張華

［摘 要］為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識，需要讓他們參與整個統(tǒng)計(jì)過程，包括猜測、實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)收集和數(shù)據(jù)分析。在這個過程中，教師可以利用多媒體和現(xiàn)代技術(shù)手段，幫助學(xué)生更深刻地理解數(shù)據(jù)，親身體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)思維的產(chǎn)生和發(fā)展。在學(xué)生認(rèn)識到數(shù)據(jù)分析的重要性后，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)獲取部分?jǐn)?shù)據(jù)，再根據(jù)這些數(shù)據(jù)推斷整體情況。在不斷質(zhì)疑、驗(yàn)證和探究的過程中，學(xué)生逐漸形成數(shù)據(jù)意識。

［關(guān)鍵詞］經(jīng)歷；數(shù)據(jù)意識；規(guī)律；擲一擲

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）26-0011-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，“統(tǒng)計(jì)與概率”是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，在小學(xué)階段包括“數(shù)據(jù)分類”“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”和“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”三個主題。其中，“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”涵蓋了數(shù)據(jù)的收集能力和使用統(tǒng)計(jì)圖表、平均數(shù)、百分?jǐn)?shù)來表達(dá)數(shù)據(jù)的能力。通過這些主題，學(xué)生將親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集的過程，并能夠發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的有價值的數(shù)學(xué)信息，從而初步形成數(shù)據(jù)意識。

如何在“統(tǒng)計(jì)與概率”這個知識板塊中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識是一線教師一直在思考的問題。傳統(tǒng)教學(xué)往往強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)的結(jié)果和程序化的計(jì)算過程，而忽視了數(shù)據(jù)結(jié)果的猜想、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的收集、數(shù)據(jù)的分析與驗(yàn)證，以及最終得出確定性理論的完整統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)過程。這種教學(xué)方法雖然能使學(xué)生掌握概率統(tǒng)計(jì)的計(jì)算過程與結(jié)論，但卻讓課堂缺少了猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、結(jié)論推導(dǎo)等學(xué)習(xí)活動。因此，需要改變這種“重數(shù)據(jù)結(jié)果，輕經(jīng)歷過程”的教學(xué)方式。下面將以人教版教材五年級上冊“擲一擲”教學(xué)為例，說明“重歷統(tǒng)計(jì)過程”對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)意識的重要性。

“擲一擲”是一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課，其設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生積極參與統(tǒng)計(jì)過程，分析實(shí)驗(yàn)采集的數(shù)據(jù)，合理推理與解釋數(shù)據(jù)分析的結(jié)果，并經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、得出結(jié)論的過程。通過這個過程，學(xué)生能夠發(fā)展數(shù)據(jù)意識，提高數(shù)據(jù)分析能力，在玩樂的過程中獲得數(shù)學(xué)知識，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面將對教學(xué)中的幾個環(huán)節(jié)進(jìn)行闡述，說明如何讓學(xué)生更加重視統(tǒng)計(jì)過程，以提高他們的數(shù)據(jù)意識。

一、驗(yàn)證猜想，體會數(shù)據(jù)收集的必要性

為了讓學(xué)生經(jīng)歷一個良好有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，教師需要創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活密切相關(guān)且能引發(fā)學(xué)生興趣的數(shù)學(xué)情境。這些情境要能夠引起學(xué)生思維上的沖突，激發(fā)他們的求知欲。在情境中，猜想和驗(yàn)證成為極為關(guān)鍵的解決問題的方法，它們能夠激發(fā)學(xué)生主動參與和積極探究。

課始，教師簡單介紹了骰子的知識以后，提出和學(xué)生玩一個游戲，并出示游戲規(guī)則（如圖1）。

學(xué)生在對游戲公平性的探討過程中感受到骰子六個面出現(xiàn)的可能性是一樣的，并得出“所占投擲結(jié)果情況多的一方更占優(yōu)勢”的結(jié)論。這符合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，也為后面在“兩顆骰子”的游戲中產(chǎn)生認(rèn)知沖突做了鋪墊。

教師再出示“兩顆骰子”游戲的規(guī)則（如圖2），讓學(xué)生猜想A、B兩組中哪一組贏的可能性更大。

學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行猜測，出現(xiàn)了兩種看法。這時，教師可追問：“如何才能知道哪一組贏的可能性大？誰的猜想是對的呢？”學(xué)生馬上提出要做實(shí)驗(yàn)。

在猜想與驗(yàn)證的推動下，學(xué)生主動進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集、整理和分析。在這個過程中，學(xué)生深刻體驗(yàn)到統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對問題解決的重要性，逐漸掌握數(shù)據(jù)分析的步驟，也逐漸形成數(shù)據(jù)意識。

二、實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)，體驗(yàn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的隨機(jī)性

分析推斷性數(shù)據(jù)的目的是通過數(shù)據(jù)推斷出產(chǎn)生這些數(shù)據(jù)的背景情況。在進(jìn)行調(diào)查和實(shí)驗(yàn)之前，人們通常不知道數(shù)據(jù)的確切數(shù)值，即數(shù)據(jù)的出現(xiàn)具有一定的隨機(jī)性。

因此，本節(jié)課設(shè)計(jì)了兩個不同層次的活動，旨在幫助學(xué)生深切體驗(yàn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的隨機(jī)性。從擲一顆骰子到擲兩顆骰子，從單獨(dú)描述擲一個骰子的結(jié)果到小組成員輪流擲兩顆骰子，逐步擴(kuò)展到學(xué)生對不確定現(xiàn)象和可能性大小的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“每次擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)和都是不確定的”這一現(xiàn)象，從而真切地體驗(yàn)了數(shù)據(jù)出現(xiàn)的隨機(jī)性。

筆者提供了相應(yīng)的活動要求（如圖3）和統(tǒng)計(jì)記錄單（如圖4）。圖5為4個小組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

學(xué)生通過20次實(shí)驗(yàn)得出了一些初步的結(jié)論。觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果時，個別學(xué)生注意到中間數(shù)字的“和”出現(xiàn)的頻率較高，而兩邊數(shù)字的“和”出現(xiàn)的頻率較低（這種趨勢還不夠明顯，可能是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)次數(shù)相對較少）。在這一過程中，學(xué)生已經(jīng)初步感受到了統(tǒng)計(jì)與概率的魅力。不同小組的反饋結(jié)果也讓學(xué)生認(rèn)識到統(tǒng)計(jì)結(jié)果可能因數(shù)據(jù)采樣的不同而有所差異。一些小組甚至出現(xiàn)了B組獲勝的情況，這使得課堂教學(xué)更加有趣。通過這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，學(xué)生再次深刻體驗(yàn)到了數(shù)據(jù)出現(xiàn)的隨機(jī)性。

理論上，根據(jù)部分?jǐn)?shù)據(jù)可以推斷整體情況，但部分?jǐn)?shù)據(jù)可能受到隨機(jī)因素的影響，因此得出的結(jié)論可能存在偏差。這為后續(xù)概率統(tǒng)計(jì)的理論教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。

三、觀察分析，感受數(shù)據(jù)背后的規(guī)律性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對數(shù)據(jù)意識的描述強(qiáng)調(diào)了以下幾點(diǎn)：首先，學(xué)生應(yīng)該認(rèn)識到，在現(xiàn)實(shí)生活中很多問題需要進(jìn)行調(diào)查研究并收集相關(guān)數(shù)據(jù)，以便理解數(shù)據(jù)中所蘊(yùn)含的信息；其次，學(xué)生應(yīng)該明白，即使是相同的事物，每次收集到的數(shù)據(jù)也可能會有差異，但只要有足夠的數(shù)據(jù)，就有可能發(fā)現(xiàn)規(guī)律和趨勢。

在“擲一擲”教學(xué)中，為了讓學(xué)生對數(shù)據(jù)做出更加合理的判斷，筆者用Excel表格匯總了各個小組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（見表1），并提問：“觀察這些數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？”

學(xué)生觀察后進(jìn)行總結(jié)：點(diǎn)數(shù)之和越靠近中間的數(shù)，擲出它的次數(shù)越多。為了讓學(xué)生對部分?jǐn)?shù)據(jù)的隨機(jī)性以及整體的規(guī)律性有更加深刻的了解，教師在肯定學(xué)生發(fā)現(xiàn)的同時追問：“在有些小組的數(shù)據(jù)中，為什么會出現(xiàn)擲出兩邊的數(shù)的次數(shù)比擲出中間的數(shù)的次數(shù)多的情況？”有學(xué)生說：“因?yàn)閷?shí)驗(yàn)的次數(shù)太少了?！苯處熆衫^續(xù)追問：“那怎么辦？”從而引導(dǎo)學(xué)生想到將全班的數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總來找整體的規(guī)律性。

教師使用Excel表格等工具來統(tǒng)計(jì)各個小組的數(shù)據(jù)并生成統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖（如圖6），這一過程可以不斷地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。隨著數(shù)據(jù)的增加，學(xué)生可以觀察到統(tǒng)計(jì)圖的形狀趨于穩(wěn)定——形成明顯的“山”狀圖形。這有助于學(xué)生深刻體驗(yàn)到：隨著數(shù)據(jù)量的增加，數(shù)據(jù)中的某種規(guī)律逐漸浮現(xiàn)。這種體驗(yàn)讓學(xué)生更全面地理解了數(shù)據(jù)的整體性，并對數(shù)據(jù)分析有了更加完整的認(rèn)識。

在輸入數(shù)據(jù)的過程中，教師不斷地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“隨著數(shù)據(jù)的增加，統(tǒng)計(jì)圖的‘山’狀越來越穩(wěn)定”的規(guī)律（如圖7）。

在實(shí)際的教學(xué)過程中，由于數(shù)據(jù)還不夠多，因此仍然可能會出現(xiàn)圖6中“點(diǎn)數(shù)之和為12出現(xiàn)的次數(shù)多于點(diǎn)數(shù)之和為11”的情況。在這種情況下，教師可向?qū)W生提出問題：“為什么會出現(xiàn)這樣的情況？”通過這種引導(dǎo)，學(xué)生會逐漸認(rèn)識到，數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，因?yàn)闆]有足夠多的數(shù)據(jù)，所以偶然性事件仍然會發(fā)生，不過，這種偶然性事件發(fā)生的機(jī)會會隨著數(shù)據(jù)量的增加而逐漸減少。這將激發(fā)學(xué)生主動探索的欲望，鼓勵他們積極尋求更多的數(shù)據(jù)，以便更全面地探索規(guī)律。

四、歸納推理，感悟數(shù)據(jù)出現(xiàn)的必然性

透過現(xiàn)象看本質(zhì)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)最終需要深入探究數(shù)學(xué)的本質(zhì)。當(dāng)已有的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生沖突時，這種沖突可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行質(zhì)疑，并促使他們提出問題，如“為什么會出現(xiàn)‘點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)的次數(shù)兩邊低中間高’的情況？” 這能引起學(xué)生繼續(xù)深入探究數(shù)學(xué)本質(zhì)的渴望，激發(fā)他們積極思考。在每次教學(xué)中，都會有學(xué)生在這一環(huán)節(jié)中認(rèn)識到“每個點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)的概率是不同的，這與數(shù)字的組合方式有關(guān)”。 當(dāng)學(xué)生提到點(diǎn)數(shù)之和為2和12的數(shù)字組合情況的唯一性時，教師可以通過板書引導(dǎo)學(xué)生完成其他點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)字組合情況。在反饋的過程中，一些學(xué)生甚至能對圖2中A組和B組獲勝條件的點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)字組合情況進(jìn)行綜合總結(jié)（如圖8-1、8-2）。

從數(shù)據(jù)分析到探究原因，從實(shí)踐操作到理論分析，這一過程是學(xué)生自己的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)“推動”著學(xué)生思考，是學(xué)生主動的探究和發(fā)現(xiàn)。學(xué)生還發(fā)現(xiàn)他們所得的整班數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖與通過分析數(shù)的組合情況所得的表格之間，在形狀上存在驚人的相似之處。這使學(xué)生感悟到：任何不確定事件背后都有一定的規(guī)律可循，即使是偶然性事件，其中也包含著必然因素。這種認(rèn)識在一定程度上有助于學(xué)生分析生活中的不確定事件。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排了一些讓學(xué)生進(jìn)行歸納推理的內(nèi)容，但大多涉及計(jì)算公式的推導(dǎo)，如各種平面圖形的面積公式等。像本課這種從自己實(shí)驗(yàn)得出的數(shù)據(jù)出發(fā)，通過部分?jǐn)?shù)據(jù)推斷整體結(jié)果的情況，是具有統(tǒng)計(jì)意義的推理，對學(xué)生來說確實(shí)是一次難得的經(jīng)歷。

要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識，就要讓他們多次參與統(tǒng)計(jì)，親身經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)收集和數(shù)據(jù)分析的過程。在這個過程中，教師可以利用多媒體和現(xiàn)代技術(shù)手段幫助學(xué)生更深刻地理解數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)據(jù)分析的必要性，幫助學(xué)生在不斷質(zhì)疑、驗(yàn)證和探究中，建立和發(fā)展數(shù)據(jù)意識，這具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

（責(zé)編 金 鈴）