田維 劉嘉悅

【摘要】高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一直都是非常重要的內(nèi)容.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以有效提升學(xué)生的解題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.直觀想象是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中非常重要的內(nèi)容，通過將直觀想象與其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行有效聯(lián)系是提升學(xué)生解題能力的關(guān)鍵.本文通過2023年高考數(shù)學(xué)試題對直觀想象在數(shù)學(xué)解題中的重要性進(jìn)行分析，希望對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供一定的參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；高考試題；核心素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)學(xué)運(yùn)算.其中直觀想象是一項非常重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時與其他五大核心素養(yǎng)之間也存在著緊密的關(guān)系.在解決問題的過程中，需要通過直觀想象來對問題進(jìn)行分析，尋找問題的本質(zhì)，然后通過數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模來將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再通過邏輯推理、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)問題的求解.同時在問題解決過程中，通過直觀想象能夠更好地理清問題的解決思路和優(yōu)化解題運(yùn)算.可以說直觀想象是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，所以教師在解題教學(xué)過程中需要通過有效的措施培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

1? 原題呈現(xiàn)

例1? （2023年新課標(biāo)Ⅰ卷18題）如圖1，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3.

（1）證明：B2C2∥A2D2；

（2）點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P－A2C2－D2為150°時，求B2P.

（1）證明? 根據(jù)題中所給的已知條件，可以以點(diǎn)C為原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CC1為z軸建立直角坐標(biāo)系.如圖2所示.

圖1

圖2

則有C0，0，0，C20，0，3，

B20，2，2D22，0，2，A22，2，1，

所以B2C2=0，-2，1，A2D2=0，-2，1，

可得B2C2∥A2D2，因?yàn)閮蓚€向量不在同一條直線上，

所以B2C2∥A2D2.

（2）解? 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2，α）（0≤α≤4），

則A2C2=-2，-2，2，PC2=（0，-2，3-α），D2C2=-2，0，1.

設(shè)平面PA2C2的法向量為n=（x，y，z），

則可以根據(jù)向量公式計算出n=（α－1，3－α，2），

設(shè)平面A2C2D2的法向量為m=（a，b，c），

則m=（1，1，2），

就可以根據(jù)cos〈n，m〉=n·mnm=

664+（α－1）2+（3－α）2=cos150°=32，

計算α=1或α=3，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為0，2，1，或者0，2，3，

所以B2P=1.

評價? 常規(guī)解題思路是通過利用正四棱柱的特殊性質(zhì)進(jìn)行坐標(biāo)系的構(gòu)建，然后根據(jù)題目中的已知信息對各個點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行表示，從而利用向量法對問題進(jìn)行求解.在這過程中，通過直觀想象與數(shù)學(xué)建模兩個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的結(jié)合對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，從而簡化問題，最后計算出結(jié)果.

2? 基于直觀想象的解題策略研究

2.1? 利用圖形描述，理解本質(zhì)問題

在問題1的證明中，通過對圖中A2，B2，C2，D2四個點(diǎn)的位置進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，這四個點(diǎn)在同一平面內(nèi)且所構(gòu)成的四邊形A2B2C2D2棱形，根據(jù)棱形的性質(zhì)就能夠證明B2C2∥A2D2，所以這里就將問題轉(zhuǎn)化為證明四邊形A2B2C2D2為棱形.根據(jù)題中的邊長關(guān)系，就可以過A2作AD，AB的平行線，過C2作CD，CB的平行線，然后利用正四棱柱的性質(zhì)以及勾股定理就可以得到A2B2=B2C2=C2D2=A2D2=5，所以四邊形A2B2C2D2為棱形，所以B2C2∥A2D2成立.

評析? 這種證明方式首先需要確定的是這個四邊形在一個平面內(nèi)，這是判斷四邊形為棱形的關(guān)鍵.在立題幾何中，如果四個點(diǎn)不在同一平面內(nèi)，即使四個邊相等也不能證明這個四邊形為棱形.這種解題思路就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象最顯著的發(fā)揮.通過對試題的已知條件進(jìn)行分析，通過直觀想象就能夠很容易地判斷出這四個點(diǎn)所組成的四邊形為棱形，且四個點(diǎn)在同一個平面內(nèi).所以在解題教學(xué)的過程中，教師需要對學(xué)生進(jìn)行直觀想象的引導(dǎo)，讓學(xué)生通過直觀想象結(jié)合問題和已知條件可以得到什么關(guān)鍵的信息，從而充分利用這個關(guān)鍵信息對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)問題的求解.

2.2? 結(jié)合幾何意義，建立問題聯(lián)系

根據(jù)問題1，需要證明兩條線段之間的平行關(guān)系，而在立體幾何中，證明兩條線段平行的方式是證明一條直線與另一條直線所在的平面平行，然后證明兩條直線在同一平面內(nèi)，且這條直線是兩個平面的交線.所以首先需要證明線段A2D2所在的平面與線段B2C2所在的平面平行.A2D2所在的平面為ADD1A1，B2C2所在的平面為BCC1B1，因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是正四棱柱，所以就有ADD1A1∥BCC1B1，可以證明線段B2C2平行面ADD1A1，又因平面ADD1A1與平面A2B2C2D2相較于A2D2，所以可證A2D2∥B2C2.

評析? 這種證明方式充分應(yīng)用了立體幾何中證明兩條線段平行的性質(zhì)證明A2D2∥B2C2.這種方式是看到問題時就能夠快速想到的一種證明方式，也是直觀想象的一種直接體現(xiàn).充分結(jié)合立體幾何的特點(diǎn)對試題進(jìn)行分析，將線段平行問題轉(zhuǎn)化為證明平行于一個平面的線段與線段所在平面與這個平面的交線平行這樣的問題，實(shí)現(xiàn)對問題的快速求解.所以教師在解題教學(xué)過程中需要讓學(xué)生掌握立體幾何中各種線、平面之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化，這樣能夠有效提升學(xué)生的直觀想象，幫助學(xué)生更好地進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化.

3? 結(jié)語

直觀想象是通過對數(shù)學(xué)對象的全貌和本質(zhì)的直接把握，以本文中的立體幾何問題來說，直觀想象建立在對立體幾何問題的長期觀察和思考的基礎(chǔ)之上，通過不斷地解決立體幾何問題實(shí)現(xiàn)對立體幾何問題解題經(jīng)驗(yàn)的累積，并對立體幾何常見問題的解題思路進(jìn)行總結(jié)和概括.這樣能夠在遇到立體幾何問題時，通過日常累積實(shí)現(xiàn)對問題的準(zhǔn)確分析，達(dá)到快速求解的目的.所以教師在教學(xué)過程中需要通過對試題進(jìn)行總結(jié)幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建以及各類問題解題思路的總結(jié)，幫助學(xué)生建立解題數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生能夠?qū)Ω鞣N數(shù)學(xué)問題進(jìn)行有效地掌握，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］陳莉紅.聚焦直觀想象核心素養(yǎng)的解題教學(xué)思考——以幾道高考試題為例［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（01）：103-105+109.

［2］滕景波.高中數(shù)學(xué)課堂直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)［J］.新智慧，2019（36）：138.

［3］潘龍生，宋秀云."直觀想象"核心素養(yǎng)指引下的解題教學(xué)［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2023（08）：1-4.