劉小兵

摘 要：在研究物理問(wèn)題時(shí)，從對(duì)事物的極小部分（微元）分析入手，達(dá)到解決事物整體的方法，稱(chēng)為“微元法”。這是物理研究中非常重要的方法，在高考中屢屢出現(xiàn)，從應(yīng)用來(lái)看，可以分為選取微元作為研究對(duì)象、微元求導(dǎo)和微元求和等三個(gè)方面。本文歸納總結(jié)了“微元法”解題步驟，力圖通過(guò)最簡(jiǎn)單的例子和規(guī)范的解題過(guò)程引領(lǐng)示范，并且運(yùn)用各種圖象讓物理情景形象生動(dòng)地呈現(xiàn)，易于學(xué)生理解和提升。

關(guān)鍵詞：微元法；變力；變加速度；化變?yōu)楹?；化曲為?/p>

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2014）9（S）-0039-5

在處理和研究物理問(wèn)題時(shí)，將研究對(duì)象或物理過(guò)程進(jìn)行無(wú)限細(xì)分（化變?yōu)楹?、化曲為直），從其中抽取某一微小單元（研究?duì)象或研究過(guò)程）進(jìn)行研究，從而找到被研究對(duì)象或被研究過(guò)程遵循的物理規(guī)律，這種方法稱(chēng)為“微元法”。從對(duì)事物的極小部分（微元）分析入手，達(dá)到解決事物整體的方法。這是一種深刻的思維方法，化變?yōu)楹?，化曲為直，通過(guò)分割逼近，獲得“微元”，從而可以運(yùn)用中學(xué)階段的解題手段，再累加求和（或求商求導(dǎo)），最終達(dá)到了求解整體的目的。

人教版課本中多處涉及到了“微元思想”，由于散落在各冊(cè)教材中，學(xué)生印象比較模糊，因此在總復(fù)習(xí)專(zhuān)題復(fù)習(xí)時(shí)以“微型例題”形式總結(jié)。如推導(dǎo)v-t圖的面積表示位移、研究重力做功、推導(dǎo)向心加速度等，都用到了“微元法”。

微型例題1 試用“微元法”推導(dǎo)說(shuō)明v-t圖像的面積表示位移。

解析 第一步：如圖1， 在勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的v-t圖象中， 圖象與時(shí)間軸所圍的面積表示位移x=vt。

可以把整個(gè)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分成幾個(gè)比較小的時(shí)間段，把每一小段時(shí)間內(nèi)的勻變速運(yùn)動(dòng)粗略地看成是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（化變?yōu)楹悖?。然后把運(yùn)動(dòng)物體在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的位移（即小矩形的面積）都表示出來(lái)，最后求和，就得到了勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的總位移。

第二步：從圖2看出，矩形面積之和小于勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)在該段時(shí)間內(nèi)的位移。

第三步：選取的時(shí)間段Δt越小，各勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)位移和與勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)位移之間的差值就越小，如圖3。

當(dāng)Δt→0時(shí)，各矩形面積之和趨近于v-t圖象的面積。

第四步：如果把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程劃分得非常非常細(xì)（微元法），很多很小矩形的面積之和就能準(zhǔn)確代表物體的位移了，位移的大小等于如圖4所示的梯形的面積。

微型例題2 已知物體以O(shè)為圓心，R為半徑，做角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求物體的向心加速度的大小。

解析 如圖5所示，物體的運(yùn)動(dòng)速度由v1變到v2，速度變化為Δv=v2-v1（矢量差）。

可見(jiàn)，課本中的“微元法”“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”，并且不特別指明方法——“微元法”。我們?cè)诳倧?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該加以提煉和歸納，便于學(xué)生備考。本文分為三種題型：題型一、以“微元”為研究對(duì)象；題型二、微元求導(dǎo)；題型三、微元求和。

題型一、以“微元”為研究對(duì)象

1.選取質(zhì)量元△m

一旦我們遇到“質(zhì)量元”的時(shí)候規(guī)律都是相同的，我們可以將其分解為無(wú)數(shù)個(gè)微小的“質(zhì)量元”，我們選取其中之一作為研究對(duì)象，寫(xiě)出表達(dá)式就能使得問(wèn)題迎刃而解。

例1 如圖7所示，加速啟動(dòng)的火車(chē)車(chē)廂內(nèi)的一桶水，若已知水面與水平面之間的夾角為θ，則火車(chē)加速行駛的加速度為多大？

解析 我們需要從水面上提取所需的“水元”，其質(zhì)量為△m，其受力情況如圖7所示，合力F合=△mgtanθ， 根據(jù)牛頓第二定律可知F合=△ma，則a=gtanθ，方向與啟動(dòng)方向相同。

例2 證明，如圖8，建筑工地上的黃砂，無(wú)論怎樣堆，其錐角保持不變。假如圓錐的底周長(zhǎng)為l，高為h，求黃砂之間的動(dòng)摩擦因數(shù)（假設(shè)最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等）。

2.選取時(shí)間元Δt

例3 高壓采煤水槍出口的橫截面積為S，水的射速為v，水射到煤層上后速度變?yōu)榱?，若水的密度為ρ，試求水?duì)煤的沖擊力。

解析 如圖10所示，取很小的一小段時(shí)間Δt內(nèi)沖到煤層的一小段水柱為研究對(duì)象，設(shè)其質(zhì)量為Δm，則Δm=ρSvΔt。

3.選取電量元Δq

例4 如圖11所示，一個(gè)均勻的帶電圓環(huán)，帶電量為Q，半徑為R，圓心為O 點(diǎn)。通過(guò)O 點(diǎn)作垂直于圓環(huán)面的直線(xiàn)，在此線(xiàn)上取一點(diǎn)P，P到O的距離為R，則帶電圓環(huán)在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度多大？方向怎樣？

4.選取圓弧元ΔS

例5 如圖12所示，有一臺(tái)小型石磨，某人用大小恒為F，方向始終與磨桿垂直的力推磨。假設(shè)施力點(diǎn)到固定轉(zhuǎn)軸的距離為L(zhǎng)，在使磨轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，推力做了多少功？

解析 由于力F方向不斷變化，因此是一個(gè)變力做功問(wèn)題，如果將推力作用點(diǎn)的軌跡分成無(wú)限多小段ΔS1、ΔS2、ΔS3…，每一段曲線(xiàn)近似為直線(xiàn)，力F的方向也近似與這一小段的軌跡重合，則每小段均可看作恒力做功過(guò)程。

運(yùn)用恒力作功的計(jì)算式求出各小段推力做的功W1=FΔS1，W2=FΔS2，W3=FΔS3，…。則轉(zhuǎn)動(dòng)一周過(guò)程中推力做的功W=W1+W2+W3+…=F∑ΔS=2πFL。

題型二、微元求導(dǎo)

例6 （2012年江蘇高考）一只皮球豎直向上拋出，皮球運(yùn)動(dòng)時(shí)受到空氣阻力的大小與速度的大小成正比。圖13的4個(gè)選項(xiàng)描繪了皮球在上升過(guò)程中加速度大小a與時(shí)間t關(guān)系的圖象，可能正確的是（ ）

題型三、微元求和

對(duì)于變力作用的物理過(guò)程，有時(shí)用能量無(wú)法求解。此時(shí)可以考慮用“微元法求和”。其基本思路是：第一步：確定研究對(duì)象，寫(xiě)出瞬時(shí)表達(dá)式；第二步：取一小段時(shí)間Δt（時(shí)間極短，加速度、速度都來(lái)不及變）；第三步：換元，使之具有“平權(quán)性”，才能正確合理求和；第四步：對(duì)各小段求和；第五步：寫(xiě)出解答，得到結(jié)果。

例8 一質(zhì)量為m 的雨滴，從距地面h 高處由靜止開(kāi)始下落，假設(shè)雨滴在運(yùn)動(dòng)中受到的空氣阻力跟速度的一次方成正比，即有f=kv（k為已知常數(shù)），已知雨滴落地前已開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間。試問(wèn)：

（1）雨滴的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

（2）定性畫(huà)出v-t圖、a-t圖。

解析：（1）（第一步：寫(xiě)瞬時(shí)式）

參考文獻(xiàn)：

[1]陳鋒.窺一斑而見(jiàn)全豹——微元法在中學(xué)物理中的應(yīng)用[J].物理教學(xué)探討，2012，（3）：46.

[2]黃皓燕.微元思想在物理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用[J].物理教師，2009，（5）：51.

[3]王化銀.推進(jìn)微元方法在物理教學(xué)中的應(yīng)用[J].物理通報(bào)，2013，（3）：9.（欄目編輯 羅琬華）

摘 要：在研究物理問(wèn)題時(shí)，從對(duì)事物的極小部分（微元）分析入手，達(dá)到解決事物整體的方法，稱(chēng)為“微元法”。這是物理研究中非常重要的方法，在高考中屢屢出現(xiàn)，從應(yīng)用來(lái)看，可以分為選取微元作為研究對(duì)象、微元求導(dǎo)和微元求和等三個(gè)方面。本文歸納總結(jié)了“微元法”解題步驟，力圖通過(guò)最簡(jiǎn)單的例子和規(guī)范的解題過(guò)程引領(lǐng)示范，并且運(yùn)用各種圖象讓物理情景形象生動(dòng)地呈現(xiàn)，易于學(xué)生理解和提升。

關(guān)鍵詞：微元法；變力；變加速度；化變?yōu)楹悖换鸀橹?/p>

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2014）9（S）-0039-5

在處理和研究物理問(wèn)題時(shí)，將研究對(duì)象或物理過(guò)程進(jìn)行無(wú)限細(xì)分（化變?yōu)楹恪⒒鸀橹保?，從其中抽取某一微小單元（研究?duì)象或研究過(guò)程）進(jìn)行研究，從而找到被研究對(duì)象或被研究過(guò)程遵循的物理規(guī)律，這種方法稱(chēng)為“微元法”。從對(duì)事物的極小部分（微元）分析入手，達(dá)到解決事物整體的方法。這是一種深刻的思維方法，化變?yōu)楹?，化曲為直，通過(guò)分割逼近，獲得“微元”，從而可以運(yùn)用中學(xué)階段的解題手段，再累加求和（或求商求導(dǎo)），最終達(dá)到了求解整體的目的。

人教版課本中多處涉及到了“微元思想”，由于散落在各冊(cè)教材中，學(xué)生印象比較模糊，因此在總復(fù)習(xí)專(zhuān)題復(fù)習(xí)時(shí)以“微型例題”形式總結(jié)。如推導(dǎo)v-t圖的面積表示位移、研究重力做功、推導(dǎo)向心加速度等，都用到了“微元法”。

微型例題1 試用“微元法”推導(dǎo)說(shuō)明v-t圖像的面積表示位移。

解析 第一步：如圖1， 在勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的v-t圖象中， 圖象與時(shí)間軸所圍的面積表示位移x=vt。

可以把整個(gè)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分成幾個(gè)比較小的時(shí)間段，把每一小段時(shí)間內(nèi)的勻變速運(yùn)動(dòng)粗略地看成是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（化變?yōu)楹悖?。然后把運(yùn)動(dòng)物體在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的位移（即小矩形的面積）都表示出來(lái)，最后求和，就得到了勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的總位移。

第二步：從圖2看出，矩形面積之和小于勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)在該段時(shí)間內(nèi)的位移。

第三步：選取的時(shí)間段Δt越小，各勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)位移和與勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)位移之間的差值就越小，如圖3。

當(dāng)Δt→0時(shí)，各矩形面積之和趨近于v-t圖象的面積。

第四步：如果把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程劃分得非常非常細(xì)（微元法），很多很小矩形的面積之和就能準(zhǔn)確代表物體的位移了，位移的大小等于如圖4所示的梯形的面積。

微型例題2 已知物體以O(shè)為圓心，R為半徑，做角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求物體的向心加速度的大小。

解析 如圖5所示，物體的運(yùn)動(dòng)速度由v1變到v2，速度變化為Δv=v2-v1（矢量差）。

可見(jiàn)，課本中的“微元法”“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”，并且不特別指明方法——“微元法”。我們?cè)诳倧?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該加以提煉和歸納，便于學(xué)生備考。本文分為三種題型：題型一、以“微元”為研究對(duì)象；題型二、微元求導(dǎo)；題型三、微元求和。

題型一、以“微元”為研究對(duì)象

1.選取質(zhì)量元△m

一旦我們遇到“質(zhì)量元”的時(shí)候規(guī)律都是相同的，我們可以將其分解為無(wú)數(shù)個(gè)微小的“質(zhì)量元”，我們選取其中之一作為研究對(duì)象，寫(xiě)出表達(dá)式就能使得問(wèn)題迎刃而解。

例1 如圖7所示，加速啟動(dòng)的火車(chē)車(chē)廂內(nèi)的一桶水，若已知水面與水平面之間的夾角為θ，則火車(chē)加速行駛的加速度為多大？

解析 我們需要從水面上提取所需的“水元”，其質(zhì)量為△m，其受力情況如圖7所示，合力F合=△mgtanθ， 根據(jù)牛頓第二定律可知F合=△ma，則a=gtanθ，方向與啟動(dòng)方向相同。

例2 證明，如圖8，建筑工地上的黃砂，無(wú)論怎樣堆，其錐角保持不變。假如圓錐的底周長(zhǎng)為l，高為h，求黃砂之間的動(dòng)摩擦因數(shù)（假設(shè)最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等）。

2.選取時(shí)間元Δt

例3 高壓采煤水槍出口的橫截面積為S，水的射速為v，水射到煤層上后速度變?yōu)榱?，若水的密度為ρ，試求水?duì)煤的沖擊力。

解析 如圖10所示，取很小的一小段時(shí)間Δt內(nèi)沖到煤層的一小段水柱為研究對(duì)象，設(shè)其質(zhì)量為Δm，則Δm=ρSvΔt。

3.選取電量元Δq

例4 如圖11所示，一個(gè)均勻的帶電圓環(huán)，帶電量為Q，半徑為R，圓心為O 點(diǎn)。通過(guò)O 點(diǎn)作垂直于圓環(huán)面的直線(xiàn)，在此線(xiàn)上取一點(diǎn)P，P到O的距離為R，則帶電圓環(huán)在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度多大？方向怎樣？

4.選取圓弧元ΔS

例5 如圖12所示，有一臺(tái)小型石磨，某人用大小恒為F，方向始終與磨桿垂直的力推磨。假設(shè)施力點(diǎn)到固定轉(zhuǎn)軸的距離為L(zhǎng)，在使磨轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，推力做了多少功？

解析 由于力F方向不斷變化，因此是一個(gè)變力做功問(wèn)題，如果將推力作用點(diǎn)的軌跡分成無(wú)限多小段ΔS1、ΔS2、ΔS3…，每一段曲線(xiàn)近似為直線(xiàn)，力F的方向也近似與這一小段的軌跡重合，則每小段均可看作恒力做功過(guò)程。

運(yùn)用恒力作功的計(jì)算式求出各小段推力做的功W1=FΔS1，W2=FΔS2，W3=FΔS3，…。則轉(zhuǎn)動(dòng)一周過(guò)程中推力做的功W=W1+W2+W3+…=F∑ΔS=2πFL。

題型二、微元求導(dǎo)

例6 （2012年江蘇高考）一只皮球豎直向上拋出，皮球運(yùn)動(dòng)時(shí)受到空氣阻力的大小與速度的大小成正比。圖13的4個(gè)選項(xiàng)描繪了皮球在上升過(guò)程中加速度大小a與時(shí)間t關(guān)系的圖象，可能正確的是（ ）

題型三、微元求和

對(duì)于變力作用的物理過(guò)程，有時(shí)用能量無(wú)法求解。此時(shí)可以考慮用“微元法求和”。其基本思路是：第一步：確定研究對(duì)象，寫(xiě)出瞬時(shí)表達(dá)式；第二步：取一小段時(shí)間Δt（時(shí)間極短，加速度、速度都來(lái)不及變）；第三步：換元，使之具有“平權(quán)性”，才能正確合理求和；第四步：對(duì)各小段求和；第五步：寫(xiě)出解答，得到結(jié)果。

例8 一質(zhì)量為m 的雨滴，從距地面h 高處由靜止開(kāi)始下落，假設(shè)雨滴在運(yùn)動(dòng)中受到的空氣阻力跟速度的一次方成正比，即有f=kv（k為已知常數(shù)），已知雨滴落地前已開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間。試問(wèn)：

（1）雨滴的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

（2）定性畫(huà)出v-t圖、a-t圖。

解析：（1）（第一步：寫(xiě)瞬時(shí)式）

參考文獻(xiàn)：

[1]陳鋒.窺一斑而見(jiàn)全豹——微元法在中學(xué)物理中的應(yīng)用[J].物理教學(xué)探討，2012，（3）：46.

[2]黃皓燕.微元思想在物理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用[J].物理教師，2009，（5）：51.

[3]王化銀.推進(jìn)微元方法在物理教學(xué)中的應(yīng)用[J].物理通報(bào)，2013，（3）：9.（欄目編輯 羅琬華）

摘 要：在研究物理問(wèn)題時(shí)，從對(duì)事物的極小部分（微元）分析入手，達(dá)到解決事物整體的方法，稱(chēng)為“微元法”。這是物理研究中非常重要的方法，在高考中屢屢出現(xiàn)，從應(yīng)用來(lái)看，可以分為選取微元作為研究對(duì)象、微元求導(dǎo)和微元求和等三個(gè)方面。本文歸納總結(jié)了“微元法”解題步驟，力圖通過(guò)最簡(jiǎn)單的例子和規(guī)范的解題過(guò)程引領(lǐng)示范，并且運(yùn)用各種圖象讓物理情景形象生動(dòng)地呈現(xiàn)，易于學(xué)生理解和提升。

關(guān)鍵詞：微元法；變力；變加速度；化變?yōu)楹?；化曲為?/p>

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2014）9（S）-0039-5

在處理和研究物理問(wèn)題時(shí)，將研究對(duì)象或物理過(guò)程進(jìn)行無(wú)限細(xì)分（化變?yōu)楹?、化曲為直），從其中抽取某一微小單元（研究?duì)象或研究過(guò)程）進(jìn)行研究，從而找到被研究對(duì)象或被研究過(guò)程遵循的物理規(guī)律，這種方法稱(chēng)為“微元法”。從對(duì)事物的極小部分（微元）分析入手，達(dá)到解決事物整體的方法。這是一種深刻的思維方法，化變?yōu)楹?，化曲為直，通過(guò)分割逼近，獲得“微元”，從而可以運(yùn)用中學(xué)階段的解題手段，再累加求和（或求商求導(dǎo)），最終達(dá)到了求解整體的目的。

人教版課本中多處涉及到了“微元思想”，由于散落在各冊(cè)教材中，學(xué)生印象比較模糊，因此在總復(fù)習(xí)專(zhuān)題復(fù)習(xí)時(shí)以“微型例題”形式總結(jié)。如推導(dǎo)v-t圖的面積表示位移、研究重力做功、推導(dǎo)向心加速度等，都用到了“微元法”。

微型例題1 試用“微元法”推導(dǎo)說(shuō)明v-t圖像的面積表示位移。

解析 第一步：如圖1， 在勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的v-t圖象中， 圖象與時(shí)間軸所圍的面積表示位移x=vt。

可以把整個(gè)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分成幾個(gè)比較小的時(shí)間段，把每一小段時(shí)間內(nèi)的勻變速運(yùn)動(dòng)粗略地看成是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（化變?yōu)楹悖?。然后把運(yùn)動(dòng)物體在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的位移（即小矩形的面積）都表示出來(lái)，最后求和，就得到了勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的總位移。

第二步：從圖2看出，矩形面積之和小于勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)在該段時(shí)間內(nèi)的位移。

第三步：選取的時(shí)間段Δt越小，各勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)位移和與勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)位移之間的差值就越小，如圖3。

當(dāng)Δt→0時(shí)，各矩形面積之和趨近于v-t圖象的面積。

第四步：如果把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程劃分得非常非常細(xì)（微元法），很多很小矩形的面積之和就能準(zhǔn)確代表物體的位移了，位移的大小等于如圖4所示的梯形的面積。

微型例題2 已知物體以O(shè)為圓心，R為半徑，做角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求物體的向心加速度的大小。

解析 如圖5所示，物體的運(yùn)動(dòng)速度由v1變到v2，速度變化為Δv=v2-v1（矢量差）。

可見(jiàn)，課本中的“微元法”“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”，并且不特別指明方法——“微元法”。我們?cè)诳倧?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該加以提煉和歸納，便于學(xué)生備考。本文分為三種題型：題型一、以“微元”為研究對(duì)象；題型二、微元求導(dǎo)；題型三、微元求和。

題型一、以“微元”為研究對(duì)象

1.選取質(zhì)量元△m

一旦我們遇到“質(zhì)量元”的時(shí)候規(guī)律都是相同的，我們可以將其分解為無(wú)數(shù)個(gè)微小的“質(zhì)量元”，我們選取其中之一作為研究對(duì)象，寫(xiě)出表達(dá)式就能使得問(wèn)題迎刃而解。

例1 如圖7所示，加速啟動(dòng)的火車(chē)車(chē)廂內(nèi)的一桶水，若已知水面與水平面之間的夾角為θ，則火車(chē)加速行駛的加速度為多大？

解析 我們需要從水面上提取所需的“水元”，其質(zhì)量為△m，其受力情況如圖7所示，合力F合=△mgtanθ， 根據(jù)牛頓第二定律可知F合=△ma，則a=gtanθ，方向與啟動(dòng)方向相同。

例2 證明，如圖8，建筑工地上的黃砂，無(wú)論怎樣堆，其錐角保持不變。假如圓錐的底周長(zhǎng)為l，高為h，求黃砂之間的動(dòng)摩擦因數(shù)（假設(shè)最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等）。

2.選取時(shí)間元Δt

例3 高壓采煤水槍出口的橫截面積為S，水的射速為v，水射到煤層上后速度變?yōu)榱?，若水的密度為ρ，試求水?duì)煤的沖擊力。

解析 如圖10所示，取很小的一小段時(shí)間Δt內(nèi)沖到煤層的一小段水柱為研究對(duì)象，設(shè)其質(zhì)量為Δm，則Δm=ρSvΔt。

3.選取電量元Δq

例4 如圖11所示，一個(gè)均勻的帶電圓環(huán)，帶電量為Q，半徑為R，圓心為O 點(diǎn)。通過(guò)O 點(diǎn)作垂直于圓環(huán)面的直線(xiàn)，在此線(xiàn)上取一點(diǎn)P，P到O的距離為R，則帶電圓環(huán)在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度多大？方向怎樣？

4.選取圓弧元ΔS

例5 如圖12所示，有一臺(tái)小型石磨，某人用大小恒為F，方向始終與磨桿垂直的力推磨。假設(shè)施力點(diǎn)到固定轉(zhuǎn)軸的距離為L(zhǎng)，在使磨轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，推力做了多少功？

解析 由于力F方向不斷變化，因此是一個(gè)變力做功問(wèn)題，如果將推力作用點(diǎn)的軌跡分成無(wú)限多小段ΔS1、ΔS2、ΔS3…，每一段曲線(xiàn)近似為直線(xiàn)，力F的方向也近似與這一小段的軌跡重合，則每小段均可看作恒力做功過(guò)程。

運(yùn)用恒力作功的計(jì)算式求出各小段推力做的功W1=FΔS1，W2=FΔS2，W3=FΔS3，…。則轉(zhuǎn)動(dòng)一周過(guò)程中推力做的功W=W1+W2+W3+…=F∑ΔS=2πFL。

題型二、微元求導(dǎo)

例6 （2012年江蘇高考）一只皮球豎直向上拋出，皮球運(yùn)動(dòng)時(shí)受到空氣阻力的大小與速度的大小成正比。圖13的4個(gè)選項(xiàng)描繪了皮球在上升過(guò)程中加速度大小a與時(shí)間t關(guān)系的圖象，可能正確的是（ ）

題型三、微元求和

對(duì)于變力作用的物理過(guò)程，有時(shí)用能量無(wú)法求解。此時(shí)可以考慮用“微元法求和”。其基本思路是：第一步：確定研究對(duì)象，寫(xiě)出瞬時(shí)表達(dá)式；第二步：取一小段時(shí)間Δt（時(shí)間極短，加速度、速度都來(lái)不及變）；第三步：換元，使之具有“平權(quán)性”，才能正確合理求和；第四步：對(duì)各小段求和；第五步：寫(xiě)出解答，得到結(jié)果。

例8 一質(zhì)量為m 的雨滴，從距地面h 高處由靜止開(kāi)始下落，假設(shè)雨滴在運(yùn)動(dòng)中受到的空氣阻力跟速度的一次方成正比，即有f=kv（k為已知常數(shù)），已知雨滴落地前已開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間。試問(wèn)：

（1）雨滴的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

（2）定性畫(huà)出v-t圖、a-t圖。

解析：（1）（第一步：寫(xiě)瞬時(shí)式）

參考文獻(xiàn)：

[1]陳鋒.窺一斑而見(jiàn)全豹——微元法在中學(xué)物理中的應(yīng)用[J].物理教學(xué)探討，2012，（3）：46.

[2]黃皓燕.微元思想在物理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用[J].物理教師，2009，（5）：51.

[3]王化銀.推進(jìn)微元方法在物理教學(xué)中的應(yīng)用[J].物理通報(bào)，2013，（3）：9.（欄目編輯 羅琬華）