李小琪

摘要：立體幾何以其高難度的空間抽象和多維度的素養(yǎng)要求，成為許多高中學(xué)生和教師心中的“攔路虎”，因而學(xué)好、教好初始階段的規(guī)則課就顯得尤為重要.本文筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，從單元教學(xué)設(shè)計(jì)視角出發(fā)提高站位，借助GeoGebra軟件強(qiáng)化學(xué)習(xí)效果，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).

關(guān)鍵詞：單元教學(xué)；立體幾何規(guī)則課；GeoGebra

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2023）33-0017-04

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的必考內(nèi)容，但它往往是學(xué)生心中的“攔路虎”，也是部分教師教學(xué)上的一大難點(diǎn)．它不僅需要學(xué)生熟練掌握概念、基本事實(shí)、定理、公式等基礎(chǔ)知識(shí)，還需要具備較強(qiáng)的邏輯推理、空間想象和綜合分析的能力，并且它幾乎涵蓋了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱 《新課程標(biāo)準(zhǔn)》）中提出的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析．這就對(duì)教師提出了更高的要求，如何借助信息技術(shù)的有效手段，設(shè)計(jì)合理的教學(xué)方式，在規(guī)則課階段給學(xué)生打下良好的基礎(chǔ)，值得我們探究與實(shí)踐.筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，借助GeoGebra（以下簡稱GGB）軟件，對(duì)立體幾何規(guī)則課進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，在此提出一些觀點(diǎn)與看法．

1 規(guī)則課概念重基礎(chǔ)

根據(jù)加涅的學(xué)習(xí)結(jié)果分類，高中數(shù)學(xué)中的性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等都屬于智慧技能中的規(guī)則，這些是很明顯的，還有一些規(guī)則就不那么明顯，如一些數(shù)學(xué)基本題的解法.以高中數(shù)學(xué)中的法則、公式、公理、定理、數(shù)學(xué)重要結(jié)論和數(shù)學(xué)基本題的解法等數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)作為主要教學(xué)任務(wù)的一類課，統(tǒng)稱為高中數(shù)學(xué)規(guī)則課型[1].本文所提的立體幾何規(guī)則課是指以認(rèn)識(shí)基本立體圖形，空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，特別是直線、平面的平行和垂直這兩種特殊關(guān)系為主要教學(xué)內(nèi)容的課型.

2 單元設(shè)計(jì)——提站位

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》要求高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，以落實(shí)立德樹人為根本任務(wù)，培育學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).在教學(xué)建議中明確指出要“整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展.”這就要求教師必須提升教學(xué)設(shè)計(jì)的站位，即從關(guān)注單一的知識(shí)點(diǎn)、課時(shí)轉(zhuǎn)變到大單元設(shè)計(jì)，只有這樣，才能真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)與素養(yǎng)目標(biāo)的有效對(duì)接[2].

2.1 單元教學(xué)設(shè)計(jì)

單元教學(xué)設(shè)計(jì)是指教師在整體思維模式下，對(duì)單元課程規(guī)范方案和單元內(nèi)的課時(shí)教案進(jìn)行整合設(shè)計(jì)的教學(xué)計(jì)劃[3].單元教學(xué)設(shè)計(jì)是教師對(duì)教材中具有＂某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性＂的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合并形成相對(duì)完整的單元（主題），以數(shù)學(xué)單元（主題）知識(shí)為主要線索，遵守學(xué)習(xí)規(guī)律、認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)教學(xué)原則，以培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的一種教學(xué)設(shè)計(jì).

2.2 立體幾何的研究體系

立體幾何初步的主要研究內(nèi)容為直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系，基本立體圖形（柱、錐、臺(tái)、球）的結(jié)構(gòu)特征，特別重要的是空間中的平行和垂直以及兩者之間的密切關(guān)聯(lián)，因?yàn)樗鼈兪钦麄€(gè)定量立體幾何的基礎(chǔ)所在.

3 GGB軟件——強(qiáng)學(xué)習(xí)

立體幾何不同于平面幾何紙面上的展示，需要學(xué)生對(duì)幾何體性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的抽象思考，信息技術(shù)的引入可以使立體幾何教學(xué)更加直觀、簡單和高效，增強(qiáng)立體幾何教學(xué)的科學(xué)性、生動(dòng)性和高效性．GeoGebra軟件是一款集幾何（geometry）、代數(shù)（algebra）、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)和微積分的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，具有同時(shí)處理代數(shù)與幾何的功能，既有平面幾何區(qū)域，也有3D繪圖區(qū)，在立體幾何單元教學(xué)中主要用到“3D繪圖區(qū)”.下面僅從“認(rèn)識(shí)空間幾何（體）”選取例子展示.

案例1可變化為柱體、椎體的臺(tái)體

在臺(tái)體的體積公式教學(xué)中，可利用GGB軟件制作可變化為柱體、椎體的臺(tái)體，通過設(shè)置滑動(dòng)條展示動(dòng)態(tài)變化過程，從而幫助學(xué)生理解柱體、椎體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系：V臺(tái)=13S′+S′S+Sh（S′，S分別是上底面和下底面的面積，h為臺(tái)體的高）.當(dāng)S′=S時(shí)，臺(tái)體變?yōu)橹w，臺(tái)體的體積公式也就是柱體的體積公式；當(dāng)S′=0時(shí)，臺(tái)體變?yōu)樽刁w，臺(tái)體的體積公式也就是椎體的體積公式.

當(dāng)移動(dòng)滑動(dòng)條“上下相似比r”至最左端即r=0時(shí)，幾何體變?yōu)樽刁w；當(dāng)滑動(dòng)條“上下相似比r”移至最右端即r=1時(shí)，幾何體變?yōu)榕_(tái)體．當(dāng)移動(dòng)滑動(dòng)條“底面邊數(shù)n”至右端，如n=25時(shí)，可觀察幾何體由多面體近似為旋轉(zhuǎn)體， 可以讓學(xué)生直觀理解棱柱與圓柱、棱錐與圓錐、棱臺(tái)與圓臺(tái)體積公式的一致性，體現(xiàn)了微積分思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

案例2平面的基本性質(zhì)（課堂選錄）

筆者沒有采取書本上從實(shí)際生活真實(shí)情境（自行車腳撐、三角架）中提煉，得到“不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面”的基本事實(shí)，而是采用了一個(gè)簡單的問題引導(dǎo)式探究推理，也為后續(xù)“位置關(guān)系”課時(shí)的形式做鋪墊，采取了先推理再事實(shí)驗(yàn)證的模式，實(shí)踐表明學(xué)生接受度、理解度較高.該教學(xué)設(shè)計(jì)以維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論為支撐，教學(xué)應(yīng)當(dāng)為學(xué)生提供重新解決問題的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生在問題解決中學(xué)習(xí)，成為解決問題的主人.

問題1：我們初中在學(xué)習(xí)平面幾何知識(shí)時(shí)知道一個(gè)基本事實(shí)——兩點(diǎn)確定一條直線，現(xiàn)在我們進(jìn)入研究立體幾何階段，升維，確定一個(gè)平面需要幾點(diǎn)呢？也是兩點(diǎn)嗎？或許更多？

問題2：我們先試試兩點(diǎn)能否確定一個(gè)平面，換句話說，一條直線能否確定一個(gè)平面？

筆者利用GGB軟件制作過一條直線的平面（圖6），實(shí)際是隱藏了第三個(gè)點(diǎn)C，通過創(chuàng)建與C數(shù)據(jù)有關(guān)的滑動(dòng)條a，手動(dòng)移動(dòng)滑動(dòng)條即改變C的位置，從而實(shí)現(xiàn)平面的“轉(zhuǎn)動(dòng)”即平面的不確定性.

問題3：顯然眼見為實(shí)，兩點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，那我們就只能“加碼”吧，謹(jǐn)慎起見，先加一點(diǎn)吧，這點(diǎn)能隨便加嗎？

生：不能在這條直線上，否則就還是一條直線了，平面不能確定．應(yīng)該是：不共線的三點(diǎn)能否確定一個(gè)平面？

筆者再選中上圖“代數(shù)區(qū)”的點(diǎn)Ｃ，即顯示出點(diǎn)Ｃ開啟追蹤點(diǎn)Ｃ的痕跡，可以看見＂不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面＂即Ｃ走到哪里，都有唯一的平面同時(shí)包含Ａ，Ｂ，Ｃ.

問題４：我們見識(shí)了加一個(gè)點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面了，那再多加一個(gè)行不行呢？沒有任何三點(diǎn)共線的四個(gè)點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面嗎？

生：不一定，不共線的三點(diǎn)已經(jīng)確定一個(gè)平面了，這第四個(gè)點(diǎn)可能在平面內(nèi)，也可能在平面外.

師：很好，就像我們研究平面幾何一樣，兩點(diǎn)確定一條直線，多一點(diǎn)，那就不一定只有一條直線了，特殊情況——三點(diǎn)共線；同理，升維，空間中不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，多一點(diǎn)，也不一定只有一個(gè)平面，當(dāng)然，有特殊情況――四點(diǎn)共面.

筆者再選中軟件中的Ｄ點(diǎn)使其顯示，通過鼠標(biāo)移動(dòng)Ｄ點(diǎn)的位置，可以觀察Ｄ點(diǎn)可能在平面ABC內(nèi)，也可能在平面外.

問題５：既然四點(diǎn)不一定確定一個(gè)平面，有特殊的四點(diǎn)共面的情況，那你們看看自己坐著的椅子是幾條腿的？為什么常見的椅子都是四條腿呢？當(dāng)然三條腿的凳子也有.還有我們馬路上常見的車都是四個(gè)輪子在飛奔，當(dāng)然三輪車也存在，這是為什么呢？

師提示：我騎過三輪車，直行還可以，但特別不好轉(zhuǎn)彎，一不小心就側(cè)翻了.

筆者通過這一生活中常見的情境，理論聯(lián)系實(shí)際，進(jìn)一步理解與加深平面基本性質(zhì)，并讓學(xué)生舉出生活中的實(shí)例，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)來源于生活，同時(shí)也鼓勵(lì)學(xué)生將數(shù)學(xué)用于生活，體會(huì)數(shù)學(xué)的生活美，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

案例３從線線平行到線面平行再到面面平行（以判定定理為例）

筆者對(duì)于空間的位置關(guān)系教學(xué)處理，延續(xù)了“平面基本性質(zhì)”的模式，從低維低級(jí)開始，層層“加碼”，以動(dòng)態(tài)的點(diǎn)線面為線索，探究判定定理及性質(zhì)成立需要的條件.

問題１：如果已知一條直線與另一條直線平行，需要一些什么條件才能得到一條直線與平面平行呢？

生：當(dāng)然需要其中的一條直線“生”出一個(gè)平面咯.

師：那一條直線能確定一個(gè)平面嗎？不能，這個(gè)平面會(huì)“動(dòng)”的，但是，盡管如此，無論這個(gè)平面“運(yùn)動(dòng)”到哪里，另外的那條直線始終與這個(gè)平面保持平行嗎？（圖８）

筆者先構(gòu)建兩條平行的直線，再同案例２中圖６的操作生成一個(gè)包含直線ＡＢ的“轉(zhuǎn)動(dòng)”綠色平面（這里隱藏了一個(gè)在單位圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的G點(diǎn)，可以生成G的動(dòng)畫， 綠色平面就會(huì)圍繞直線AB進(jìn)行360度旋轉(zhuǎn)），請(qǐng)學(xué)生親自操作移動(dòng)視角，可以觀察到，在綠色平面的360度轉(zhuǎn)動(dòng)過程中都是與另一條直線平行的，但有唯一一個(gè)位置除外，就是綠色平面“包住”這條直線時(shí).

師：既然我們觀察到，“生”出來的這個(gè)平面雖然會(huì)“動(dòng)”，但也足夠保證另一條直線與它平行了，只需要排除掉這條直線不在平面內(nèi)就行了.由此我們可以得到線面平行的判定定理.

在得到線面平行的判定后，筆者又讓學(xué)生舉出生活中的實(shí)例（教師適當(dāng)提示，比如我們現(xiàn)在坐在的教室里）比如門框、作業(yè)本等，理論聯(lián)系實(shí)際，以此來鞏固理解理論.

問題２：已經(jīng)得到一個(gè)線面平行了，如果我還想進(jìn)一步得到面面平行呢？

生：繼續(xù)“生”唄，這不還有一條直線嘛，由它再“生”個(gè)平面出來.

師：這個(gè)“生”出來的平面還是不確定的（因?yàn)橹挥幸粭l直線），會(huì)“動(dòng)”，那在這個(gè)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，也能始終保持與已有平面保持平行不變嗎？

生：不行！只有一個(gè)位置可以保持與已有平面平行，其它位置都不平行.

師：那看來“動(dòng)”是不能滿足我們的要求了，怎么讓它確定下來呢？

生：加條件！再加一條直線，兩條直線可以確定一個(gè)平面.

師：加一條怎樣的直線，才能保證平面“待在”我們想要的位置呢？

生：與已知直線相交的直線，并且與已知平面平行.

至此，借助GGB軟件，我們將線線平行、線面平行與面面平行的判定定理建立了聯(lián)系，并建立了一套思維模式，也繼續(xù)用于性質(zhì)定理以及垂直關(guān)系的推導(dǎo)與理解.更重要的是，通過信息技術(shù)的直觀展示，在學(xué)生頭腦中建立了動(dòng)態(tài)想象，極大地提高了學(xué)生的空間想象力，從而落實(shí)數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

信息技術(shù)應(yīng)用于中學(xué)課堂教學(xué)，是可視化教學(xué)的優(yōu)勢(shì)載體，能讓學(xué)生有直觀的感受，為形成概念、辨析理論打下良好基礎(chǔ).利用GGB軟件的3D動(dòng)態(tài)效果，為立體幾何單元規(guī)則課建立了很好的探究模型，課堂“動(dòng)”起來，學(xué)生思維才會(huì)“動(dòng)”起來，調(diào)動(dòng)了學(xué)生探索的興趣，促進(jìn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

［1］?譚國華.高中數(shù)學(xué)規(guī)則課型及其教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2013（15）：12-16.

[2] 崔允漷.如何開展指向?qū)W科核心素養(yǎng)的大單元設(shè)計(jì)[J].北京教育（普教），2019（2）：11-15.

[3] 汪昌政，李代珍.借助GeoGebra認(rèn)識(shí)空間幾何體[J].中國數(shù)學(xué)教（高中版），2019（12）：52-56.

［責(zé)任編輯：李璟］