張玥琳

【摘要】在高中物理問題中有一類題目其中的物理量并不是恒定的量，它們在一定的時間中或者是一定的狀態(tài)下連續(xù)的變化.這一類問題常常作為壓軸題來考查，學生在“恒定量”的思維慣性下常常找不到解題的思路.解答此類問題最常用的方法就是微元法，本文結合幾道例題談談如何利用微元法解答高中物理問題.

【關鍵詞】高中物理；微元法；恒定量

微元法的內涵就是將所要研究的物體或者運動過程分割成無限小塊，而在這無限小塊內，物理量可以看做是恒定的.這時就可以先利用已學知識計算這一小塊內所求物理量的大小，之后再綜合起來，即可求得總的大小，得到問題的答案，這就是微元法的解題思路.下面用三個典型例題闡述微元法的應用.

類型1 時間元

對于物理量隨時間連續(xù)變化的問題，一般利用微元法來構造出時間元，在每一小段時間內對物理過程進行研究.

例1 草原上有一只羊被狼追逐，羊以恒定的速度v1沿著直線AB逃跑，狼則以恒定的速率v2追擊，狼的速度方向始終對準著羊.已知在某一時刻羊在草原上的F處，狼在草原上的D處，且FD⊥AB，如圖1所示，求出此時狼的加速度大小.

解 雖然狼在做勻速率運動，但是FD⊥AB，其速度的方向在不斷的變化，因此其加速度方向也在不斷的變化.

從所求的時刻開始的一段很小的時間（Δt→0）內，結合圖2，狼的運動軌跡可近似看做是一段圓?。ㄆ浔举|上是一條條很小的線段，但是因為Δt→0，就可以看做是圓弧，此處運用了微元法）.

設圓弧的半徑為R，則可得狼的加速度a=v22R.在Δt時間內，設羊和狼分別到達了點F′和D′，則此時狼的速度方向轉過的角度Δθ=v2ΔtR，而羊在這段時間里跑過的距離是v1Δt=LΔθ.

聯(lián)立上述兩式可得v2ΔtR=v1ΔtL，故可得R=v2v1L，所以代入公式a=v22R可得a=v1v2L.

評析 此題的解答過程與求解做勻速圓周運動的物體的向心加速度的過程相類似.將無數(shù)個很小的時間內的直線運動合成為圓弧運動是解答物理問題的一個常用方法，在解答此題時就可以轉化為圓周運動問題來求解.運用相關的公式，代入即可解得物理量的大小.

類型2 質量元

對于質量連續(xù)變化的問題，微元法的使用對象是微小的質量元.并且由于此質量元很小，其它物理效應可以忽略，所以可以看成質點來研究.

例2 某糧店為了方便顧客買米，購買了一個自動稱米機，如圖3所示.但是細心的顧客認為在稱米的過程中容器底部會受到米流落下來所帶來的沖力的影響，導致實際的米量與稱上的數(shù)值并不相同；而賣家則反對，并認為當顧客所需的米量滿足時，仍然有一部分米在空中下落，并沒有對稱造成影響，這些米相當于送給了顧客.雙方因為這個問題爭執(zhí)不下，那么哪一方才是正確的呢？

解 設米的流量恒定為Q，米流在出口處的速度可以看做是零，不計空氣阻力.

自動稱米機能夠在出口處立即切斷米流，使其不再下落.若切斷后，裝米的容器內的米的總質量為m1，正在空氣中下落的米的質量為m2，設落到容器內米堆上的一小部分米的質量為Δm.

在Δt時間內可知Δm=QΔt.以Δm為研究對象，設其落到米堆上之前的速度大小為v，經過Δt時間，其變?yōu)殪o止狀態(tài).如圖4所示，Δm受到兩個力的作用，即其本身的重力Δmg和米堆對其的支持力F.

對此過程使用動量定理可得：（F－Δmg）Δt=Δmv，

即F=ΔmΔtv+Δmg=Qv+QgΔt.

設米在空中運動的時間為t，則m2=Qt，v=gt，故Qv=m2g，F(xiàn)=m2g+Δmg.

設F′為反作用力，根據(jù)牛頓第三定律，則稱米機的讀數(shù)應為：

M=Ng=（m2g+F′）g=m1+m2+Δm.

可見，稱米機的讀數(shù)包含了容器中靜止的米的質量，也包含了剛落到容器中米的質量，還有在空中下落的米的質量，所以其讀數(shù)是準確的，雙方的說法都是錯誤的.

評析 由此題可以看出，將質量元看做是一個質點，同樣可以使用物理定律來研究其與其它物體的關系，之后再將質量元合成即可得到總質量與物體的關系.

類型3 電荷元

在電磁學中微元法將原本總的電荷變成多個連續(xù)分布的小電荷，或者是在電荷增加或者減小的連續(xù)變化過程中構造電荷元.

例3 空間內有一個帶正電的半徑為R的圓環(huán)，電荷量為Q，圓環(huán)的圓心為O.在通過O點與圓面垂直的直線上有一點A，距離O點為L，A點有一帶電荷量為q的點電荷，求該點電荷受到的電場力的大小.

解 直接分析圓環(huán)對點電荷的作用力大小不好分析，也無法求出圓環(huán)在點電荷處的電場，所以可以利用微元法將圓環(huán)分割成若干個點電荷q′，其總的電荷量為Q.

則q′=QN，由庫侖定律可以算得點電荷q′對點電荷q的電場力大小為F=kq′qr2=kQqN（L2+R2）.由于對稱性，庫侖力豎直方向上的分量相互抵消，所以圓環(huán)對點電荷q的電場力是庫侖力水平方向上分力的和.

設F與水平方向的夾角為θ，則

cosθ=LL2+R2，F(xiàn)合=kQqL（L2+R2）32.

評析 在將總的電荷量進行分割，從而將難以研究的電量載體分解為獨立的帶點質點來計算，大大簡化了解題的難度.

結語

上述三道例題從三種不同的方面介紹了微元法的應用情境：時間元，質量元，電荷元.除此之外，還有很多能夠使用微元法的題目，需要學生在平時的練習過程中多加總結，理解微元法的本質內涵，體會“以小見大”的物理思想.