蔡靜

［摘 要］APOS理論是一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色、以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)理論。APOS理論可用于指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)。文章以“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，提出關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)圖形概念教學(xué)的四個(gè)建議，助力“圖形的認(rèn)識(shí)”概念課教學(xué)的真正落地，促使學(xué)生發(fā)展空間觀念。

［關(guān)鍵詞］APOS理論；圖形概念；幾何教學(xué)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）26-0059-04

APOS理論是美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人提出的數(shù)學(xué)教學(xué)理論。它將學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程科學(xué)地劃分成活動(dòng)（Action）、過程（Process）、對(duì)象（Object）、圖式（Schema）四個(gè)階段，同時(shí)指出每個(gè)階段對(duì)學(xué)生的教學(xué)要求：活動(dòng)階段是學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程，目的是更好地感知概念、建立表象；過程階段是學(xué)生在經(jīng)歷活動(dòng)階段后對(duì)活動(dòng)進(jìn)行思考和反思的過程，目的是抓住概念的本質(zhì)；對(duì)象階段是學(xué)生在經(jīng)歷活動(dòng)和過程這兩個(gè)階段后，能夠自己對(duì)要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念賦予定義和符號(hào)化的過程，目的是達(dá)到精致化；圖式階段是學(xué)生將原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的概念與新獲得的概念進(jìn)行聯(lián)系的過程，目的是形成新的概念圖式。

一、APOS 理論有助于指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)圖形概念的教學(xué)

圖形與幾何在小學(xué)階段包括“圖形的認(rèn)識(shí)與測量”“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”兩大主題。本文主要研究圖形的認(rèn)識(shí)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，圖形的認(rèn)識(shí)主要是對(duì)圖形的抽象。具體表現(xiàn)為：學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際物體抽象出幾何圖形的過程，認(rèn)識(shí)圖形的特征，感悟點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系；積累觀察和思考的檢驗(yàn)，逐步形成空間觀念。

APOS理論是針對(duì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的建構(gòu)學(xué)習(xí)理論，能夠很好地幫助教師規(guī)劃“圖形的認(rèn)識(shí)”概念課教學(xué)的順序和過程，對(duì)教學(xué)具有指導(dǎo)意義。例如，活動(dòng)階段，強(qiáng)調(diào)通過學(xué)生外顯的觀察和動(dòng)手操作或內(nèi)隱的思維活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的自主探究和初步感知；過程階段，強(qiáng)調(diào)反思總結(jié)，實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的理性認(rèn)識(shí)；對(duì)象階段，強(qiáng)調(diào)通過同化或順應(yīng)，用自己的語言或數(shù)學(xué)語言對(duì)圖形進(jìn)行表征，實(shí)現(xiàn)概念的精致化；圖式階段，強(qiáng)調(diào)建構(gòu)總體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，建立圖形與圖形之間、圖形內(nèi)部元素之間的聯(lián)系。通過這四個(gè)階段，讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、自主探究、解決問題、創(chuàng)造應(yīng)用等過程，將概念形成與概念同化有機(jī)地結(jié)合在一起，揭示概念本質(zhì)屬性，建構(gòu)系統(tǒng)化的概念圖式，達(dá)到對(duì)概念的深度理解。

二、APOS 理論視角下小學(xué)數(shù)學(xué)圖形概念教學(xué)建議

1.活動(dòng)階段，現(xiàn)實(shí)入學(xué)

（1）創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

小學(xué)生對(duì)圖形的感知多來源于生活情境。而圖形的原型在生活中的呈現(xiàn)方式會(huì)附帶一些無關(guān)數(shù)學(xué)研究的特征，這就需要教師進(jìn)行選擇，既要?jiǎng)?chuàng)設(shè)真實(shí)情境，激發(fā)興趣，又要與圖形的特征緊密相連。如設(shè)計(jì)認(rèn)識(shí)三角形時(shí)，課前可以播放實(shí)驗(yàn)視頻“三根火柴吊起一瓶水，是真的嗎？”。

師：我們來看實(shí)驗(yàn)中這張非常關(guān)鍵的圖（如圖1），這里有你認(rèn)識(shí)的圖形嗎？

生（齊）：三角形。

師：看來大家都知道什么樣的圖形是三角形了，那在生活中還有哪些地方能見到三角形？

（教師引導(dǎo)學(xué)生舉例，并引入本課題）

學(xué)生對(duì)生活中的三角形有一定認(rèn)識(shí)，導(dǎo)入環(huán)節(jié)如果只是生活中的三角形圖片會(huì)比較枯燥，通過實(shí)驗(yàn)視頻導(dǎo)入，能使課堂更加鮮活，同時(shí)也為后續(xù)介紹三角形的穩(wěn)定性埋下伏筆。

（2）精準(zhǔn)設(shè)計(jì)問題，突出本質(zhì)特征

小學(xué)生掌握?qǐng)D形的概念需要經(jīng)歷思維過程，教師要合理設(shè)計(jì)問題。問題太大，容易造成學(xué)生對(duì)概念學(xué)習(xí)浮于表面、無從下手；問題太小，容易造成學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)呈離散點(diǎn)狀。對(duì)此，教師需要聚焦概念的本質(zhì)特征，精準(zhǔn)設(shè)計(jì)問題。如在認(rèn)識(shí)三角形的高時(shí)，筆者出示研究對(duì)象——“人”字梁（如圖2），并設(shè)計(jì)三個(gè)問題：①如果要測量“人”字梁的高度，你認(rèn)為該從哪里量到哪里？②實(shí)際上是量圖中的哪條線段？③量的線段和底邊的線段有什么關(guān)系？

小組討論，匯報(bào)交流。從“‘人’字梁的高”自然抽象出“三角形的高”，使學(xué)生對(duì)三角形的高定義的理解水到渠成，也使學(xué)生對(duì)高的本質(zhì)特征“點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線段”形成深刻印象。

（3）操作方式多樣，體現(xiàn)手腦并用

操作是學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形最有效的方法之一。在教學(xué)中，為了更有序、更高效地進(jìn)行操作，教師可以設(shè)計(jì)有步驟、有目的、有成果的操作活動(dòng)來提高課堂效率。如教學(xué)認(rèn)識(shí)長方形和正方形時(shí)，可以設(shè)計(jì)三個(gè)活動(dòng)來進(jìn)行操作。

【活動(dòng)1】

①拿出一張長方形紙片，量一量、折一折、比一比。

②小組討論：長方形的邊和角各有什么特點(diǎn)？

【活動(dòng)2】

①拿出一張正方形紙片，根據(jù)剛才的方法驗(yàn)證正方形的邊和角的特點(diǎn)。

②小組討論：正方形的邊和角各有什么特點(diǎn)？

【活動(dòng)3】

①另外拿出一張長方形紙片，在這個(gè)長方形中剪出一個(gè)最大的正方形。

②同桌合作，交流方法。

三個(gè)活動(dòng)在設(shè)計(jì)上具有層次性、目標(biāo)性，讓學(xué)生在探索的過程中一步一步觸及知識(shí)的本質(zhì)。

2.過程階段，強(qiáng)調(diào)反思

（1）堅(jiān)持學(xué)生主體，自主探索知識(shí)

APOS理論重視學(xué)生主體地位。因此，教師可將學(xué)生的自學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)在教學(xué)環(huán)節(jié)中。如在認(rèn)識(shí)梯形時(shí)，組織學(xué)生先自學(xué)教材內(nèi)容，并與同桌交流，再請(qǐng)學(xué)生介紹梯形各部分的名稱。筆者隨機(jī)將梯形轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度，再請(qǐng)學(xué)生指認(rèn)梯形的上底、下底和腰。學(xué)生總結(jié)：不管怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，梯形的上底、下底總是平行的，兩條腰不平行。這樣“自學(xué)+匯報(bào)+反思”的學(xué)習(xí)方式，鍛煉了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。

（2）注重反省思考，提升理性思維

APOS理論強(qiáng)調(diào)只有不斷反思，學(xué)生才會(huì)對(duì)知識(shí)有深度的認(rèn)識(shí)。如在研究圓的半徑與直徑的關(guān)系時(shí)，針對(duì)個(gè)別學(xué)生提出的“兩條半徑等于一條直徑”，組織學(xué)生討論這樣的說法是否恰當(dāng)。學(xué)生認(rèn)為，從長度的角度來說，兩條半徑的長度等于一條直徑的長度，即d=2r，但從位置的角度來說，這種說法是錯(cuò)的。再如學(xué)生通過研究提出“直徑是圓內(nèi)最長的線段”，教師可鼓勵(lì)學(xué)生利用三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊” （如圖3）進(jìn)行思辨。

（3）重視多維互動(dòng)，促進(jìn)概念建構(gòu)

APOS 理論注重為學(xué)生創(chuàng)建氛圍良好的學(xué)習(xí)環(huán)境。課堂教學(xué)離不開討論、表達(dá)、傾聽等互動(dòng)方式。如教學(xué)圓柱的表面積時(shí)，學(xué)生動(dòng)手操作，主動(dòng)探究圓柱的側(cè)面積。在匯報(bào)交流時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，圓柱的側(cè)面雖有兩種剪法（沿著高線剪、不沿高線剪），但是圓柱的側(cè)面展開圖都可轉(zhuǎn)化成長方形。通過對(duì)比觀察圓柱的側(cè)面與展開圖，學(xué)生找到圓柱的底面周長、高與側(cè)面展開圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后，學(xué)生總結(jié)出圓柱的側(cè)面積及圓柱的表面積計(jì)算公式。整個(gè)過程環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)，師生互動(dòng)，生生互動(dòng)，共同促進(jìn)了思維的發(fā)展。

3.對(duì)象階段，引導(dǎo)深學(xué)

（1）關(guān)注練習(xí)設(shè)計(jì)，把握?qǐng)D形特征

對(duì)象階段要求學(xué)生將前兩個(gè)階段獲得的新知在頭腦中進(jìn)行加工和整合（同化或順應(yīng)）。如何推動(dòng)這樣的加工有效進(jìn)行？練習(xí)的設(shè)計(jì)就顯得尤為重要。教材上的練習(xí)題都是精心設(shè)計(jì)的，教師可以充分挖掘其價(jià)值，創(chuàng)造性地進(jìn)行練習(xí)設(shè)計(jì)。如在軸對(duì)稱圖形的練習(xí)中，將原來單一層次的練習(xí)改編成四個(gè)層次的練習(xí)（如圖4）。學(xué)生在這樣有層次的練習(xí)活動(dòng)中，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)想，促進(jìn)空間觀念自然成長。

（2）引導(dǎo)說理辨析，觸及圖形本質(zhì)

學(xué)生在認(rèn)識(shí)圖形中容易犯的錯(cuò)誤主要集中在對(duì)圖形外觀的認(rèn)識(shí)和對(duì)本質(zhì)特征的理解上。教師可以多創(chuàng)造一些機(jī)會(huì)，針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)新概念時(shí)可能產(chǎn)生的誤解設(shè)計(jì)一些判斷題、選擇題，引導(dǎo)學(xué)生說理辨析，用語言表達(dá)自己的思考。這樣能使學(xué)生的思維外顯，讓教師不僅能夠看到學(xué)生思考問題的過程，還能及時(shí)地給予指導(dǎo)，同時(shí)讓更多的學(xué)生發(fā)表自己的看法，讓學(xué)生在師生交流、生生交流的過程中對(duì)自己已有的認(rèn)識(shí)進(jìn)行修正和完善。

（3）聚焦核心素養(yǎng)，發(fā)展空間觀念

空間觀念是一種重要的核心素養(yǎng)表現(xiàn)，要想落實(shí)在日常教學(xué)中，教師應(yīng)思考設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)和評(píng)價(jià)任務(wù)。如在圓的認(rèn)識(shí)練習(xí)中，將生活與圓的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來。

師（出示圖5）：你們研究半徑的時(shí)候，畫過這樣的圖嗎？聯(lián)想一下，生活當(dāng)中你見過類似的物體圖形嗎？

生1：比薩餅。

生2：切好的蛋糕。

生3：攔腰切檸檬時(shí)形成的切面。

生4：從高空看螺旋槳旋轉(zhuǎn)的樣子。

師：同學(xué)們都有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，有的同學(xué)還想到了動(dòng)態(tài)的圓，真棒！

數(shù)學(xué)來源于生活。課始由生活中的圓形物體抽象得到數(shù)學(xué)中的圓，課中由數(shù)學(xué)中的圓聯(lián)想到生活中鮮活的實(shí)例，如此來回呼應(yīng)，讓學(xué)生的思維由具象到抽象，再由抽象到具象，讓學(xué)生真正學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界。

4.圖式階段，注重聯(lián)學(xué)

（1）注重概念聯(lián)系，靈活對(duì)比遷移

APOS理論注重概念之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)要充分挖掘?qū)W生的已有知識(shí)，通過對(duì)比遷移，更好地將新概念納入已有的圖式結(jié)構(gòu)，形成新圖式。如在教學(xué)梯形時(shí)，可以設(shè)計(jì)“變一變”環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生動(dòng)態(tài)感受平行四邊形、梯形、三角形之間的聯(lián)系。

師（出示圖6）：怎樣移動(dòng)點(diǎn)D，使平行四邊形變成梯形？

（學(xué)生將點(diǎn)D移到和點(diǎn)C齊平的位置）

師：這樣移動(dòng)后，哪一組邊互相平行？哪兩條是腰？用手勢比畫一下。為什么這樣移動(dòng)點(diǎn)D，平行四邊形就變成了梯形？

生1：平行四邊形是兩組對(duì)邊平行且相等的圖形，移動(dòng)點(diǎn)D后就只有一組對(duì)邊平行，變成了梯形。

（學(xué)生將點(diǎn)D移到接近點(diǎn)A的位置停下）

師：怎么不繼續(xù)往前移了？

生2：再移就變成三角形了。當(dāng)梯形的上底長度變成0時(shí)，就成三角形了。

在動(dòng)態(tài)移動(dòng)過程中，學(xué)生充分感受到新舊概念之間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系，促進(jìn)了圖形概念間的相互遷移。

（2）打破知識(shí)阻隔，構(gòu)建心理圖式

APOS 理論指出，概念學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)就是要讓學(xué)生建立知識(shí)圖式。這需要教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)，幫助學(xué)生在相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容之間建立多樣化的聯(lián)系，形成清晰、穩(wěn)定的知識(shí)結(jié)構(gòu)。在方法上，教師可以采取一些結(jié)構(gòu)化的圖式促進(jìn)知識(shí)的聯(lián)系性建構(gòu)，如集合圖、流程演示圖等。如教學(xué)認(rèn)識(shí)梯形時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了“猜一猜”環(huán)節(jié)。

師：魔法袋里藏著一個(gè)四邊形，你們猜可能是什么圖形？

師：你能用今天學(xué)過的數(shù)學(xué)語言說一句話，使魔法袋里的圖形是梯形嗎？

師：若已知這個(gè)圖形有兩組對(duì)邊互相平行，猜一猜，可能是什么圖形？

師（出示部分是直角的圖形）：現(xiàn)在你覺得會(huì)是什么圖形？

師（課件出示文字“每條邊長度都相等”）：現(xiàn)在你覺得是什么圖形？

（學(xué)生小結(jié)，并畫出如圖7所示的四邊形的關(guān)系圖示）

（3）重視知識(shí)梳理，提升結(jié)構(gòu)思維

APOS理論認(rèn)為，無論是單個(gè)圖式還是多個(gè)圖式的建立，都是為了促進(jìn)圖式間的遷移。因此，在教學(xué)中，教師可以提問的方式引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行自我梳理。如“我們今天學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？”“我們是如何學(xué)習(xí)的？”“我們用了哪些方法進(jìn)行探索？”等問題。利用這些問題引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的、碎片化的知識(shí)以一定的邏輯進(jìn)行整理，使學(xué)生的學(xué)習(xí)變得有序化、結(jié)構(gòu)化。這樣的教學(xué)有利于學(xué)生心理圖式的真實(shí)展現(xiàn)，也有利于教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

綜上所述，在APOS理論下的教學(xué)中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)要聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際，精心選擇利于教學(xué)數(shù)學(xué)圖形概念的內(nèi)容，使教學(xué)內(nèi)容具有探究性，讓學(xué)生在探究的過程中促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)圖形概念的學(xué)習(xí)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 鄭毓信.小學(xué)數(shù)學(xué)概念與思維教學(xué)[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014.

[3] 李晨曦. APOS理論視角下小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形的認(rèn)識(shí)”概念教學(xué)研究[D].漳州：閩南師范大學(xué)，2022.

【本文系無錫市“十四五”規(guī)劃立項(xiàng)重點(diǎn)課題“基于APOS理論促進(jìn)深度理解的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究”（編號(hào)：G/B/2021/03）的階段性研究成果?！?/p>

（責(zé)編 覃小慧）