曹志飛

［摘 ?要］ 在小學(xué)階段，習(xí)題變式是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，它需要學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)造力，靈活解決變式問題是學(xué)生學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn)。文章以幾道小學(xué)習(xí)題為例，對變式教學(xué)進(jìn)行初步研究，旨在創(chuàng)新變式教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)和發(fā)展其高階思維，最終提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 習(xí)題變式；數(shù)學(xué)思維；深度學(xué)習(xí)；高階思維

“習(xí)題變式”是指對于某種習(xí)題，通過不斷更改問題的情境或者思維的角度，在保證習(xí)題本質(zhì)特征不變的情況下，習(xí)題的非本質(zhì)特征不斷變化。習(xí)題變式對學(xué)生的思維能力以及應(yīng)變能力等方面提出了較高的要求。因此，采取何種措施來更好地實(shí)施“變式教學(xué)”顯得意義重大。本文提出幾種常見的教學(xué)策略，有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中窺探“變”的模式及規(guī)律，打通知識脈絡(luò)，發(fā)展學(xué)生思維，穩(wěn)步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

一、直接變式，熟知解題方法

在變式教學(xué)中，“夯實(shí)基礎(chǔ)”和“循序漸進(jìn)”是第一要義。因此，引入簡單、基礎(chǔ)的直接變式是最關(guān)鍵的第一步，直接變式是對于同一類型題目解題方法與技巧的習(xí)得。直接變式可以分為形式變式與可逆變式兩種［１］，形式變式可以分為情境變式、數(shù)據(jù)變式以及兩種方法結(jié)合的變式。當(dāng)然，不論何種形式的直接變式，其目的都是讓學(xué)生加深對各種典型習(xí)題的理解，熟知解題思路與方法。

比如，教師可以進(jìn)行針對性的習(xí)題變式訓(xùn)練：學(xué)校的體育館要添置一批新的籃球和足球，其中籃球有20個(gè)，足球有30個(gè)，已知籃球和足球的單價(jià)分別為80元和60元，一共需要花多少錢？

第一種是“情境變式”。教師可以將“體育館”改成“圖書館”，“籃球”以及“足球”則可以變成任意兩種書的書名。在實(shí)際解題中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種形式的變式不會對題目的解法及結(jié)果產(chǎn)生本質(zhì)上的影響，反而能在不斷的變式訓(xùn)練中從本質(zhì)上理解“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”這一公式。

第二種是“數(shù)據(jù)變式”?！斑\(yùn)算錯(cuò)誤”常常是大多數(shù)學(xué)生的通病，因此，在學(xué)生能大致掌握解題套路而又出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤的情況時(shí)，教師可對原題的數(shù)據(jù)進(jìn)行改動，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固與提升計(jì)算水平。

第三種是“綜合變式”。在這種變式中，如果教師只是進(jìn)行“1+1=2”式的變式，即純粹地對上述兩種方法進(jìn)行堆疊，則意義不大。為了能起到“1+1＞2”的效果，教師可將題目改為：小汽車與客車分別從A地與B地同時(shí)相向而行，小汽車每小時(shí)行駛80千米，客車每小時(shí)行駛70千米，5小時(shí)后相遇，兩地相距多少千米？可以看出，在改變情境后，學(xué)生需要用到“速度×?xí)r間=路程”這一公式。雖說改變了公式，但從本質(zhì)上講，總價(jià)公式與路程公式屬于同一認(rèn)知層面、同一結(jié)構(gòu)以及同一難度的兩個(gè)公式。如此一來，學(xué)生便能對這種同一類型的題目有更為全面的認(rèn)知，同時(shí)也能起到鍛煉計(jì)算能力的作用，取得“1+1＞2”的教學(xué)效果。

第四種是“可逆變式”。教師可以將原題變?yōu)椋簩W(xué)校的體育館花費(fèi)3400元購買了20個(gè)籃球和30個(gè)足球，已知籃球的單價(jià)為80元，足球的單價(jià)是多少？在這種變式下，原來的總價(jià)變成了條件，原來的單價(jià)則變成了結(jié)論。在實(shí)際教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，只要學(xué)生明白了此題考查的是單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)之間的關(guān)系，通過逆向思考，便能順利地解決問題。總之，所有形式的直接變式都是較為基礎(chǔ)和簡單的，是學(xué)生必須要掌握的。當(dāng)然，對于教師而言，引導(dǎo)學(xué)生把握題目的結(jié)構(gòu)與本質(zhì)，這是最核心的東西。這樣一來，無論題目的情境、數(shù)據(jù)、條件以及結(jié)論如何變化，學(xué)生都能熟知解題方法，掌握數(shù)學(xué)思想。

二、間接變式，提升思維能力

如果說直接變式是一種橫向的、同一水平層面的變式，那么間接變式則是一種縱向的、垂直層面的變式［２］。通俗地講，間接變式可以將一個(gè)問題變得復(fù)雜且富有層次性，解題時(shí)學(xué)生需要對題中的各種條件抽絲剝繭，最終撥開問題的迷霧來解決問題。同樣地，間接變式可以分為拓展變式和對比變式。當(dāng)然，無論是何種形式的間接變式，其宗旨都是為了提升學(xué)生的邏輯思維能力和判斷能力，從而逐步增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力。

比如，教師對習(xí)題進(jìn)行間接變式處理：超市新進(jìn)了一批牛奶和餅干，共500千克，已知牛奶的數(shù)量為40箱，每箱重量為10千克；餅干的數(shù)量為25箱，則每箱餅干的重量為多少？

第一種是“條件的拓展”，教師可以對原題中的一些直接條件進(jìn)行間接化的處理，將題中的“餅干的數(shù)量為25箱”這一條件改為“餅干的數(shù)量要比牛奶的數(shù)量一半多5箱”?？梢钥闯觯@種變式方法對于原題中“餅干的數(shù)量”這一直接給出的量設(shè)置了障礙，學(xué)生需要根據(jù)牛奶的數(shù)量來求出餅干數(shù)量。在這種變式下，學(xué)生只要能在熟知解題方法的基礎(chǔ)上，學(xué)會多思考一步，審清題意，搞清邏輯，題目便可迎刃而解。

第二種是“問題的變化”，教師可以改變原題的情境與問法，比如將題目改為“超市原本計(jì)劃上半年賣出660箱牛奶，但實(shí)際上每個(gè)月多賣出22箱，則實(shí)際上多少個(gè)月完成了銷售目標(biāo)”。在此題中，“數(shù)量×月份=總數(shù)量”這一公式依然是解決問題的關(guān)鍵，但不同于原題中的直來直去，學(xué)生無法像原題那樣單憑數(shù)量等式去機(jī)械式地解決問題。此時(shí)，學(xué)生需要積極思考，去發(fā)現(xiàn)“每個(gè)月賣出的牛奶數(shù)量在增長”這一關(guān)鍵信息。如此一來，學(xué)生便能根據(jù)關(guān)鍵信息去思考“實(shí)際每個(gè)月牛奶的銷售數(shù)量”，繼而依據(jù)題中條件得出“實(shí)際每個(gè)月牛奶的銷售數(shù)量為132箱”，最終解決問題。

第三種是“對比變式”，教師可以在不改變題目結(jié)構(gòu)和情境的基礎(chǔ)上，對原題的運(yùn)算方法進(jìn)行改變，將原題改為“超市新進(jìn)了一批總重量不超過480千克的牛奶和餅干，已知牛奶的數(shù)量為40箱，每箱重量為10千克；一盒餅干的重量為7千克，則餅干的箱數(shù)是多少”？可以明顯看出，該變式題在運(yùn)算方法上對學(xué)生提出了不同的要求，學(xué)生在計(jì)算完“480-40×10=80千克”后，需要利用“余數(shù)”來解決問題，這是在原題中沒有體現(xiàn)的內(nèi)容。

總之，在間接變式下，習(xí)題會以另外一種面貌呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，題中的信息變得更加復(fù)雜，但題目的本質(zhì)并未發(fā)生改變，學(xué)生只需要積極調(diào)動自己的思維，充分地思考，那么所有的間接變式問題都能輕而易舉地解決。

三、開放變式，提升創(chuàng)新能力

創(chuàng)新能力作為小學(xué)數(shù)學(xué)十大核心素養(yǎng)之一，對于小學(xué)生的成長具有至關(guān)重要的作用。因此，在練習(xí)題的選擇上，教師可以進(jìn)行針對性的變式訓(xùn)練，來更好地幫助學(xué)生提升創(chuàng)新能力。通過研究發(fā)現(xiàn)，相比于封閉式習(xí)題，開放式習(xí)題更能有效鍛煉學(xué)生思維能力以及提升創(chuàng)新能力。教師應(yīng)給予學(xué)生更多接觸開放式習(xí)題的機(jī)會，讓學(xué)生思維不斷活躍，促使他們不斷提升創(chuàng)新能力。

比如，教材中常常出現(xiàn)如下習(xí)題：已知有一塊長為6米、寬為4米的長方形園地，現(xiàn)要畫出一塊長為4米、寬為2米的區(qū)域來種植樹木（如圖1），則該區(qū)域的面積為多少？占整個(gè)長方形園地的幾分之幾？可以看出，這是一道非常簡單的分?jǐn)?shù)類題目，適合學(xué)生初期學(xué)習(xí)，但并不能起到提升學(xué)生創(chuàng)新能力的作用。對此，教師不妨將此題目進(jìn)行開放式處理，將原題改為：已知有一塊長為6米、寬為4米的長方形園地，現(xiàn)需要在該園地上開辟一塊區(qū)域來種植樹木，要求此區(qū)域的面積是園地面積的一半，該如何設(shè)計(jì)？在實(shí)際教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，“沿著長方形橫向或者縱向進(jìn)行對半畫線”是學(xué)生能快速想到的一種方法。除此之外，學(xué)生則一籌莫展。此時(shí)，教師可以進(jìn)行點(diǎn)撥：“難不成只有將圖形一分為二這一種方法嗎？”經(jīng)過思考，有的學(xué)生指出：“可以將長方形分為偶數(shù)個(gè)大小相同的小圖形，然后取出其中的一半?！痹趯?shí)際操作中，有的學(xué)生沿著長方形的縱向等距地畫出3條線段，從而得到4個(gè)大小相同的小長方形，最終挑選其中的2塊區(qū)域作為種樹區(qū)域；有的學(xué)生“依葫蘆畫瓢”，沿著長方形的橫向等距地畫出3條線段，也得到4個(gè)大小相等的小長方形。這時(shí)，教師需要繼續(xù)引導(dǎo)：“在這些方法中，不是單純地用豎線，就是純粹地使用橫線，大家有沒有其他想法呢？”通過質(zhì)疑，有的學(xué)生想到了將橫線與豎線融合的方法，把長方形沿著縱向和橫向等距地各畫出1條線段，從而得到4個(gè)大小相等的圖形，最終選取其中的2塊區(qū)域即可（如圖2）。

隨著越來越多方法的出現(xiàn)，不斷激發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維；同時(shí)，可以驚喜地發(fā)現(xiàn)，有學(xué)生將三角形的知識融入此問題的解決思路中（如圖3所示）?？傊?，在實(shí)際教學(xué)過程中，教師要經(jīng)常設(shè)計(jì)一些開放式的習(xí)題，幫助學(xué)生突破思維定式，讓學(xué)生大膽地提出自己內(nèi)心的奇特想法，鼓勵(lì)學(xué)生“天馬行空”地想象［３］。時(shí)間長了，學(xué)生高階思維能力的養(yǎng)成以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)也將瓜熟蒂落、水到渠成。

四、綜合變式，發(fā)展綜合素養(yǎng)

小學(xué)數(shù)學(xué)知識本身的內(nèi)在聯(lián)系是緊密的，是一個(gè)不可割裂的整體。因此，這就要求學(xué)生必須擁有掌控知識全局的能力。同時(shí)，從習(xí)題設(shè)計(jì)的角度來說，如果學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)新的知識點(diǎn)，那么在練習(xí)的時(shí)候，教師不能總是單一地呈現(xiàn)和該知識點(diǎn)相關(guān)的習(xí)題，而應(yīng)該在習(xí)題中有效融入一些與新知識點(diǎn)相關(guān)的知識與內(nèi)容。這樣一來，學(xué)生既能熟練地掌握新知識，又能及時(shí)地鞏固舊知識，并且還能知曉兩者之間的聯(lián)系，真正起到融會貫通的良好效果，從而提升自身的綜合素養(yǎng)。

比如習(xí)題：現(xiàn)有一個(gè)用籬笆圍成的長方形菜園，已知菜園的長為6米，寬比長少2米，則長方形菜園的面積是多少？顯而易見，這是一道非常常規(guī)的“已知邊長求面積”類問題，只能承擔(dān)夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)的作用，起不到提升學(xué)生綜合能力的效果。對此，教師可將原題改為：用一根長為24米的籬笆圍出一個(gè)長方形菜地，同時(shí)要求圍成的菜地盡可能大，那么長與寬分別是多少？此時(shí)長方形菜地的面積是多少？可以看出，此題既考查了學(xué)生對于周長的理解，也體現(xiàn)了學(xué)生對于面積的應(yīng)用，甚至還包含了分類討論的思想。在實(shí)際練習(xí)中可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生雖然能從題目中讀出“長方形的周長是24米”這一重要信息，但不能很好地利用“圍成的菜地盡可能大”這一條件。這時(shí)，教師便可稍加引導(dǎo)，讓學(xué)生知曉要根據(jù)周長來羅列出大小不同的長方形，最后得到面積最大的長方形。依據(jù)這個(gè)思路，學(xué)生羅列出“長為11米，寬為1米”“長為10米，寬為2米”等長方形，最終發(fā)現(xiàn)“長為6米，寬為6米”的正方形的面積最大。此時(shí)，教師可以根據(jù)習(xí)題的答案延伸問題：“答案所得的是什么圖形？如果籬笆的長為48米或60米，那么菜地的面積最大是多少？此時(shí)又是什么圖形？”學(xué)生帶著這些疑問，利用分類討論的思想，成功地得到了“在周長不變的情況下，圍成的正方形的面積大于所有的長方形的面積”這一結(jié)論?？梢园l(fā)現(xiàn)，在單一的習(xí)題變得綜合化后，學(xué)生需要考慮的問題變多了，用到的知識更廣了。可以預(yù)見的是，經(jīng)過長期練習(xí)，學(xué)生必將能熟練地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識，最終提升自我的綜合能力。

總之，習(xí)題變式具有重要意義，其核心就是為了提升學(xué)生的創(chuàng)新能力和思維能力，最終更好地發(fā)展學(xué)生的素養(yǎng)。同時(shí)，變式題的數(shù)量不在多而在優(yōu)，教師一定要遵循學(xué)生的心理特點(diǎn)，依據(jù)適度性原則設(shè)計(jì)出層次分明的變式題，讓學(xué)生在循序漸進(jìn)的過程中獲得更好的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 施翠琴. 小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決中的變式教學(xué)研究［Ｊ］. 寧波大學(xué)，２０１３.

［２］ 李強(qiáng). 小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)課變式教學(xué)存在的問題及策略研究［Ｊ］. 寧波大學(xué)，２０１８.

［３］ 馬啟健. 高階思維發(fā)展下中低年級習(xí)題變式的策略探究［Ｊ］. 教師，２０２１（０９）：４６－４７.