能力和表達能力。

此外，課程組還指導(dǎo)學(xué)生參與微課視頻的錄制。在錄制視頻時，學(xué)生以學(xué)習(xí)者的視角，提出、分析和解決問題，最終編程實現(xiàn)算法案例。相比從教師視角制作的微課，從學(xué)生視角制作的微課更有利于學(xué)生理解和掌握課程知識。

（3）以賽促學(xué)

在課程教學(xué)基礎(chǔ)上，課程組堅持“以賽促學(xué)，以賽促教”，通過比賽檢驗教學(xué)效果，促進課程建設(shè)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。課程組每年都會指導(dǎo)學(xué)生參加多種相關(guān)國家級和省級比賽，并且積極申請軟件著作權(quán)，通過這些措施，促進學(xué)生對專業(yè)知識的應(yīng)用和創(chuàng)新[4]，提升學(xué)生的綜合素質(zhì)和應(yīng)用能力，讓學(xué)生認識到課程的重要性和實際應(yīng)用價值，體現(xiàn)實踐教學(xué)與綜合實踐素質(zhì)培養(yǎng)的效果[5]。

（4）人文培養(yǎng)

人文精神培育有利于理工科大學(xué)生的全面發(fā)展和綜合素質(zhì)提升[6]。在授課中，課程組引入我國悠久的茶文化歷史，把我國的紫砂壺作為課程參照物進行數(shù)字化建模，既傳授了專業(yè)知識，又讓學(xué)生了解了我國的傳統(tǒng)文化，培養(yǎng)了學(xué)生的人文情懷，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（三）改革評價方法

本課程注重過程考核，通過線上、線下兩方面來進行。學(xué)生的綜合成績 = 平時考核成績×40% + 大作業(yè)考核成績×60%。

平時考核即結(jié)合出勤率、課前預(yù)習(xí)、課堂參與和課后拓展等情況進行評價。其中，出勤率、課前預(yù)習(xí)和課后拓展考核由學(xué)習(xí)通軟件輔助完成，課堂參與情況考核在課堂上完成。

大作業(yè)考核由三部分組成，具體包括：期中實踐考核，考查學(xué)生綜合運用前半學(xué)期所學(xué)知識進行實踐操作的能力，包括相對復(fù)雜的案例的開發(fā)、現(xiàn)場運行和答辯等環(huán)節(jié)；期末實踐考核，考查學(xué)生的綜合實踐能力，要求學(xué)生利用課程知識，編程開發(fā)完成一個比較復(fù)雜的案例，并且通過現(xiàn)場運行和答辯的方式來展現(xiàn)，最后提交開發(fā)報告；期末在線測試，在學(xué)習(xí)通上錄入試題并且組織學(xué)生在線完成考試，主要考查學(xué)生對基本理論知識和主要算法原理的掌握情況。

（四）建設(shè)課程資源

教學(xué)資源是知識的載體，課程組建設(shè)了計算幾何課程“四位一體”課程資源。

1.編寫了計算幾何教材

課程組編寫了計算幾何教材（見圖1），教材以培養(yǎng)學(xué)生實現(xiàn)算法的能力為主，對于主要知識點，都給出了具體的編程實現(xiàn)方法，有助于提高學(xué)生的編程能力。

2.錄制了課程教學(xué)視頻

課程組錄制了20個知識點的微課教學(xué)視頻頁，這些視頻覆蓋了課程的主要教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生可以利用這些微課自主學(xué)習(xí)，對提高教學(xué)效果起到了積極的作用[7]。

3.開發(fā)了課程案例資源庫

案例是理論知識的總結(jié)和應(yīng)用。通過學(xué)習(xí)案例，學(xué)生可以深入理解其理論原理，同時提升編程實踐能力。案例要圍繞課程內(nèi)容，由淺入深，選擇經(jīng)典的例子，提供盡量多的調(diào)用接口，以便學(xué)生直接調(diào)用開發(fā)或者深入研究內(nèi)部代碼，并且最終要呈現(xiàn)出可視化的運行結(jié)果。

課程組開發(fā)了42個案例的完整源代碼資源配合課程教學(xué)，這些資源包含課程主要算法的實現(xiàn)以及拓展方法。

4.3D打印，輸出成果

計算幾何課程內(nèi)容的抽象性使其難以被學(xué)生理解和應(yīng)用。課程組在編程開發(fā)可視化的案例資源庫的同時，還使用3D打印機制作出多個3D實物教學(xué)模型（見圖2），實現(xiàn)“所見即所得”，使學(xué)生切身經(jīng)歷了理論知識在經(jīng)過編程建模可視化之后再輸出為產(chǎn)品的過程，了解了課程知識的實際應(yīng)用場景，掌握了理論轉(zhuǎn)換為實際應(yīng)用的方法。

三、取得的成果

自筆者所在學(xué)校2017年開設(shè)計算幾何課程以來，課程組一直致力于對課程教學(xué)的研究與改革。筆者所在學(xué)校的計算幾何課程于2021年被山西省教育廳認定為“山西省一流課程”，在教學(xué)改革研究與探索中，主要取得了以下成果。

（一）構(gòu)建了計算幾何課程能力體系

通過與以虛擬現(xiàn)實仿真技術(shù)為核心的合作單位——北京朗迪鋒科技有限公司進行校企合作，根據(jù)企業(yè)對人才知識與能力的要求，設(shè)計了課程教學(xué)的總體目標(biāo)、知識目標(biāo)和能力素質(zhì)目標(biāo)，根據(jù)能力素質(zhì)目標(biāo)確定知識點，將知識點組合成任務(wù)模塊，按照任務(wù)給出可視化實踐模型，完成課程能力體系的構(gòu)建。

（二）提出了“理論講解—編程實踐—實物輸出”的三步教學(xué)方法

本課程的教學(xué)分三步走：線上線下相結(jié)合的理論學(xué)習(xí)—編程建立物體的幾何模型—3D打印物體的實物模型。這個過程不僅有助于加深學(xué)生對理論知識的理解，而且明顯提高了學(xué)生的編程實踐能力，更重要的是，可以讓學(xué)生親眼看到、親身體驗自己的學(xué)習(xí)成果轉(zhuǎn)化為實際應(yīng)用的過程，體現(xiàn)了“學(xué)以致用”的教學(xué)目標(biāo)。

（三）學(xué)生參加比賽、申請軟件著作權(quán)成果豐碩

經(jīng)過幾年的努力，課程組指導(dǎo)的學(xué)生在中國“互聯(lián)網(wǎng)+”大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)大賽、中國大學(xué)生計算機設(shè)計大賽等比賽中獲獎多項，申報國家級、省級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目多項，獲得軟件著作權(quán)多項。

四、評價及推廣

（一）學(xué)生評價

學(xué)生學(xué)習(xí)本課程后，表示“案例化的教學(xué)方法使得我們在學(xué)習(xí)課程時，了解到課程知識的實際應(yīng)用價值，有了更明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)；課堂上的編程實踐極大地提高了大家的編程能力，避免了理論和實踐脫離的情況”。

（二）同行評價

校外高校同行使用課程組編著的教材和探索的教學(xué)方法講授課程之后，反饋：“孔令德教授編著的《計算幾何算法與實現(xiàn)》教材在講解基本算法原理的基礎(chǔ)上，更加注重算法的實現(xiàn)方法，有助于學(xué)生理解理論知識和提高編程能力，受到了學(xué)生的歡迎?！?/p>

蘇州大學(xué)的王平老師認為，計算幾何是一門難教難學(xué)的課程，傳統(tǒng)的教學(xué)方法偏重講解數(shù)學(xué)理論知識，不易理解，而課程組編寫的教材更加注重編程實踐能力的培養(yǎng)，提升了教學(xué)效果。

（三）企業(yè)評價

北京朗迪鋒科技有限公司反饋：“孔令德教授教學(xué)團隊培養(yǎng)的學(xué)生綜合素質(zhì)很高，業(yè)務(wù)能力強，不僅具備扎實的算法理論基礎(chǔ)，而且具有很強的綜合實踐能力，在企業(yè)中可以擔(dān)當(dāng)重任、獨當(dāng)一面?！?/p>

（四）資源推廣

經(jīng)電子工業(yè)出版社統(tǒng)計，全國有多所高校使用了課程組編寫的計算幾何教材，課程組通過新媒體平臺把課程的所有資源分享給使用該教材的教師授課使用，得到了廣泛好評。

五、結(jié)語

計算幾何是一門涉及多學(xué)科融合的計算機類專業(yè)課程，課程知識在我國圖形建模相關(guān)領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，對學(xué)生就業(yè)有一定的幫助。課程教學(xué)有一定的難度，課程組從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等方面進行了改革探索與實踐，建設(shè)了豐富的課程資源，取得了較好的教學(xué)效果，為在本科階段開設(shè)本課程提供了一定的借鑒，為應(yīng)用型本科院校計算機類專業(yè)課程教學(xué)改革提供了參考。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 孔令德.應(yīng)用型本科計算幾何課程建設(shè)的探索與實踐[J].計算機教育，2018（5）：147-150.

[2] 李學(xué)，閆素旺.案例化教學(xué)在計算機機械制圖教學(xué)中的應(yīng)用[J].鑄造，2022，71（3）：390.

[3] 趙麗，張慧.基于ITIAS的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)行為及效果分析[J].中國大學(xué)教學(xué)，2022（11）：87-95.

[4] 單瑞霞，賈森，張麗華.基于“以賽促教、以賽促學(xué)”的應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式探索[J].裝備制造技術(shù)，2023（4）：288-290.

[5] 李志博，侯雪梅，張儉鴿，等.基于學(xué)科競賽的實踐知識體系構(gòu)建與學(xué)生綜合素質(zhì)培養(yǎng)[J].計算機教育，2023（2）：49-53.

[6] 韓佩. 理工科大學(xué)生人文精神培育研究[D].哈爾濱：哈爾濱理工大學(xué)，2017.

[7] 康鳳娥，孔令德.微課在“計算幾何算法與實現(xiàn)”課程教學(xué)中的應(yīng)用[J].實驗技術(shù)與管理，2019，36（7）：151-154.

［責(zé)任編輯：周侯辰］