北京市建華實(shí)驗(yàn)學(xué)校 趙 穎

運(yùn)算能力是新課標(biāo)核心素養(yǎng)的主要內(nèi)容之一。小學(xué)階段，教材主要通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)實(shí)現(xiàn)整數(shù)運(yùn)算的模型化和抽象化，整數(shù)乘法的學(xué)習(xí)主要依托的就是“點(diǎn)子圖”。點(diǎn)子圖作為一種半抽象化的圖式，在計(jì)算教學(xué)中有著不可替代的作用?！霸邳c(diǎn)子圖上圈一圈”這一活動(dòng)，介于實(shí)物操作和符號(hào)表達(dá)之間，是聯(lián)結(jié)直觀與抽象的橋梁，能更有效地幫助學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)概念、直觀理解算理、探究口算方法和建構(gòu)筆算模型。但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)過(guò)程中，點(diǎn)子圖的使用卻并不盡如人意，學(xué)生覺(jué)得點(diǎn)子圖很麻煩，教師為此覺(jué)得很苦惱。是什么原因?qū)е卤緫?yīng)起到直觀支撐作用的點(diǎn)子圖讓師生都產(chǎn)生如此大的困惑？如何發(fā)揮點(diǎn)子圖應(yīng)有的作用和價(jià)值？本文以北師大版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（第一課時(shí)）”的教學(xué)為例，進(jìn)行說(shuō)明、分析，并提出改進(jìn)設(shè)計(jì)。

一、發(fā)現(xiàn)困惑

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生通過(guò)借助幾何直觀（在點(diǎn)子圖上圈畫(huà)）與先前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理與算法，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；通過(guò)建立點(diǎn)子圖與算式之間的聯(lián)系，體會(huì)計(jì)算方法的一致性。

按照教材的編寫(xiě)邏輯，學(xué)生的思維由直觀的點(diǎn)子圖到抽象算式、表格。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生先在點(diǎn)子圖上進(jìn)行圈畫(huà)，再用算式表示出來(lái)。但通過(guò)觀察，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，大家都發(fā)現(xiàn)了一個(gè)“大問(wèn)題”：教材中推崇的起直觀支撐作用的點(diǎn)子圖，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)反而是阻礙。筆者通過(guò)學(xué)前調(diào)研發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)用豎式、會(huì)用分步橫式，也有會(huì)用表格的。但是如果讓學(xué)生在點(diǎn)子圖上畫(huà)一畫(huà)、圈一圈，就會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫(huà)得五花八門(mén)，與教師希望的以及教材中呈現(xiàn)的“整塊拆分”方法相差甚遠(yuǎn)。于是教師就調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)，先讓學(xué)生用自己的方法寫(xiě)（都是算式或表格），然后再在點(diǎn)子圖上表示出來(lái)，認(rèn)為這樣既尊重了學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，又使得學(xué)生圈畫(huà)點(diǎn)子圖是有指向性的。但是這樣并不符合教材的邏輯，也不符合從直觀到抽象的編寫(xiě)邏輯順序，教師陷于苦惱之中。

二、“惑”從何來(lái)？

學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)大致分為以下四個(gè)水平：

水平1：不會(huì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，也不能把之前學(xué)習(xí)的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的方法進(jìn)行主動(dòng)遷移應(yīng)用。水平2：不會(huì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，但是能夠把之前學(xué)習(xí)的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的方法進(jìn)行主動(dòng)遷移應(yīng)用。水平3：提前學(xué)過(guò)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，但是不懂算理。水平4：提前學(xué)過(guò)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，也懂算理。

在教學(xué)時(shí)，教師往往從一個(gè)情境聚焦數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后很快聚焦算式，學(xué)生再一起按照教師的活動(dòng)要求進(jìn)行探索，然后進(jìn)行解讀和溝通。在這樣的設(shè)計(jì)之下，學(xué)生的表現(xiàn)：

（1）處于水平1 的學(xué)生不會(huì)計(jì)算，盲目地完成活動(dòng)要求，沒(méi)有目的地圈，圈了之后也不能直接看出結(jié)果。

（2）處于水平2 的學(xué)生能夠根據(jù)點(diǎn)子圖的二維分布特征，按照一個(gè)維度進(jìn)行拆分，將拆分后的每一部分轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘一位數(shù)進(jìn)行計(jì)算，再合起來(lái)，從而解決了問(wèn)題?？梢?jiàn)，點(diǎn)子圖對(duì)處于水平2 的學(xué)生確實(shí)起到了直觀支撐的作用。

（3）處于水平3 的學(xué)生雖然會(huì)計(jì)算方法，但是他們僅僅會(huì)計(jì)算結(jié)果而已，對(duì)于“每一步算的是什么、為什么這么算”是從來(lái)沒(méi)有想過(guò)的。所以這些學(xué)生往往很快算出結(jié)果，然后再在點(diǎn)子圖上隨意地圈，只為完成活動(dòng)要求中的“圈一圈”這一操作指令。

（4）處于水平4 的學(xué)生則不僅能正確計(jì)算出結(jié)果，還能在點(diǎn)子圖上做相對(duì)應(yīng)的圈畫(huà)。但因?yàn)檫@部分學(xué)生課前不僅掌握了算法也理解了算理，點(diǎn)子圖是他們“表演”的工具，對(duì)其思維的進(jìn)階并沒(méi)有起到支撐作用。

通過(guò)以上分析可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)點(diǎn)子圖的使用產(chǎn)生困惑主要存在于處于水平1 和水平3 的學(xué)生當(dāng)中。產(chǎn)生這種困惑的原因在于教師過(guò)早地聚焦到計(jì)算的結(jié)果上，忽略了點(diǎn)子圖的“數(shù)”屬性，割裂了數(shù)與運(yùn)算之間的密切聯(lián)系。教師的割裂導(dǎo)致了學(xué)生的割裂，以至于雖然點(diǎn)子圖就在那里，處于水平1 的學(xué)生卻放棄了“數(shù)”這一最基本的方法；處于水平3 的學(xué)生不明白為什么還要在點(diǎn)子圖上圈、到底要圈什么。事實(shí)上，當(dāng)算式抽象出來(lái)之后，問(wèn)題的焦點(diǎn)是算式的計(jì)算結(jié)果而非解決情境中的問(wèn)題，此時(shí)大家已經(jīng)置點(diǎn)子圖于不顧了，即使教師的活動(dòng)要求是要在點(diǎn)子圖上圈一圈，再寫(xiě)算式，那也是教師的指令，而非學(xué)生的自覺(jué)。

新課標(biāo)相較于之前的課標(biāo)，對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化整合，其中重要的一點(diǎn)是把數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算兩個(gè)主題融合為“數(shù)與運(yùn)算”一個(gè)主題，以凸顯數(shù)與運(yùn)算的一致性。數(shù)的運(yùn)算和數(shù)的認(rèn)識(shí)在本質(zhì)上是一體的，因?yàn)閿?shù)概念具有概念過(guò)程性。

點(diǎn)子圖是數(shù)的二維直觀表達(dá)，是溝通數(shù)與運(yùn)算的重要支撐，基于數(shù)與運(yùn)算一致性的設(shè)計(jì)是破解點(diǎn)子圖困惑的關(guān)鍵。

三、基于計(jì)數(shù)的計(jì)算教學(xué)設(shè)計(jì)，發(fā)揮點(diǎn)子圖直觀支撐作用

郭華教授提出的“兩次提出倒轉(zhuǎn)”教學(xué)機(jī)制揭示：在性質(zhì)上，學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程是將人類(lèi)認(rèn)識(shí)過(guò)程“倒過(guò)來(lái)”的過(guò)程；在內(nèi)容上，學(xué)生認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)是人類(lèi)認(rèn)識(shí)的終點(diǎn)；在過(guò)程上，則是把“倒過(guò)來(lái)”的過(guò)程再“轉(zhuǎn)回去”。這節(jié)課的難點(diǎn)在于如何讓學(xué)生在已經(jīng)“倒過(guò)來(lái)”的認(rèn)識(shí)內(nèi)容基礎(chǔ)上，通過(guò)教師的設(shè)計(jì)，在過(guò)程中實(shí)現(xiàn)潛移默化中再“轉(zhuǎn)回去”。數(shù)與運(yùn)算一致性可以實(shí)現(xiàn)這種潛移默化。本文嘗試從計(jì)數(shù)的角度對(duì)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)：

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）借助直觀模型，能主動(dòng)遷移運(yùn)用已學(xué)知識(shí)方法解決問(wèn)題，在個(gè)性化方法和表達(dá)中培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

（2）關(guān)注圖形特征，在溝通多種方法的過(guò)程中，體會(huì)每種方法背后的道理，理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理與算法，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階，提升運(yùn)算能力。

（3）在與他人交流算法的過(guò)程中，學(xué)習(xí)澄清思路，表達(dá)數(shù)學(xué)思維；傾聽(tīng)、理解他人的方法，進(jìn)行反思和調(diào)整，靈活選擇適用的方法解決問(wèn)題；嘗試溝通不同方法間的聯(lián)系，從而達(dá)成對(duì)算理的深度理解。

（二）教學(xué)過(guò)程

1.情境引入，提出問(wèn)題

師：學(xué)校一年一度的春季運(yùn)動(dòng)會(huì)馬上就要開(kāi)始了，今年咱們?nèi)昙?jí)要一起表演啦啦操，現(xiàn)在需要選拔小隊(duì)員。圖1 是我們啦啦操表演的隊(duì)形，一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)人，觀察這個(gè)隊(duì)形，你們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息？能提什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

圖1

生：長(zhǎng)方形隊(duì)形，啦啦操表演一共需要多少人？

2.自主探索，個(gè)性表達(dá)（提供點(diǎn)子圖）

獨(dú)立思考“啦啦操表演一共需要多少人” ，在印有隊(duì)形圖的學(xué)習(xí)單上表示出你的想法。

預(yù)設(shè)1：點(diǎn)數(shù)。預(yù)設(shè)2：幾個(gè)幾個(gè)圈地?cái)?shù)。預(yù)設(shè)3：分塊計(jì)數(shù)。（1）分成已經(jīng)學(xué)過(guò)的兩位數(shù)乘一位數(shù)；（2）按計(jì)數(shù)單位進(jìn)行分塊計(jì)數(shù)。預(yù)設(shè)4：算式解決。

【設(shè)計(jì)意圖】從被動(dòng)操作到主動(dòng)遷移的角色轉(zhuǎn)換。學(xué)生不是為了計(jì)算12×14 的結(jié)果而研究計(jì)算，而是在真的解決“多少人”這個(gè)問(wèn)題。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生自覺(jué)調(diào)動(dòng)已經(jīng)掌握的知識(shí)，以解決這個(gè)問(wèn)題。此時(shí)情境是有意義的，而非算式的“擺設(shè)”。教師沒(méi)有過(guò)多的要求（就必須要先圈一圈，再寫(xiě)算式），學(xué)生自然就避免了被動(dòng)的操作。要解決的問(wèn)題是“多少人”，所以能夠解決這個(gè)問(wèn)題的方法（數(shù)數(shù)、計(jì)算）都應(yīng)該是被肯定的，而非為了學(xué)習(xí)乘法而眼里只有乘法。

3.解讀與對(duì)比中實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階，溝通算理算法

教師在黑板上分別展示這些方法，學(xué)生互相解讀。

師（追問(wèn)）：為什么想到分塊計(jì)數(shù)？

（這反映出一部分學(xué)生已經(jīng)能自覺(jué)遷移，運(yùn)用乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題）

師（追問(wèn)）：為什么想到分成幾個(gè)十，幾個(gè)一？

（這反映出一部分學(xué)生已經(jīng)能自覺(jué)遷移，利用計(jì)算單位解決較復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題。而計(jì)數(shù)單位恰恰是數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算一致性的核心之一）

師：同學(xué)們的思考方法多種多樣，都用自己的方法解決了問(wèn)題，再來(lái)看看這些方法，哪些方法很像？

預(yù)設(shè)1：一些方法是數(shù)數(shù)，一些方法是運(yùn)算。預(yù)設(shè)2：數(shù)數(shù)的方法里有一些是幾個(gè)幾個(gè)數(shù)的，還有一些是一塊一塊數(shù)的。預(yù)設(shè)3：運(yùn)算的方法里有一些是把12或14 拆分成了更小的學(xué)過(guò)的數(shù)，還有一些是將12 或14 拆成了1 個(gè)十和幾個(gè)一。

師：如果給這些方法區(qū)分一下水平，你覺(jué)得哪種方法的水平更高一些？為什么？如果再解決類(lèi)似的問(wèn)題，你想選擇哪類(lèi)方法？學(xué)完有什么收獲？還有哪些新想法？

【設(shè)計(jì)意圖】

（1）找到從“數(shù)數(shù)”到“算數(shù)”的進(jìn)階需求。解決“多少人”問(wèn)題的過(guò)程可以暴露學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)。在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中一般有這樣幾個(gè)現(xiàn)象：

①幾乎每個(gè)班都有學(xué)生在計(jì)算時(shí)幾個(gè)幾個(gè)一圈，其中部分學(xué)生所得的結(jié)果不是算出來(lái)的，而是數(shù)出來(lái)的，他們雖然也學(xué)習(xí)了一些運(yùn)算知識(shí)但是不能主動(dòng)地遷移運(yùn)用。②其中還有一部分學(xué)生是加出來(lái)的：“12+12+12+…+12=168”，有了用運(yùn)算解決問(wèn)題的意識(shí)。③能夠進(jìn)行分塊計(jì)算的學(xué)生，已經(jīng)有了運(yùn)用乘、加混合運(yùn)算解決問(wèn)題的意識(shí)和能力。

可見(jiàn)，從“數(shù)數(shù)”到“算數(shù)”并非所有三年級(jí)學(xué)生的自覺(jué)轉(zhuǎn)換。

（2）找到從“一維計(jì)數(shù)”到“二維計(jì)數(shù)”的進(jìn)階需求。點(diǎn)子圖是一個(gè)二維的計(jì)數(shù)模型，也是乘法模型。在已經(jīng)學(xué)過(guò)了乘法的意義和兩位數(shù)乘一位數(shù)之后，學(xué)生是否有這樣的自覺(jué)意識(shí)用這些知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題呢？處于“數(shù)數(shù)”階段的學(xué)生，在數(shù)人數(shù)的時(shí)候，仍然是一維計(jì)數(shù)思維——接著數(shù)下去就好了；處于分塊計(jì)數(shù)水平的學(xué)生則關(guān)注到了點(diǎn)子圖的二維特征，有使用乘法來(lái)解決問(wèn)題的自覺(jué)。學(xué)生間的計(jì)數(shù)策略與水平是存在差異的。

（3）找到從無(wú)意識(shí)的“拆分計(jì)數(shù)”到有意識(shí)的“單位計(jì)數(shù)”的進(jìn)階需求。在分塊計(jì)數(shù)的學(xué)生當(dāng)中，有一部分學(xué)生是有意識(shí)的拆分，按照計(jì)數(shù)單位將比較大的乘數(shù)拆成幾個(gè)十和幾個(gè)一。這反映出這部分學(xué)生能從計(jì)數(shù)單位的角度深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)的意義，并能自覺(jué)地將其應(yīng)用到運(yùn)算中。學(xué)生在拆分計(jì)數(shù)的過(guò)程中存在著水平差異。

這些差異源于學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)以及運(yùn)算認(rèn)識(shí)的差異，也為課堂提供了生動(dòng)的交流資源。通過(guò)學(xué)生之間的互相解讀、教師的引導(dǎo)追問(wèn)，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“數(shù)數(shù)”到“算數(shù)”、從“一維計(jì)數(shù)”到“二維計(jì)數(shù)”、從無(wú)意識(shí)的“拆分計(jì)數(shù)”到有意識(shí)的“單位計(jì)數(shù)”三個(gè)方面的進(jìn)階，使學(xué)生的思考得以深入，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)理解算法與算理之間的關(guān)系模型，培養(yǎng)運(yùn)算能力，理解數(shù)與運(yùn)算的一致性。