江蘇省南京市科睿小學(xué) 仇學(xué)春

江蘇省南京市瑯琊路小學(xué) 張冬梅

“百分?jǐn)?shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容，百分?jǐn)?shù)源于分?jǐn)?shù)，源自分?jǐn)?shù)的“率”，表示兩個數(shù)或數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系。過去的課程標(biāo)準(zhǔn)一般把百分?jǐn)?shù)作為“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在第二學(xué)段“數(shù)的認(rèn)識”部分要求“理解小數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義，理解百分?jǐn)?shù)的意義”，并在案例部分說明“百分?jǐn)?shù)是同分母（統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)）的比值，便于比較。希望學(xué)生能夠理解它們的含義，在生活中能夠合理使用” 。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》則將百分?jǐn)?shù)作為“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的內(nèi)容，要求“結(jié)合具體情境，探索百分?jǐn)?shù)的意義，能解決與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的簡單實際問題，感受百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義”。具體地說，要引導(dǎo)學(xué)生“知道百分?jǐn)?shù)是兩個數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達，既可以表達確定的數(shù)據(jù)，如飲料中果汁的含量、稅率、利息和折扣等，也可以表達隨機的數(shù)據(jù)，如某籃球運動員罰球命中率、某城市霧霾天數(shù)所占比例等”。這樣的改變豐富了百分?jǐn)?shù)概念的內(nèi)涵，將百分?jǐn)?shù)作為一個重要的統(tǒng)計特征量加以認(rèn)識，突出了其統(tǒng)計意義。

一、學(xué)情調(diào)查

在教學(xué)百分?jǐn)?shù)的意義之前，為了了解學(xué)校六年級學(xué)生有關(guān)百分?jǐn)?shù)意義的“前概念”，精準(zhǔn)實施教學(xué)，筆者結(jié)合學(xué)生可能的數(shù)學(xué)經(jīng)驗設(shè)計了以下三個問題，對學(xué)校200 名學(xué)生進行了調(diào)查。調(diào)查采取書面答題的形式，學(xué)生在20 分鐘內(nèi)獨立完成后上交。

1.下面信息中的數(shù)叫作百分?jǐn)?shù)。對于這些百分?jǐn)?shù)，你是怎樣理解的？（可以畫圖、舉例說明）

（1）六（2）班男生人數(shù)占全班人數(shù)的45%。

（2）今年全市空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)比去年增加了12%。

2.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，五年級有15%的同學(xué)近視，六年級有12%的同學(xué)近視。小亮認(rèn)為，五年級近視的同學(xué)一定比六年級近視的同學(xué)多。對此，你有什么看法？

3.六（2）班的王恒和張兵是足球愛好者，有一天他們練習(xí)踢點球，王恒的命中率是80%，張兵是75%。誰點球踢得好？如果再比一次，還一定是王恒踢得好嗎？

第1 題側(cè)重了解學(xué)生對百分?jǐn)?shù)表示確定數(shù)據(jù)倍數(shù)關(guān)系的理解，第2 題側(cè)重了解學(xué)生對百分?jǐn)?shù)表示的百分率的認(rèn)識，第3 題側(cè)重了解學(xué)生對百分?jǐn)?shù)表示隨機數(shù)據(jù)關(guān)系的理解，分析學(xué)生的隨機意識。

二、調(diào)查結(jié)果及分析

為了更深入地了解學(xué)生的“前概念”，筆者對調(diào)查結(jié)果進行了細(xì)致的分析，嘗試從學(xué)生關(guān)于百分?jǐn)?shù)認(rèn)識的已有基礎(chǔ)、認(rèn)知水平和發(fā)展可能性三個維度進行?！耙延谢A(chǔ)”側(cè)重了解學(xué)生關(guān)于百分?jǐn)?shù)的知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗，“認(rèn)知水平”側(cè)重了解學(xué)生“前概念”的理解層次及表征方式，“發(fā)展可能性”側(cè)重了解學(xué)生百分?jǐn)?shù)概念的素養(yǎng)表現(xiàn)及發(fā)展水平，筆者將其形成了“三維度六方面”學(xué)情分析框架（如圖1）。

圖1

（一）學(xué)生有關(guān)百分?jǐn)?shù)概念的已有基礎(chǔ)

學(xué)生已經(jīng)有了分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，對百分?jǐn)?shù)意義的理解有了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時在日常生活中他們或多或少也了解了一些百分率。第1 題的調(diào)查結(jié)果表明：所有學(xué)生都能準(zhǔn)確理解并表征“六（2）班男生人數(shù)占全班人數(shù)的45%”的含義，但是在表征百分?jǐn)?shù)意義的方式上有些區(qū)別，67%的學(xué)生能用不同的圖形來表示并能準(zhǔn)確地加以解釋，25.5%的學(xué)生習(xí)慣用文字表示，有7.5%的學(xué)生則習(xí)慣用算式表示。在用圖形表征的學(xué)生中，有32.8%的學(xué)生選擇用圓形圖表示，24.6%的學(xué)生選擇用線段圖表示，42.6%的學(xué)生選擇用矩形圖表示。

值得注意的是，只有約66.7%的學(xué)生能夠較準(zhǔn)確地理解“今年全市空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)比去年增加了12%”的含義。

百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是表示一個比率，每個百分?jǐn)?shù)所表示的具體數(shù)量既和它本身的大小有關(guān)，也和它整體的數(shù)量有關(guān)。第2 題的調(diào)查結(jié)果：20.5%的學(xué)生認(rèn)為，15%＞12%，所以五年級近視的人數(shù)一定比六年級的多；79.5%的學(xué)生認(rèn)為“不一定，因為兩個年級的人數(shù)不知道”，其中有學(xué)生能夠借助舉例來說明具體的數(shù)量多少。

第3 題的調(diào)查結(jié)果：66.7%的學(xué)生認(rèn)為一定是王恒踢得好，理由是80%＞75%；33.3%的學(xué)生認(rèn)為不一定，理由是再踢一次不一定是王恒踢得好。

（二）學(xué)生有關(guān)百分?jǐn)?shù)概念的表征水平

對于第1 題的第（2）小題用百分?jǐn)?shù)表示一個量和另一個量的倍數(shù)關(guān)系，學(xué)生的認(rèn)知水平表現(xiàn)出了明顯的區(qū)別，于是筆者又進一步分析學(xué)生對于這一情境中百分?jǐn)?shù)所表示意義的表征水平層次。具體結(jié)果如表1 所示。

表1 學(xué)生對百分?jǐn)?shù)表示一個量和另一個量的倍數(shù)關(guān)系的表征水平層次結(jié)果

表2 六年級男生1 分鐘跳繩情況統(tǒng)計表

水平一：不能理解這里的百分?jǐn)?shù)表示的是對兩個量進行比較的結(jié)果。這部分學(xué)生只表示出去年的12%，未能清楚地表征“今年比去年增加的部分”與去年比較的關(guān)系（如圖2）。

圖2

水平二：僅能理解這里的百分?jǐn)?shù)表示的是對兩個量比較的結(jié)果。這部分學(xué)生知道12%是今年比去年增加的，但未能表征增加的12%的單位“1”是去年的（如圖3）。

水平三：能理解這里的百分?jǐn)?shù)表示的是對兩個量比較的結(jié)果并能準(zhǔn)確表征，有的學(xué)生對“12%”的單位“1”給出了更加準(zhǔn)確的解釋（如圖4）。

圖4

（三）學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展的現(xiàn)狀與可能分析

百分?jǐn)?shù)不僅可以表示確定數(shù)據(jù)的倍數(shù)關(guān)系，還可以表示隨機數(shù)據(jù)的倍數(shù)關(guān)系。因此，這一內(nèi)容對于學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)意識方面。而對百分?jǐn)?shù)意義的理解也必然會應(yīng)用圖形表征，因而有利于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。同時，百分?jǐn)?shù)在實際生活中應(yīng)用廣泛，因而有利于發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識。從調(diào)查結(jié)果來看，66.7%的學(xué)生的隨機意識的發(fā)展還比較薄弱，38%的學(xué)生在借助圖形表征一個量是另一個量的百分之幾時仍感到困難，數(shù)的意義理解與形的結(jié)合能力還有待發(fā)展。從調(diào)查涉及的實際問題來看，還有33%左右的學(xué)生對實際問題中的百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用理解感到困難，應(yīng)用意識有待增強。

三、精準(zhǔn)實施教學(xué)

基于上述對學(xué)校六年級學(xué)生認(rèn)識百分?jǐn)?shù)的學(xué)情分析，教師更清晰地把握了學(xué)生認(rèn)識百分?jǐn)?shù)的“前概念”，這為教師從已有的知識經(jīng)驗、思維水平和素養(yǎng)發(fā)展等方面引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)百分?jǐn)?shù)的意義，實施精準(zhǔn)教學(xué)提供了很多有益的啟示。

（一）會說話的“百分?jǐn)?shù)”

調(diào)查結(jié)果表明，學(xué)生對于理解部分量占總量的百分?jǐn)?shù)意義比較簡單，但是對于理解兩個相關(guān)量的百分比還有一定的難度。因此，教師在教學(xué)時要關(guān)注百分?jǐn)?shù)意義的抽象概括過程，引導(dǎo)學(xué)生真正理解百分?jǐn)?shù)的意義，同時要關(guān)注用百分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）百分之幾的意義的理解，體會“百分?jǐn)?shù)”會說話。

（1）談話：百分?jǐn)?shù)在生活中有著廣泛的應(yīng)用，教師也帶來了幾個百分?jǐn)?shù)（如圖5），你知道這些百分?jǐn)?shù)表示的意思嗎？請同學(xué)們按照任務(wù)單上的內(nèi)容獨立思考探究，完成后小組內(nèi)合作交流。

圖5

（2）組織學(xué)生匯報交流。

生1：男生人數(shù)和全班人數(shù)比較，把全班人數(shù)看作單位“1”，平均分成100 份，男生人數(shù)有這樣的40 份。

生2：九月份用水量和八月份用水量比較，把八月份用水量看作單位“1”，平均分成100 份，九月份用水量有這樣的95.5 份。

生3：今年比去年增加空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)與去年的比較，把去年空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)看作單位“1”，平均分成100 份，增加的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)有這樣的12 份。

師：這里哪個百分?jǐn)?shù)比較特殊？

生：95.5%比較特殊，它的分子是一個小數(shù)。

（3）抽象概括百分?jǐn)?shù)的意義。

師：什么是百分?jǐn)?shù)？你們能用自己的方式表示百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系嗎？

生1：百分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。

生2：百分?jǐn)?shù)的分母是100，分母是100 的分?jǐn)?shù)不一定是百分?jǐn)?shù)。

（4）理解百分比。

師：根據(jù)六（2）班男生人數(shù)占全班人數(shù)的40%，你能聯(lián)想到什么知識？

生1：老師，我想到了女生人數(shù)占全班人數(shù)的60%。

生2：我發(fā)現(xiàn)了女生人數(shù)與男生人數(shù)的比是3∶2。

生4：還可以這樣說，男生人數(shù)是女生人數(shù)的

師：百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)、比、除法這些學(xué)過的知識是相互聯(lián)系的（如圖6），都可以表示兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系。所以百分?jǐn)?shù)又叫百分比。

圖6

（5）體會百分?jǐn)?shù)表示的具體數(shù)量與單位“1”有關(guān)。

師：學(xué)校繪畫組男生占總數(shù)的10%，學(xué)校書法組男生占總數(shù)的12%，哪個組的男生多？

生1：因為12%大于10%，所以書法組的男生多。

生2：無法確定，因為不知道兩個組的人數(shù)。

師：這里的百分?jǐn)?shù)表示的大小與什么有關(guān)？

生：既與單位“1”有關(guān)，還與本身的大小有關(guān)。

（二）調(diào)皮的“命中率”

調(diào)查結(jié)果表明，66.7%的學(xué)生的隨機意識的發(fā)展還比較薄弱，他們對于百分?jǐn)?shù)可以表示隨機數(shù)據(jù)的倍數(shù)關(guān)系的認(rèn)識還比較模糊。因此在教學(xué)時，教師應(yīng)幫助學(xué)生強化對“命中率”意義的理解，引導(dǎo)學(xué)生體會“命中率”是通過抽樣或調(diào)查得到的，如果用一次抽樣或調(diào)查的結(jié)果來分析、判斷，所得到的結(jié)論不能“百分之百”地成立，要考慮數(shù)據(jù)本身的“隨機性”。當(dāng)然，還可以讓學(xué)生在具體情境中自己確定標(biāo)準(zhǔn)，體會百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義，增強數(shù)據(jù)的隨機意識。

（1）出示任務(wù)：（如圖7）

圖7

師：誰的點球踢得好？

生1：我認(rèn)為王恒踢得好，因為80%大于75%。

生2：我認(rèn)為不能確定誰踢得好，因為不知道踢的總次數(shù)。

生3：如果總次數(shù)一定，我認(rèn)為是王恒踢得好，因為王恒踢進的個數(shù)多。

師：如果再比一次，你覺得誰會贏？

生1：我認(rèn)為王恒不一定贏，因為王恒每一場點球的命中率可能不一樣，第一場的命中率是80%，第二場的命中率可能高于80%。也可能低于80%。

生2：兩個人都有可能贏，就要看誰臨場發(fā)揮得好。

生3：我覺得王恒贏的可能性大一些，畢竟他的命中率更高。

師：王恒踢點球1 次，踢中1 次，命中率100%；另一次比賽，他踢點球10 次，踢中8 次，命中率80%。哪個“命中率”能代表他的水平呢？

生1：肯定是80%，因為踢的次數(shù)少沒有代表性。

生2：踢的次數(shù)多一點，統(tǒng)計命中率就會準(zhǔn)一些。

師：是的，如果讓王恒踢點球50 次，踢中40 次；踢點球500 次，踢中401 次……直至踢更多的次數(shù)，這時他的點球命中率大約是80%。只有擁有足夠多的數(shù)據(jù)時，命中率才是可靠的。

師：通過對點球命中率的研究，你還能想到哪些百分率？

生1：出勤率，如六（1）班有50 人，實際到校48 人，出勤率為96%。

生2：我還想到優(yōu)秀率、及格率……

師：通過對命中率、出勤率的研究，你們對百分?jǐn)?shù)又有什么新的認(rèn)識？

生1：百分?jǐn)?shù)可以表示兩個隨機數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。

生2：命中率要統(tǒng)計更多的數(shù)據(jù)才是準(zhǔn)確的。

師（小結(jié)）：百分?jǐn)?shù)既可以表示確定的數(shù)據(jù)，也可以表示隨機的數(shù)據(jù)。

（2）小組合作制定六年級男生1 分鐘跳繩的標(biāo)準(zhǔn)。

師：小組商量怎樣制定六年級男生1 分鐘跳繩標(biāo)準(zhǔn)。

生1：我們先要收集六年級所有男生1 分鐘跳繩的數(shù)據(jù)，然后整理數(shù)據(jù)。

生2：我們可以統(tǒng)計六年級男生跳繩個數(shù)的平均數(shù)，再制定標(biāo)準(zhǔn)。

生3：也可以根據(jù)他們跳繩的情況，借助百分?jǐn)?shù)定標(biāo)準(zhǔn)。

師：要收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，最后才能制定標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)表1 中的數(shù)據(jù)，你們能制定六年級男生1分鐘跳繩的標(biāo)準(zhǔn)嗎？并說一說這樣制定的理由。

生1：我們小組劃分了優(yōu)秀、良好、合格和不合格四個等級比例各占25%，比例均等。

生2：99 個及以下定為不合格，占17%； 100～119個定為合格，占22%；120～159 個定為良好，約占55%；160 個及以上為優(yōu)秀，占6%。大多數(shù)人能得良好。

生3：我們小組將160 個及以上定為優(yōu)秀，占14%，120～159 個定為良好，占47%；80～119 個定為合格，占32%；80 個以下定為不合格，占7%。

師（評價）：第一種各占25%，不合格和優(yōu)秀的人數(shù)都偏多；第2 種優(yōu)的人數(shù)比例偏少，不合格和良好的人數(shù)偏多；第3 種更多的人達標(biāo)，容易調(diào)動同學(xué)們跳繩的積極性。

（2）表3 是《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》中六年級男生1 分鐘跳繩標(biāo)準(zhǔn)：

表3 六年級男生1 分鐘跳繩標(biāo)準(zhǔn)

師：對比國家1 分鐘男生跳繩標(biāo)準(zhǔn)，你們有什么想說的？

生1：我們制定的標(biāo)準(zhǔn)比國家的標(biāo)準(zhǔn)要高不少。

生2：對比國家標(biāo)準(zhǔn)，說明我們學(xué)校六年級男生的跳繩成績明顯高于全國的水平。

生3：國家標(biāo)準(zhǔn)可以適當(dāng)調(diào)整，及格所占比例太大，優(yōu)秀的標(biāo)準(zhǔn)有點低，不利于調(diào)動學(xué)生的積極性。

……