胡曉英

［摘 要］從長(zhǎng)度到面積再到體積的學(xué)習(xí)過程代表了從一維到二維再到三維的度量概念的逐漸升級(jí)，這是學(xué)生認(rèn)知上的重要飛躍。教學(xué)“長(zhǎng)方體和正方體的體積”時(shí)，通過知識(shí)遷移、動(dòng)手操作、對(duì)比分析， 讓學(xué)生親身經(jīng)歷從“不知所以然”走向“融會(huì)貫通”的過程，從而累積“量”的學(xué)習(xí)與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生的量感順勢(shì)而生。

［關(guān)鍵詞］知識(shí)遷移；操作體驗(yàn)；量感；本質(zhì)

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）29-0048-04

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，“圖形的認(rèn)識(shí)”和“圖形的測(cè)量”被整合為“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”主題。這個(gè)主題包括圖形的認(rèn)識(shí)以及圖形長(zhǎng)度、角度、周長(zhǎng)、面積和體積的測(cè)量和計(jì)算。“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”具有內(nèi)在的聯(lián)系，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)從整體角度認(rèn)識(shí)圖形和測(cè)量，通過使用統(tǒng)一的度量單位來理解概念。這樣可以幫助學(xué)生真正體會(huì)到統(tǒng)一度量單位的重要性和一致性，并能夠通過度量單位來理解圖形的長(zhǎng)度、角度、周長(zhǎng)、面積和體積，凸顯度量的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，形成知識(shí)鏈。

在小學(xué)階段的“圖形與幾何”領(lǐng)域中，“長(zhǎng)方體和正方體的體積”通常被視為相對(duì)較難的內(nèi)容。然而，教材普遍將這一內(nèi)容分為兩個(gè)階段來編排。一年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)主要是初步認(rèn)識(shí)，側(cè)重于直觀感知和辨認(rèn)，讓學(xué)生能夠理解基本概念。而五年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)則是再認(rèn)識(shí)，著重系統(tǒng)教授長(zhǎng)方體和正方體的相關(guān)知識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。（如圖1-1、1-2）

長(zhǎng)方體和正方體是小學(xué)數(shù)學(xué)中最常見、最基本的立體圖形。學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方體和正方體的體積”之前，學(xué)生對(duì)此已經(jīng)具有一定的整體感知和直觀形象的認(rèn)識(shí)體驗(yàn)，并掌握了體積的概念和常用的體積單位（如圖1-3）。因此，這一節(jié)課旨在讓學(xué)生進(jìn)一步探究和掌握長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算方法，學(xué)會(huì)使用體積公式計(jì)算這些立體圖形的體積，從而不斷深化對(duì)體積概念和體積單位的理解，同時(shí)為下一階段的圓柱、圓錐的體積計(jì)算學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

五年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的推理能力和空間想象能力，已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體和正方體的特征、展開圖，理解了體積的含義，認(rèn)識(shí)了體積單位，還會(huì)計(jì)算這些立體圖形的表面積。然而，他們尚未建立起關(guān)于立體圖形體積計(jì)算的模型，因此在推導(dǎo)體積公式和建立不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系方面可能存在難度。在這個(gè)階段，學(xué)生的思維發(fā)展正逐漸從形象思維轉(zhuǎn)向抽象思維，他們正在逐漸具備從抽象層面思考問題的能力。然而，對(duì)于長(zhǎng)方體的體積公式的推導(dǎo)和不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，學(xué)生可能需要更多的指導(dǎo)。

針對(duì)以上情況，筆者把教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)放在探究為什么“長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高”上，找準(zhǔn)單位度量“承重墻”，打通不同領(lǐng)域、不同維度之間的“隔斷墻”。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷探索長(zhǎng)方體、正方體的體積計(jì)算方法的推導(dǎo)過程，理解并掌握長(zhǎng)方體、正方體的體積公式，以及體積公式的推導(dǎo)方法，能運(yùn)用體積公式解決一些生活中簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

2.通過觀察猜測(cè)、具身操作、小組驗(yàn)證和辨析歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念和類比推理的能力，感悟度量的本質(zhì)。

3.在探索、合作活動(dòng)中，學(xué)會(huì)與人交流、合作，形成樂于探索新知的思維品質(zhì)。

【教學(xué)重點(diǎn)】理解并掌握長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算方法。

【教學(xué)難點(diǎn)】探究為什么“長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高”。

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

一、激活經(jīng)驗(yàn)，提出想法

1.勾連長(zhǎng)度、面積，理解“度量”的意義

師（出示圖2）：這條線段的長(zhǎng)度有多少米？你是怎么知道的？

師（出示圖3）：小正方形的面積是１平方厘米，長(zhǎng)方形的面積是多少？

師：要想知道長(zhǎng)方體的體積，你有什么好建議？

師：線段的長(zhǎng)度是它含有的“長(zhǎng)度單位”的數(shù)量，平面圖形面積的大小是它含有的“面積單位”的數(shù)量，那立體圖形體積的大小是不是它含有的“體積單位”的數(shù)量呢？

【設(shè)計(jì)意圖：通過長(zhǎng)度、面積的鋪墊，學(xué)生能想到“利用邊長(zhǎng)為1厘米的小正方體擺出長(zhǎng)方體，從而測(cè)量出長(zhǎng)方體體積”的方法。】

2.探究長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系

師：猜想長(zhǎng)方體的體積大小與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高之間有什么關(guān)系。

師：猜測(cè)影響長(zhǎng)方體體積大小的是什么因素。數(shù)學(xué)是一門以嚴(yán)謹(jǐn)著稱的學(xué)科，光有猜想可不夠呢，還得進(jìn)一步驗(yàn)證才行。

二、逐級(jí)探究，明確算理

1.初探：實(shí)踐操作，充分感悟

出示小組合作活動(dòng)要求：

A.動(dòng)手操作：? 用1立方厘米的小正方體擺一擺、拼一拼，得出3個(gè)不同的長(zhǎng)方體。

B.觀察記錄：? 邊擺邊數(shù)，把3個(gè)不同長(zhǎng)方體的相關(guān)數(shù)據(jù)填入學(xué)習(xí)單（略）中。

C.總結(jié)討論：? 拼成的長(zhǎng)方體所含體積單位的個(gè)數(shù)可能等于多少？長(zhǎng)、寬、高與拼成的長(zhǎng)方體的每行個(gè)數(shù)、每層行數(shù)、層數(shù)之間有什么關(guān)系？長(zhǎng)方體的體積和長(zhǎng)方體的什么有關(guān)？有怎樣的關(guān)系？

2.再探：匯報(bào)展示，溝通難點(diǎn)，理解本質(zhì)

生1：每一排都有4個(gè)小正方體，共有２排，列式為4×2=8，從而知道每一層都有8個(gè)小正方體，共有2層，8×2=16，拼成的長(zhǎng)方體由16個(gè)小正方體組成，體積是16立方厘米。我們組發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)、寬、高之間的關(guān)系是長(zhǎng)方體的體積等于長(zhǎng)×寬×高。

生2：每行個(gè)數(shù)相當(dāng)于長(zhǎng)，每層行數(shù)相當(dāng)于寬，層數(shù)相當(dāng)于高，小正方體數(shù)量等于“每行個(gè)數(shù)×每層行數(shù)×層數(shù)”，那么體積就等于“長(zhǎng)×寬×高”。

師（動(dòng)畫呈現(xiàn)拼長(zhǎng)方體過程）：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)相當(dāng)于每行個(gè)數(shù)，寬相當(dāng)于每層行數(shù)，“長(zhǎng)×寬”表示一層的個(gè)數(shù)，高表示層數(shù)。因?yàn)殚L(zhǎng)方體所含體積單位的數(shù)量（即小正方體的數(shù)量）就是長(zhǎng)方體的體積，而“小正方體的數(shù)量=每行個(gè)數(shù)×每層行數(shù)×層數(shù)”，所以“長(zhǎng)方體的體積= 長(zhǎng)×寬×高”。

【設(shè)計(jì)意圖：現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)學(xué)生的實(shí)踐數(shù)據(jù)，利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題“長(zhǎng)方體的體積為什么等于長(zhǎng)×寬×高”的思路。這一環(huán)節(jié)培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀與數(shù)據(jù)意識(shí)?！?/p>

3.遷移認(rèn)知，再學(xué)新知

師（出示圖形轉(zhuǎn)化的視頻）：正方體就是比較特殊的長(zhǎng)方體，它的長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)度都相等，也就是棱長(zhǎng)長(zhǎng)度相同。類比推理得出“正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)”。

生3：V=a×a×a=a?。

師：a?怎樣讀，它表示什么？

生4：三個(gè)a連續(xù)相乘，寫成a?，讀作a的立方。

4.歸納統(tǒng)一體積公式

師：長(zhǎng)方體的體積也能用底面積乘高來計(jì)算。用字母S表示底面積，h表示高，用字母表示為V=Sh。

師：長(zhǎng)方體的這兩個(gè)體積公式有什么聯(lián)系呢？

【設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)環(huán)節(jié)有層次，既考查了學(xué)生對(duì)公式的靈活運(yùn)用，又考查了學(xué)生是否仔細(xì)審題。最后的拓展題，是鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法解決問題，而分層練習(xí)，能讓不同層次的學(xué)生體會(huì)到成功的快樂，從而保持旺盛的學(xué)習(xí)熱情?！?/p>

三、溝通三維，構(gòu)建體系

師：有人說長(zhǎng)度、面積和體積的測(cè)量方法是一樣的，你覺得呢？

師：測(cè)量，就是通過觀察數(shù)一數(shù)、通過動(dòng)手量一量，再計(jì)算有多少個(gè)這樣的測(cè)量單位。

【設(shè)計(jì)意圖：度量的本質(zhì)是度量單位個(gè)數(shù)的累加，這個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生溝通了三者的聯(lián)系，即長(zhǎng)度是一維圖形的度量，面積是二維圖形的度量，體積是三維圖形的度量。從長(zhǎng)度到面積再到體積的測(cè)量方法來進(jìn)行系統(tǒng)的分析總結(jié)，度量的本質(zhì)并沒有發(fā)生改變，充分體現(xiàn)了空間與幾何大單元教學(xué)理念中從線到面再到體的空間觀念的發(fā)展規(guī)律?！?/p>

四、適時(shí)小結(jié)，興趣延伸

師：這節(jié)課你有什么收獲？

師：先估計(jì)家里的一個(gè)長(zhǎng)方體物品的體積或者一個(gè)房間的容積，再測(cè)量并計(jì)算。

【設(shè)計(jì)意圖：實(shí)踐作業(yè)讓數(shù)學(xué)知識(shí)回歸生活。讓學(xué)生利用身邊常見的長(zhǎng)方體進(jìn)行合理的估算，并做出合理的判斷，不僅給每位學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、學(xué)以致用的機(jī)會(huì)，而且培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感和空間想象能力，提高了學(xué)生解決問題的能力。】

【教后反思】

一、抓住“量”的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移

量感是人們對(duì)外部事物大小屬性的感知和直覺。小學(xué)生在沒有使用測(cè)量工具的情況下，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)合理估計(jì)某個(gè)量的大小。

培養(yǎng)量感首先需要學(xué)生具備度量的意識(shí)，也就是用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，尤其是觀察日常生活中的事物。其次，需要在真實(shí)情境中提出測(cè)量問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維來思考現(xiàn)實(shí)世界，從而進(jìn)行合理的估測(cè)。學(xué)生的猜測(cè)是他們對(duì)體積的初步感知，通過觀察和想象，學(xué)生逐漸將頭腦中的形象思維轉(zhuǎn)化為抽象思維。學(xué)生通過觀察一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的變化引起的體積變化，就能夠理解長(zhǎng)方體的體積與這些因素之間的因果關(guān)系。教師還可以提出關(guān)鍵問題，例如“體積與長(zhǎng)、寬、高有什么關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生將思維從二維領(lǐng)域的“面”轉(zhuǎn)到三維領(lǐng)域的“體”。最后，通過動(dòng)手?jǐn)[弄和拼接來驗(yàn)證學(xué)生的猜測(cè)。這個(gè)過程將體積的度量與長(zhǎng)、寬、高的度量緊密結(jié)合，對(duì)幫助學(xué)生理解長(zhǎng)方體體積的度量具有實(shí)際意義。通過“觀察—猜測(cè)—驗(yàn)證—得出結(jié)論”的過程，學(xué)生逐步推導(dǎo)出了長(zhǎng)方體的體積公式。同時(shí)，將估測(cè)和猜測(cè)相結(jié)合，能使學(xué)生真實(shí)地體驗(yàn)量的形成過程。

二、動(dòng)手操作，培養(yǎng)空間觀念

建立度量單位的概念是培養(yǎng)量感的基礎(chǔ)。度量單位是測(cè)量物體數(shù)學(xué)屬性的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，只有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)才能確保測(cè)量結(jié)果的一致性和統(tǒng)一性。培養(yǎng)量感的關(guān)鍵在于學(xué)會(huì)識(shí)別數(shù)量屬性，并能夠“創(chuàng)造”或選擇適當(dāng)?shù)亩攘繂挝粊砹炕@些屬性，而不僅僅是知道用已有的度量單位來測(cè)量。在培養(yǎng)學(xué)生量感的過程中，可以通過復(fù)習(xí)舊知、深化理解，從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)建立學(xué)習(xí)路徑。這個(gè)過程包括以下步驟：①?gòu)?fù)習(xí)舊知。通過回顧學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，幫助他們感受度量知識(shí)的衍生性和其與舊知之間的聯(lián)系。②變量刻畫。引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)量屬性與數(shù)學(xué)變量聯(lián)系起來，感知量的大小。③深度體驗(yàn)。通過實(shí)際的操作和觀察，讓學(xué)生深入體驗(yàn)“幾個(gè)單位”累加的感覺。④溝通三維。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解三維度量，構(gòu)建度量單位的體系。在這個(gè)過程中，學(xué)生通過親身操作和探究，建立了長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高與體積之間的聯(lián)系。他們經(jīng)歷了從一維測(cè)量（長(zhǎng)度）到二維測(cè)量（面積）再到三維測(cè)量（體積）的過程，將“數(shù)”與“量”有機(jī)結(jié)合起來。最終，他們通過觀察和推導(dǎo)得出了長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式。這個(gè)過程不僅是度量體積的過程，還是培養(yǎng)量感的過程，有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

培養(yǎng)量感是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要一環(huán)，通過實(shí)際操作和觀察，讓學(xué)生深刻理解數(shù)量屬性和度量單位的關(guān)系，從而更好地理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。這種學(xué)習(xí)方式能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加生動(dòng)和有趣。

三、對(duì)比分析，聚焦測(cè)量本質(zhì)

量是可以通過測(cè)量得出的。測(cè)量體積的本質(zhì)是使用體積單位進(jìn)行測(cè)量，然后計(jì)算該物體所含體積單位的總數(shù)量；實(shí)際上是學(xué)生通過一定的計(jì)算得出這些體積單位的總數(shù)，用以描述測(cè)量對(duì)象的體積。在教學(xué)中，教師應(yīng)側(cè)重讓學(xué)生經(jīng)歷從“組合體積”“填寫數(shù)據(jù)”“數(shù)體積”到“計(jì)算體積”的過程，幫助他們理解體積與長(zhǎng)、寬、高之間的關(guān)系。在解決日常生活中的簡(jiǎn)單問題時(shí)，教師要強(qiáng)調(diào)度量的本質(zhì)，從而將知識(shí)延伸和拓展到圓柱、圓錐的體積，以及容積概念，幫助學(xué)生能夠積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本經(jīng)驗(yàn)，提升量感。

課始通過長(zhǎng)度和面積測(cè)量方法的引導(dǎo)，使學(xué)生不局限于解決長(zhǎng)方體的體積問題，而是能理解長(zhǎng)度、面積和體積之間的知識(shí)關(guān)系。這一過程有助于他們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)圖形度量的本質(zhì)是一致的：首先要使用相應(yīng)的測(cè)量單位進(jìn)行度量，然后計(jì)算測(cè)量單位的總數(shù)量，從而得出圖形的長(zhǎng)度或大小。課程結(jié)束時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生再次聚焦在“單位”這一測(cè)量的數(shù)學(xué)本質(zhì)上，幫助學(xué)生在深度思考中厘清測(cè)量長(zhǎng)度、面積和體積之間的經(jīng)驗(yàn)和聯(lián)系，即長(zhǎng)度——一維圖形的度量，面積——二維圖形的度量，體積——三維圖形的度量。學(xué)生在學(xué)有所獲的同時(shí)，也能理解體積的測(cè)量本質(zhì)是從長(zhǎng)度和面積測(cè)量中延伸出來的，度量的本質(zhì)是一脈相承的，進(jìn)一步豐富了度量的內(nèi)涵。

（責(zé)編 金 鈴）