劉振娟

［摘? 要］ “微專題”教學(xué)法能讓學(xué)生從本質(zhì)上掌握教學(xué)內(nèi)容，提升解題能力. 文章以“隱形圓相關(guān)的最值問題”的專題復(fù)習(xí)教學(xué)為例，從教學(xué)分析出發(fā)，分別從“注重預(yù)習(xí)，初建模型”“加強(qiáng)探究，強(qiáng)化模型”“立足解題，變式拓展”“課堂小結(jié)，反思感悟”四個方面展開教學(xué)，并從“尊重個體差異，合理設(shè)計(jì)教學(xué)”“利用變式拓展，發(fā)散數(shù)學(xué)思維”“注重教學(xué)反思，提煉知識重點(diǎn)”三方面談一些教學(xué)思考.

［關(guān)鍵詞］ 微專題；復(fù)習(xí)教學(xué)；隱圓

章建躍認(rèn)為：數(shù)學(xué)教育應(yīng)注重教學(xué)方法的研究，要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，讓學(xué)生獲得用數(shù)學(xué)知識來解決數(shù)學(xué)內(nèi)外問題的能力. 近年來，“微專題”教學(xué)法已然成為復(fù)習(xí)教學(xué)的重要方法之一，該教學(xué)方法主要立足于學(xué)情、教情與考情等綜合因素，選擇“切口小，針對性強(qiáng)”的一兩個關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)或數(shù)學(xué)思想方法等進(jìn)行專題復(fù)習(xí)，讓學(xué)生深度理解知識本質(zhì)，獲得用這部分知識來解決數(shù)學(xué)內(nèi)外問題的能力.

教學(xué)分析

1. 教學(xué)內(nèi)容

課堂探究的主題為“隱形圓相關(guān)的最值問題”，教學(xué)涉及課前預(yù)習(xí)和課堂教學(xué)兩大版塊. 預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)，主要是讓學(xué)生探尋“隱圓”的形成過程與模型. 教學(xué)環(huán)節(jié)，主要分三步走：①將學(xué)生的預(yù)習(xí)成果——隱圓模型進(jìn)行展示，根據(jù)學(xué)生的結(jié)論進(jìn)行提煉總結(jié)；②帶領(lǐng)學(xué)生探索隱圓模型的形成依據(jù)；③用實(shí)際問題鼓勵學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)隱圓相關(guān)內(nèi)容，并計(jì)算最值，讓學(xué)生深切體會“探尋模型—發(fā)現(xiàn)隱圓—獲得路徑—解決最值”的過程.

2. 教學(xué)方法

教學(xué)預(yù)設(shè)以發(fā)現(xiàn)問題、提出問題與解決問題為主線，讓學(xué)生全程參與知識的回顧與整理過程，通過一定的探索手段自主歸納模型，而后利用所獲得的模型解決實(shí)際問題. 讓學(xué)生在豐富的教學(xué)方式中，感知、體悟這一類問題在中考中的命題方向，從而突破思維的瓶頸，在認(rèn)知上獲得質(zhì)的飛躍.

3. 教學(xué)手段

精心的教學(xué)預(yù)設(shè)離不開科學(xué)的教學(xué)手段的支持. 教師以“微專題”教學(xué)模式為載體，鼓勵學(xué)生在課前進(jìn)行獨(dú)立預(yù)習(xí)與思考，課堂中要求學(xué)生在自己的引導(dǎo)下，積極開動腦筋妥善理解并處理隱圓問題的主要方法（四個步驟），課后可適當(dāng)?shù)夭贾米鳂I(yè)，以鞏固學(xué)生的認(rèn)知.

教學(xué)過程

1. 注重預(yù)習(xí)，初建模型

眾所周知，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢. “微專題”教學(xué)雖然所涉及的知識點(diǎn)不多，但教學(xué)容量并不小，而且涉及的知識點(diǎn)都比較經(jīng)典，具有一定的代表性，預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)同樣值得重視［1］. 隱圓相關(guān)知識，學(xué)生之前雖然接觸過，但因其比較抽象且歷時久遠(yuǎn)，課前預(yù)習(xí)必不可少. 本節(jié)課預(yù)習(xí)的主要目的在于回憶、總結(jié)幾種常見的隱圓模型，為課堂“微專題”復(fù)習(xí)奠定基礎(chǔ).

師：經(jīng)過課前預(yù)習(xí)，大家發(fā)現(xiàn)隱圓模型有哪些？

學(xué)生總結(jié)出以下幾種基本模型（見圖1至圖4）.

分析預(yù)習(xí)不僅引導(dǎo)學(xué)生回顧了隱圓相關(guān)知識，還讓學(xué)生明確了本節(jié)課待探索的主題，從而使學(xué)生做到胸有成竹. 教師將四種典型模型在課前展示，存在兩方面深意：一方面檢查學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，是對學(xué)生預(yù)習(xí)成果的肯定；另一方面，讓一部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)自身認(rèn)知的漏洞與盲區(qū)，從而提高課堂學(xué)習(xí)的積極性.

2. 加強(qiáng)探究，強(qiáng)化模型

探究1上述四種模型作為隱圓的常規(guī)模型，大家知道它們是如何形成的嗎？

經(jīng)過討論，學(xué)生提出四個隱圓模型所獲得的依據(jù)分別為：第一個，直角的圓周角所對的弦是直徑；第二個，若一個四邊形的對角互補(bǔ)，或外角與內(nèi)對角是相等的關(guān)系，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)在一個圓上；第三個，定角對定弦；第四個，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合為一個圓.

探究2這四種模型之間是否存在什么聯(lián)系？

探索發(fā)現(xiàn)，圖1是圖3的特殊情況，一般情況下定角為30°、45°、60°、90°等特殊角，同時，圖1也是圖4的特殊狀態(tài). 模型1的得來依據(jù)，從表面上看是“直角的圓周角所對的弦是直徑”，實(shí)質(zhì)上卻是“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是一個圓”.

師：通過以上兩個探究活動的開展，能否對模型得來的依據(jù)進(jìn)行一個歸納？

分析? 學(xué)生通過探究1活動的開展，深化了對各類模型形成本質(zhì)的理解，這種理解能有效地幫助學(xué)生突破本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，從一定意義上讓學(xué)生更加清晰地理解概念的本質(zhì)；對于探究2，學(xué)生在類比分析中，進(jìn)一步深化了對模型本身的認(rèn)識，為后續(xù)靈活應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)；最后一個問題的提出，具有提煉、總結(jié)、提升的意圖.

3. 立足解題，變式拓展

例1如圖5所示，正方形ABCD的邊長為4，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段DC，BC上移動，已知DE=CF，AE與DF相交于點(diǎn)P，求CP的最小值.

變式如圖6，Rt△ABC中，已知AB⊥BC，AB=6，CB=4，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)的一個動點(diǎn)，并滿足∠PAB=∠PBC，求線段CP的最小值.

分析例題與變式均為90°的圓周角所對的弦為直徑的模型，在動態(tài)中尋找，都能發(fā)現(xiàn)90°的角不會變化，問題在于直角比較難發(fā)現(xiàn). 如例1中的直角，需要在全等的證明基礎(chǔ)上獲得，而變式中的直角則需要通過角的轉(zhuǎn)化而獲得.

變式的應(yīng)用，讓學(xué)生在解決例1的基礎(chǔ)上，更加深入地理解了模型的本質(zhì)，為提升解題能力奠定了基礎(chǔ). 學(xué)生一旦找到隱圓，結(jié)合動點(diǎn)的起始點(diǎn)與終止點(diǎn)，不難獲得動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡. 那么，線段的最值問題就轉(zhuǎn)化成圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最長與最短距離的問題了. 此例與變式的應(yīng)用，讓學(xué)生親歷了“探尋模型、發(fā)現(xiàn)隱圓、明確解題路徑、解決最值問題”的過程，這種體驗(yàn)為接下來解決更多的實(shí)際問題提供了直接經(jīng)驗(yàn).

例2如圖7所示，點(diǎn)D，E分別為等邊三角形ABC中AB，AC邊上的兩個動點(diǎn)，已知AE=BD，分別連接CD，BE相交于點(diǎn)P，如果等邊三角形ABC的邊長是2，那么點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長是多少？

分析本題將例1中弦所對的圓周角從直角轉(zhuǎn)換成120°的角與45°的角，這種轉(zhuǎn)換顯然增加了尋找圓心的難度. 同時，變式也由探索線段的最值問題轉(zhuǎn)換到探索面積的最值問題上，從一定程度上對學(xué)生的思維提出了更高的要求.

本例題，需通過三角形的全等證明才能獲得120°的角，例1中也涉及三角形全等的證明問題，這對學(xué)生而言是一種方法上的鞏固. 而變式題，只有分析線段與角的關(guān)系，才能獲得45°角. 此例與變式的解決，訓(xùn)練了學(xué)生在不同條件與背景下的思維拓展能力，為學(xué)生從不同維度掌握解題技巧奠定了基礎(chǔ).

例3如圖9所示，菱形ABCD的邊長為2，已知∠A=60°，點(diǎn)M為AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB邊上的一個動點(diǎn)，若將△AMN沿MN所在的直線進(jìn)行翻折，可得△NA′M，連接A′C，求A′C長度的最小值.

變式如圖10所示，△ABC中的∠BAC=90°，已知AB=3，AC=4，且點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABD沿AD所在的直線進(jìn)行翻折，可得△EDA，連接CE，求CE的長.

分析本題為“多點(diǎn)共圓”模型的應(yīng)用，盡管問題中的點(diǎn)在運(yùn)動，但是它到定點(diǎn)的距離卻是恒定不變的，也就是AM=DM=A′M. 根據(jù)模型4的形成依據(jù)，很快就能發(fā)現(xiàn)隱圓的身影. 本例被稱為“傘型”或“雞爪型”問題，學(xué)生通過研究本題，獲得從變中探尋不變的量的能力，這也是解決這一類問題的基本方式. 變式的提出，在于考查學(xué)生能否在多點(diǎn)共圓的模型下發(fā)現(xiàn)新的解題方法，這是一個挑戰(zhàn)，也是促進(jìn)學(xué)生思維成長的契機(jī).

例4如圖11所示，△ABC為一個邊長為2的等邊三角形，已知ED⊥AB，EF⊥AC，求AF的值.

分析本題為典型的“四點(diǎn)共圓”模型的應(yīng)用，從“雙垂直”的條件不難發(fā)現(xiàn)隱圓的存在，通過圓中角的轉(zhuǎn)換，問題迎刃而解. 此例的應(yīng)用，關(guān)鍵在于能讓學(xué)生明確“四點(diǎn)共圓”模型的主要特征，從中發(fā)現(xiàn)圖形. 三角函數(shù)設(shè)k法的應(yīng)用以及圓中角的轉(zhuǎn)化都是解決幾何問題的常用方法. 變式的拓展，體現(xiàn)了“定角對定弦”與“四點(diǎn)共圓”模型的綜合應(yīng)用，這不僅鞏固了本節(jié)課所探尋的新內(nèi)容，而且也是對舊知的溫顧.

4. 課堂小結(jié)，反思感悟

課堂總結(jié)具有“畫龍點(diǎn)睛”之功效. 本節(jié)課作為一節(jié)“微專題”課，目標(biāo)明確、知識點(diǎn)清晰，教師在小結(jié)時，以總結(jié)、提煉與反思為主，以幫助學(xué)生更好地將知識內(nèi)化成自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

師：通過本節(jié)課的探究，你們能在問題中一眼就發(fā)現(xiàn)“隱圓”的存在嗎？該如何發(fā)現(xiàn)呢？課后請有興趣的同學(xué)寫一寫關(guān)于隱圓的解題思考，下節(jié)課我們一起交流.

分析這個問題起到了回顧、總結(jié)、建構(gòu)知識脈絡(luò)的作用，學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的解題經(jīng)驗(yàn)，在思考“如何發(fā)現(xiàn)隱圓”的問題引領(lǐng)下形成了自己獨(dú)特的解題經(jīng)驗(yàn). 課后教學(xué)思考的書寫，不僅訓(xùn)練了學(xué)生的反思能力，還從另一個角度訓(xùn)練了學(xué)生總結(jié)問題的能力，為后續(xù)研究其他專題提供了幫助.

教學(xué)思考

1. 尊重個體差異，合理設(shè)計(jì)教學(xué)

“微專題”教學(xué)內(nèi)容一般為一個相關(guān)聯(lián)的或能單獨(dú)研究的知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法、單個主題等. 對于初三階段的學(xué)生而言，受社會與學(xué)習(xí)背景等影響，存在一定的個體差異是客觀存在的現(xiàn)實(shí). 教師應(yīng)充分尊重學(xué)生的這種差異性，根據(jù)學(xué)情與教學(xué)專題的特點(diǎn)，科學(xué)、合理地設(shè)計(jì)教學(xué)，使得每個學(xué)生都能在課堂中獲得不同程度的進(jìn)步與發(fā)展.

隱圓問題的綜合性與靈活性比較高，學(xué)生掌握時存在一定的困難，加上學(xué)生認(rèn)知水平的參差不齊，著實(shí)給教學(xué)帶來了不小的困難. 本節(jié)課，教師以“微專題”教學(xué)法為載體，結(jié)合預(yù)習(xí)、探究與反思等教學(xué)活動的開展，讓每個學(xué)生都能根據(jù)自身實(shí)際情況，選擇學(xué)習(xí)的深度與寬度. 由此可見，本節(jié)課雖為“微專題”，實(shí)則“大容量”.

2. 利用變式拓展，發(fā)散數(shù)學(xué)思維

“微專題”教學(xué)離不開例題教學(xué)的輔助，而例題教學(xué)的拓展與延伸，又離不開變式的支持. 尤其是初三復(fù)習(xí)階段，教師將復(fù)習(xí)內(nèi)容分割為一個個大小專題逐個突破，這些專題看似獨(dú)立存在，實(shí)則互相關(guān)聯(lián). 而變式的應(yīng)用，則實(shí)現(xiàn)了各個知識點(diǎn)的有效溝通，它主要通過表面的變化，突出核心知識恒定不變的本質(zhì)［2］，對幫助學(xué)生更好地掌握知識與技能具有直接影響. 一般變式應(yīng)用時，會選擇經(jīng)典例題或教材例題作為“母胎”，以便學(xué)生掌握知識的重點(diǎn)與難點(diǎn).

本節(jié)課，基于模型建立、應(yīng)用與總結(jié)，讓學(xué)生以探索模型的形成依據(jù)為主線，進(jìn)行例題的分析與拓展. 每個例題都配有相應(yīng)的變式，這種模式不僅鞏固了學(xué)生對各種模型的理解與應(yīng)用，還為課后研究提供了素材，是學(xué)生思維拓展延伸的基礎(chǔ).

3. 注重教學(xué)反思，提煉知識重點(diǎn)

“微專題”教學(xué)雖以例題與變式來幫助學(xué)生明晰知識點(diǎn)，但它的作用絕不僅限于此. 例題與變式的應(yīng)用還能有效地幫助學(xué)生提煉思想方法與數(shù)學(xué)模型等，而這一切都離不開“反思”的過程. “微專題”研究若僅憑單個雷同問題的堆砌，必然無法完成它的使命，只有從不同層次進(jìn)行遞進(jìn)式探索，才能讓學(xué)生從真正意義上掌握知識本質(zhì). 此過程，離不開師生及時、準(zhǔn)確的歸納、總結(jié)與提煉.

常規(guī)情況下，“微專題”可以用較短的時間完成教學(xué)，但本節(jié)課卻花費(fèi)了不少時間. 主要原因有：隱圓這個知識點(diǎn)確實(shí)存在一定的難度，學(xué)生理解需要一個過程；隱圓模型種類比較多，逐個分析與突破也需要耗費(fèi)一定的時間.

那么，本節(jié)課的“微專題”還“微”嗎？還可以怎么改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)，做到課堂教學(xué)內(nèi)容“短小精悍”，而教學(xué)效果卻“穩(wěn)中有升”呢？這些都是值得反思的問題.

參考文獻(xiàn)：

［1］呂增鋒. 數(shù)學(xué)“微專題教學(xué)”到底“微”在哪［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2018（04）：33-34.

［2］李寬珍. 數(shù)學(xué)微專題教學(xué)的特征、策略及方法［J］. 教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2016（09）：3-7.