蔣火桂

【摘要】GeoGebra的幾何作圖、代數(shù)運算和數(shù)據(jù)處理等功能強大，具有動態(tài)性、便捷性、多功能性等特點，受到許多教師和教育研究者的青睞.本文利用GeoGebra軟件探究圓錐曲線中的動點軌跡問題，有機整合教材內(nèi)容，由淺入深，生動形象展現(xiàn)動點軌跡生成的過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的興趣.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；GeoGebra；課堂教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》將“數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動”作為單獨的主題，與“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“概率與統(tǒng)計”共同組成貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線內(nèi)容.可見數(shù)學(xué)探究活動在數(shù)學(xué)教育中的重要地位.數(shù)學(xué)探究活動在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、原理的生成過程，經(jīng)歷從數(shù)學(xué)研究對象的獲得再到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的過程中起到不可或缺的作用.

在實際教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，利用GeoGebra軟件，可以展示理論分析無法做到的動態(tài)可視性，將數(shù)學(xué)的抽象化為直觀形象，可以輕松處理一些黑板粉筆無法處理的數(shù)據(jù)，使數(shù)學(xué)探究活動更貼近生活、符合實際，能有效解決課堂的重點、難點，提高課堂效率．同時，GeoGebra功能強大，操作簡潔方便，有強大的代數(shù)和幾何功能，可以和學(xué)生一起，通過改變參數(shù)、設(shè)置變量等方式探究數(shù)學(xué)概念、原理，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得理性思考和邏輯分析的能力，幫助學(xué)生提高研究和解決問題的能力.

1? 整合教材資源，優(yōu)化探究內(nèi)容

1.1? 探究橢圓的第一定義

把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于定值2a（2a>|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．

人教A版教材是通過定長細繩實驗畫出橢圓的軌跡，從而歸納出橢圓的第一定義.這個實驗的優(yōu)點是可以和學(xué)生一起動手操作，感受橢圓概念的生成過程，缺點是不方便改變繩子的長度和定點距離．通過GeoGebra可以改進這個實驗．如圖1，拖動滑動條a和滑動條c，可以改變P點到F1，F(xiàn)2兩點的距離，以及2a和定點F1，F(xiàn)2的距離2c，點擊動畫按鈕可以得到不同的橢圓（如圖1）.然后拋出思考題：如果2a=2c，P點軌跡還是一個橢圓嗎？點擊a=c按鈕，可以發(fā)現(xiàn)P點軌跡變成了一條線段．通過GeoGebra可視化動畫生成橢圓，然后讓學(xué)生歸納橢圓的定義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力．雙曲線、拋物線的定義也可以類似進行探究，由于篇幅有限，本文不展開討論．

圖1

1.2? 探究圓錐曲線的統(tǒng)一定義（第二定義）

人教A版選擇性必修一P113頁設(shè)置了有關(guān)橢圓第二定義的例題.

例1? 動點P（x，y）與定點F（4，0）的距離和P到定直線l：x=254的距離的比是常數(shù)45，求動點P 的軌跡.

通過直接法很容易得到動點P的軌跡是一個長軸、短軸長分別是10，6的橢圓x225+y29=1.講完拋物線后，可以帶領(lǐng)學(xué)生重溫例1，拋出例1的變式探究題目．

變式1? 動點P（x，y）與定點F（4，0）的距離和P到定直線l：x=94的距離的比是常數(shù)43，求動點P的軌跡.

變式2? 動點P（x，y）與定點F（4，0）的距離和P到定直線l：x=－4的距離的比是常數(shù)1，求動點P 的軌跡.

變式3? 動點P（x，y）與定點F（c，0）的距離和P.到定直線l：x=a2c的距離的比是常數(shù)ca（a>0，c>0，a≠c），求動點P 的軌跡.

通過直接法易得變式1動點P的軌跡是雙曲線，變式2動點P 的軌跡是拋物線．變式3當a>c>0時，動點P 的軌跡是橢圓，當c>a>0時，動點P 的軌跡是雙曲線．下面通過GeoGebra探究圓錐曲線的統(tǒng)一定義．如圖2，拖動滑動e，發(fā)現(xiàn)當|PF||PM|=e∈（0，1）時，P點軌跡為橢圓；當|PF||PM|=e=1時，P點軌跡為拋物線；當|PF||PM|=e∈（1，+∞）時，P點軌跡為雙曲線．

圖2

然后讓學(xué)生歸納出圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點F的距離與到定直線l的距離（F點不在l上）的比e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線．這里e為離心率，F(xiàn)為焦點，l為準線．

借助GeoGebra可視化軟件，有機整合教材資源，生成一系列有關(guān)圓錐曲線定義的問題，由淺入深，層層相扣，采用螺旋上升的教學(xué)方式，加深學(xué)生對圓錐曲線定義的理解.

2? GeoGebra可視化探究動點軌跡問題

動點軌跡問題貫穿整個圓錐曲線的教學(xué)過程，是圓錐曲線教學(xué)的基礎(chǔ)和根基.動點軌跡問題以抽象、多變難懂而聞名.學(xué)生望動點軌跡問題卻步，不知如何入手解決這類問題.借助GeoGebra解決動點軌跡問題，直觀展現(xiàn)了動點軌跡的生成過程，降低了此類問題的難度，增強學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的信心.

探究1? 圓O的半徑為定長r，A 是圓O內(nèi)一定點，P是圓O上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

探究2? 圓O的半徑為定長r，A 是圓O外一定點，P是圓O上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

分析?? 在GeoGebra繪圖中用畫圓工具畫出一個圓O，用對象上的點作出圓O上的點P，作出直線OP.

在圓O內(nèi)作點A，連接AP，作出線段AP的垂直平分線l.作出直線OP與l的交點Q，跟蹤點Q軌跡.啟動動畫，發(fā)現(xiàn)點Q的軌跡是橢圓.

理由：因為|QA|+|QO|=|QP|+|QO|=|OP|>|OA|，所以Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點的橢圓.

將點A拖到圓O外，啟動動畫，發(fā)現(xiàn)點Q軌跡是雙曲線.

理由：因為||QO|－|QA||=||QO|－|QP||=|OP|<|OA|，所以Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點的雙曲線.

探究3? 已知雙曲線x24－y216=1與直線l：y=kx+m（k≠±2）有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x，0），B（0，y）兩點.當點M運動時，求點P（x，y）的軌跡方程.并說明軌跡是什么曲線.如果推廣到一般雙曲線，能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？

分析? 這個題目乍一看，不容易看出動點P的軌跡.這類軌跡問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點，也是教師教學(xué)的一個大的挑戰(zhàn).運用GeoGebra可以降低教學(xué)的難度.如圖8，點擊P選擇追蹤工具，拖動M點，觀察點P的軌跡.發(fā)現(xiàn)點P的軌跡是雙曲線.

聯(lián)立雙曲線與直線l的方程并消去y得到：

（4-k2）x2－2mkx－（m2+16）=0①=1＼*GB3.

因為k≠±2，M是雙曲線與直線l的唯一公共點，令Δ=0得到m2=4（k2－4）②=2＼*GB3.

圖3

解方程①=1＼*GB3并結(jié)合直線l方程得M點坐標為km4－k2，4m4－k2，即M－4km，－16m，

其中km≠0.于是，過點M且與l垂直的直線為y+16m=－1kx+4km.

可得A－20km，0，B0，－20m，

P－20km，－20m，

即x=－20km，y=－20m.

因此，x2=400k2m2=400m2m24+4=100+1600m2=100+4y2，

即x2100－y225=1，其中y≠0.所以點P的軌跡方程是x2100－y225=1（y≠0），軌跡是焦點在x軸上，實軸長為20，虛軸長為10的雙曲線（去掉兩個頂點）.

如果將此題推廣到一般的雙曲線x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），直線l：y=kx+m（k≠±ba），其他條件不變.拖動滑動條，改變兩個參數(shù)a，b的值，拖動M點，發(fā)現(xiàn)點P的軌跡依然是雙曲線.類似第一個問題的解法可得點P（x，y）的軌跡方程是x2a2+b2a2－y2a2+b2b2=1（y≠0），軌跡是焦點在x軸上，實軸長為2（a2+b2）a，虛軸長為2（a2+b2）b的雙曲線（去掉兩個頂點）.

推廣1? 已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）與直線l：y=kx+m（k≠0）有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x，0），B（0，y）兩點.當點M運動時，求點P（x，y）的軌跡方程.并說明軌跡是什么曲線.

推廣2? 已知拋物線y2=2px（p>0）與直線l：y=kx+m有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x，0），B（0，y）兩點.當點M運動時，求點P（x，y）的軌跡方程.并說明軌跡是什么曲線.

3? 結(jié)語

GeoGebra可視化教學(xué)，可以使數(shù)學(xué)內(nèi)容生動形象、淺顯易懂，但過度的可視化可能扼殺學(xué)生的想象力， 阻礙學(xué)生從形象思維提升到抽象思維.可視化教學(xué)可作為數(shù)學(xué)教學(xué)的輔助工具，但同時更加要注重引導(dǎo)學(xué)生演繹證明、歸納抽象.建議在使用可視化教學(xué)之前，讓學(xué)生進行深度思考、演繹推理.

【基金項目：本文系廣東省中山市教育科研2020年度一般項目（立項號：B2020180）《數(shù)字工具支持下的高中數(shù)學(xué)“問題-探究-拓展-交流”教學(xué)路徑實踐研究》的研究成果】

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］張志勇.高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)：原則、途徑與策略［J］.數(shù)學(xué)通報，2018（06）：21-24.