殷素文

［摘 ?要］ 文章以棋子移動(dòng)為例，把生活中貌似復(fù)雜錯(cuò)亂的圖形變化題，用數(shù)組模型的方法進(jìn)行解答，使之既有序又簡(jiǎn)約，更好地體現(xiàn)用數(shù)學(xué)模型解題的高效性和優(yōu)越性，從而培養(yǎng)、激發(fā)學(xué)生的模型意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)模型；數(shù)組；轉(zhuǎn)化

小學(xué)數(shù)學(xué)蘇教版五年級(jí)下冊(cè)“解決問題的策略”把兩種典型的數(shù)列求和問題運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略進(jìn)行教學(xué)，即把等差數(shù)列轉(zhuǎn)化成梯形，把等比數(shù)列（比值是0.5）轉(zhuǎn)化成正方形。這兩種轉(zhuǎn)化的策略是由數(shù)到圖的典型應(yīng)用，屬于計(jì)算技巧的類別?，F(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到由文字表達(dá)或圖形呈現(xiàn)出的問題，探尋這些問題背后的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)由圖到數(shù)的思維提升，可以助力學(xué)生更高效地解決問題。

一、網(wǎng)絡(luò)小視頻，問題在身邊

網(wǎng)絡(luò)小視頻有一道題：如圖1（1），請(qǐng)?jiān)?0秒內(nèi)，只移動(dòng)3顆棋子，使圖形變成倒三角形。解題圖示見圖1（2）。

很多網(wǎng)友挑戰(zhàn)失敗，在解題過程中棋子既有上移又有下移，容易干擾思維。當(dāng)多次刷到這個(gè)視頻時(shí)，筆者逐漸產(chǎn)生以下想法：

①這只是一道簡(jiǎn)單的棋子移動(dòng)問題嗎？可不可以用數(shù)學(xué)方法來解決？

②最少只需要移動(dòng)3顆棋子嗎？

③如果是一個(gè)5層、6層以及更多層結(jié)構(gòu)的三角形，最少需要移動(dòng)多少顆棋子？

④這種研究方法對(duì)于其他圖形有沒有通用性？

帶著這樣的問題，筆者開始了“移拼倒三角形”背后的數(shù)學(xué)模型的探究。

二、過程再還原，有序更清晰

《福爾摩斯探案》是受青少年喜愛的偵探小說之一，當(dāng)案件偵破遇到困難的時(shí)候，探員便使用“現(xiàn)場(chǎng)還原”技法進(jìn)行案件偵破，并屢試不爽。“重回”案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)，有助于從源頭剖析案件各要素特點(diǎn)、邏輯關(guān)系以及推測(cè)事件進(jìn)展的可能性［１］。同樣，在研究“移拼倒三角形”過程中，筆者以網(wǎng)絡(luò)視頻中的4層結(jié)構(gòu)三角形為例，還原移拼過程，以利于觀察其中的變化規(guī)律，抽絲剝繭，進(jìn)而提煉問題背后的數(shù)學(xué)方法。

因?yàn)檠芯啃枰苿?dòng)的最少棋子數(shù)，就一定存在不需要移動(dòng)的最大棋子數(shù)，也就是移動(dòng)前與移動(dòng)后的兩個(gè)三角形存在最大的重疊棋子數(shù)，這樣就只需要觀察兩個(gè)三角形可能存在的不同位置情況，并結(jié)合這些情況，用合理的數(shù)學(xué)模型來研究棋子的移動(dòng)情況，這樣研究起來就要理性、快捷得多。

圖2中，用實(shí)心圓表示原來的三角形，用空心圓表示移動(dòng)后的倒三角形。兩個(gè)三角形先用棋子數(shù)為4的2層重疊，然后倒三角形逐層上移，直至棋子數(shù)為1的2層重疊。兩個(gè)三角形的重疊部分表示不需要移動(dòng)的棋子，剩下的實(shí)心圓數(shù)量就是需要移動(dòng)的棋子數(shù)量。圖2（1）到圖2（7）中重疊部分的棋子數(shù)分別為4、6、7、6、4、2、1顆，則需要移動(dòng)的棋子數(shù)分別為6、4、3、4、6、8、9顆。不難發(fā)現(xiàn)，圖2（3）中重疊棋子數(shù)最多，同時(shí)也是需要移動(dòng)棋子數(shù)最少的，只需要移動(dòng)3顆棋子。圖形分析到這里好像已經(jīng)找到了最少移動(dòng)棋子的方法，但這種方法無疑會(huì)消耗學(xué)生較多的時(shí)間和精力，雖簡(jiǎn)單但無趣。

三、數(shù)組作模型，簡(jiǎn)易又形象

《孫子算經(jīng)》認(rèn)為數(shù)學(xué)是天地萬物最根本的東西?，F(xiàn)代社會(huì)的一切信息都可以用“數(shù)字化”來表示和加工，推動(dòng)現(xiàn)代社會(huì)進(jìn)步的也是一系列的數(shù)據(jù)計(jì)算［２］。那么“移拼倒三角形”問題必然可以用數(shù)學(xué)的方法來探究背后的奧秘。

根據(jù)三角形棋子的空間形式和數(shù)量關(guān)系，可以把移動(dòng)前的三角形棋子分布抽象得出數(shù)組，移拼后的倒三角形也可以表示為數(shù)組，接下來只要研究?jī)蓚€(gè)數(shù)組在重疊層數(shù)不同的情況下，重疊的棋子數(shù)及需要移動(dòng)的棋子數(shù)，問題就簡(jiǎn)單多了。圖2的7種情況可以用7個(gè)新的數(shù)組來表示（如圖3）：

圖3中每個(gè)新數(shù)組的左列數(shù)據(jù)表示原來的三角形棋子，右列表示移拼后的倒三角形棋子。當(dāng)同一行中兩列數(shù)據(jù)都出現(xiàn)，說明兩個(gè)三角形有重疊的部分，重疊數(shù)的大小取兩個(gè)數(shù)據(jù)中的較小數(shù)。同一行中，當(dāng)左列數(shù)據(jù)比右列數(shù)據(jù)大，說明多出的棋子數(shù)就是原三角形需要移動(dòng)的棋子數(shù)。如圖3（1）中第一、二、三行（從上往下數(shù)，下同）左列數(shù)據(jù)比右列大，需要移動(dòng)的棋子數(shù)就是：1+2+3=6（顆），圖3（5）中，第四、五行左列數(shù)據(jù)比右列大，需要移動(dòng)的棋子數(shù)就是：3-1+4=6（顆）。這樣一來，研究“移拼倒三角形”問題就轉(zhuǎn)化成兩個(gè)數(shù)組在重疊層數(shù)不同的情況下，同一行中左列數(shù)據(jù)大于右列數(shù)據(jù)的情況，再進(jìn)行求和，這樣，思維效率就提高了很多。

從圖3中可以得出：4層結(jié)構(gòu)的三角形移拼成倒三角形，當(dāng)重疊層數(shù)為3時(shí)，需要移動(dòng)的棋子數(shù)是：1+4-2=3（顆），最少。因?yàn)閺膱D3（5）開始，同一行中左列數(shù)據(jù)大于右列數(shù)據(jù)是增加趨勢(shì)。因此，在圖3中，分析4層結(jié)構(gòu)的“移拼倒三角形”問題，當(dāng)重疊層數(shù)達(dá)到4層時(shí)，后面的情況可以排除，不再分析。

接下來用數(shù)組模型研究5層結(jié)構(gòu)的“移拼倒三角形”問題中出現(xiàn)的情況及最少移動(dòng)棋子數(shù)。

從圖4（3）可以得到，需要移動(dòng)的棋子數(shù)為：1+2+5-3=5（顆），圖4（4）中需要移動(dòng)的棋子數(shù)為：1+4-3+5-2=5（顆），結(jié)合圖形可以確定，這兩種方法都是移動(dòng)棋子數(shù)最少的，棋子的實(shí)際分布情況如圖4（6）和圖4（7），數(shù)組模型的結(jié)論符合實(shí)際情況。

四、數(shù)據(jù)重整合，效率再提高

數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)之一是可以進(jìn)行算法優(yōu)化，即在獲取新的知識(shí)或技能后，可以重新組織已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)使之不斷改善自身的性能，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)模型的優(yōu)化重建。

為了更快地探究不同重疊層數(shù)時(shí)需要移動(dòng)的棋子數(shù)，對(duì)圖4（1）到圖4（5）的數(shù)組進(jìn)行重建。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，可以將左邊的數(shù)列看作是固定的，將右邊的數(shù)列看作是自下而上的移動(dòng)，把不同情況的右列數(shù)合并在同一數(shù)組中，得到圖5。

圖5中帶圓圈的數(shù)字表示通過計(jì)算后需要移動(dòng)的棋子數(shù)，用這種數(shù)組重建的簡(jiǎn)化方法把求解的效率提高了很多。這種用數(shù)組的方法解答“移拼倒三角形”問題很容易推廣到6層、7層等結(jié)構(gòu)的三角形。

五、由數(shù)回到圖，呈現(xiàn)方完美

從上面的數(shù)組分析，可以快速得到原三角形與倒三角形存在的重疊層數(shù)，以及需要移動(dòng)的棋子數(shù)。筆者以圖4（4）的情況為例，示范由數(shù)組回到圖形，給出最終移動(dòng)棋子的方法。

圖6（1）是兩個(gè)三角形的數(shù)組模型。在原來的三角形圖6（2）中，首先，根據(jù)同一行中左列數(shù)據(jù)比右列數(shù)據(jù)小，說明左列該行棋子不要移動(dòng)的原理，圈出圖6（3）中的上面第2、3層；其次，根據(jù)右列數(shù)據(jù)比左列數(shù)據(jù)小，說明右列該行只要這幾顆棋子，且盡量居中，呈逐步收縮狀排布，圈出圖6（3）中的下面2層；第三，根據(jù)最終倒三角形棋子的排布，補(bǔ)充出倒三角形需要的棋子，如圖6（4）中的空白圓圈；最后，對(duì)照原三角形多出的棋子和倒三角形需要補(bǔ)充的棋子，進(jìn)行移動(dòng)，最終得出移拼的結(jié)果，如圖6（5）。

至此，用數(shù)組模型解決“移拼倒三角形”問題已全景呈現(xiàn)，這種應(yīng)用是對(duì)圖形中數(shù)據(jù)的抽象與提煉，是圖形到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化。

六、追根溯源，問題背后的問題

在探究“移拼倒三角形”問題的時(shí)候，通過逆向推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)決定最少移動(dòng)棋子數(shù)的關(guān)鍵變量是兩個(gè)三角形的重疊層數(shù)，即重疊層數(shù)決定重疊的棋子數(shù)，重疊的棋子數(shù)決定需要移動(dòng)的棋子數(shù)。雖然重疊層數(shù)是一個(gè)變量，總存在著一個(gè)重疊層數(shù)，可以導(dǎo)出最少的移動(dòng)棋子數(shù)，但圖4（6）和圖4（7）的情況又與這一結(jié)論相悖，因此這一問題的背后一定關(guān)聯(lián)著一個(gè)更深或暫且未知的問題。

聯(lián)想到正弦函數(shù)圖象及函數(shù)極值相關(guān)的內(nèi)容，圖4（6）和圖4（7）的重疊層數(shù)相等，說明這兩種情況應(yīng)該是極值兩端的某個(gè)相等值，就像圖2（2）與圖2（4）或圖2（1）與圖2（5）。難道5層結(jié)構(gòu)的三角形重疊層數(shù)應(yīng)為3.5（或?yàn)槠渌?shù)）層？但三角形棋子分布中，3.5層就是中間的空格地帶。

仔細(xì)推敲一下，人們平時(shí)表述的三角形是一個(gè)密鋪的圖形，中間不存在空域。三角形棋子分布只是完整三角形的抽象表達(dá)，這樣一來整個(gè)問題就清晰了：三角形棋子是被局限于整數(shù)的原三角形的抽象表達(dá)，“移拼倒三角形”問題的原型是兩個(gè)三角形的最大重疊面積問題。最大重疊面積導(dǎo)致非重疊面積最小，最大重疊面積又是由某個(gè)重疊高度所決定，只不過這個(gè)重疊高度在一般三角形里表現(xiàn)為唯一值，在三角形棋子中可以表現(xiàn)為這個(gè)重疊高度的兩個(gè)相鄰整數(shù)。至此，“移拼倒三角形”問題完成了“認(rèn)祖歸宗”。

當(dāng)然，如果設(shè)定參數(shù)，用方程或通過編程的方式也能解決倒三角形的移拼問題，在小學(xué)階段暫且探究到這個(gè)程度。用數(shù)組模型解決“移拼倒三角形”問題的重要性在于：這種思維方式能夠培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察身邊事物的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)模型解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 宗曉榮. 試析小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)模型思想的融入［Ｊ］. 天津教育，２０２０（１１）：１７６－１７７.

［２］ 柯黎青. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入模型思想的探討［Ｊ］. 考試周刊，２０１９（１３）：８９.