楊麗娟

摘 要：文章以專題“圓中角的轉(zhuǎn)化”的課堂教學(xué)為例，說(shuō)明如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化思想——巧設(shè)情境，增強(qiáng)轉(zhuǎn)化的意識(shí)；知識(shí)回顧，尋找轉(zhuǎn)化的中介；解決問(wèn)題，獲得轉(zhuǎn)化的方法。以此使學(xué)生理解轉(zhuǎn)化的作用，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想的重要性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；轉(zhuǎn)化意識(shí)；轉(zhuǎn)化中介；轉(zhuǎn)化方法

美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納指出：掌握基本的數(shù)學(xué)思想，能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，領(lǐng)會(huì)科學(xué)的數(shù)學(xué)思想對(duì)提升思維品質(zhì)、促進(jìn)終身學(xué)習(xí)具有十分重要的意義［1］。

轉(zhuǎn)化也稱化歸，是一種常用的數(shù)學(xué)思想，是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題進(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問(wèn)題的一種思維策略。其實(shí)質(zhì)就是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，利用各種變換解決問(wèn)題。在教學(xué)中，教師可適當(dāng)?shù)赝诰蚪虒W(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想，并逐步實(shí)現(xiàn)滲透和應(yīng)用。本文以數(shù)學(xué)專題“圓中角的轉(zhuǎn)化”的課堂教學(xué)為例，說(shuō)明如何從增強(qiáng)轉(zhuǎn)化意識(shí)、尋找轉(zhuǎn)化中介、獲得轉(zhuǎn)化方法三方面著手，幫助學(xué)生理解轉(zhuǎn)化思想。

一、巧設(shè)情境，增強(qiáng)轉(zhuǎn)化意識(shí)

圓是重要的基本圖形，在長(zhǎng)期的探索與研究中，人們發(fā)現(xiàn)了許多圓的相關(guān)性質(zhì)。同時(shí)，角是圖形的重要元素，很多較為復(fù)雜的圖形都涉及角。圓錐曲線是初中階段的難點(diǎn)知識(shí)，學(xué)生在初次接觸時(shí)容易感到困難。而圓的特征賦予角極強(qiáng)的活性，如果將圓中的角進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，許多難題便能迎刃而解。教師可以在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)有趣的問(wèn)題情境，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中感受轉(zhuǎn)化思想、增強(qiáng)轉(zhuǎn)化意識(shí)。

情境引入：

如圖1，在“世界杯”足球預(yù)選賽中，甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進(jìn)攻。當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同伴乙已經(jīng)助攻沖到B點(diǎn)?，F(xiàn)有兩種射門方式：第一種，甲直接射門；第二種，甲將球傳給乙，由乙射門。僅從射門角度考慮，應(yīng)選擇哪種射門方式？為什么？

分析：僅從射門角度考慮射門方式即比較∠A與∠B的大小。連接PD，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，發(fā)現(xiàn)∠PDQ=∠B，而∠PDQ是△PAD的外角，∠PDQ＞∠A，于是∠B＞∠A。因此，由乙在點(diǎn)B處射門有利。

如果連接QC，同樣可以得出答案。

設(shè)計(jì)意圖：添加輔助線，就是利用同弧所對(duì)的圓周角相等，將∠B轉(zhuǎn)化到∠PDQ，從而實(shí)現(xiàn)∠A與∠B的大小比較。這一問(wèn)題情境可以讓學(xué)生意識(shí)到圓內(nèi)角轉(zhuǎn)化的重要性，產(chǎn)生探究轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)需。

二、知識(shí)回顧，尋找轉(zhuǎn)化中介

中介是指在不同事物或同一事物內(nèi)部對(duì)立兩極之間起居間聯(lián)系作用的部分。要進(jìn)行圓中角的轉(zhuǎn)化，就要尋找轉(zhuǎn)化的中介。

例：如圖2-1，點(diǎn)A、B、C在⊙O上。

問(wèn)題1：你找到了哪些與⊙O有關(guān)的角？這些角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

分析：利用圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等，得∠BOC=100°，利用圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧上圓心角度數(shù)的一半，得∠BAC=50°；利用等邊對(duì)等角，由半徑OB=OC，得∠OBC=∠OCB=40°。由此獲得轉(zhuǎn)化中介——半徑，實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化。

分析：利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，由∠BAC=50°得∠BDC=50°。由此強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化中介——弧，說(shuō)明位置變化，數(shù)量關(guān)系不變。

分析：利用圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，由∠BAC= 50°，得∠BEC=130°，進(jìn)而得∠BEF =50°，因此∠BEF=∠BAC，說(shuō)明圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角。由此獲得轉(zhuǎn)化中介——圓的內(nèi)接四邊形，實(shí)現(xiàn)圓外角與圓內(nèi)角的轉(zhuǎn)化。

分析：利用切線的性質(zhì)，得∠OCG=∠OCH= 90°；利用余角的性質(zhì)，由∠OCB=40°得∠BCH= 50°，因此∠BCH=∠BAC。由此獲得轉(zhuǎn)化中介——切線，實(shí)現(xiàn)弦切角與圓內(nèi)角的轉(zhuǎn)化。

設(shè)計(jì)意圖：以一道操作題引出問(wèn)題串，使圖形由淺入深。在保證學(xué)生思維連貫的前提下，通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦，既對(duì)圓中角的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了回顧，又探索獲得了圓中角轉(zhuǎn)化的中介，為利用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題做好鋪墊。

三、解決問(wèn)題，獲得轉(zhuǎn)化方法

轉(zhuǎn)化的方法靈活多樣，既與實(shí)際問(wèn)題的內(nèi)容和特點(diǎn)有關(guān)，也與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有關(guān)。對(duì)于圓中角的轉(zhuǎn)化，在解決問(wèn)題的過(guò)程中通過(guò)體驗(yàn)獲得方法，不僅可以豐富經(jīng)驗(yàn)積累，還能提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（一）通過(guò)熱身練習(xí)，直接發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用轉(zhuǎn)化

教師可以設(shè)計(jì)一組簡(jiǎn)單練習(xí)，直接利用轉(zhuǎn)化中介解決問(wèn)題，使學(xué)生加深對(duì)轉(zhuǎn)化中介的掌握，鞏固對(duì)圓中角的轉(zhuǎn)化的理解及應(yīng)用。學(xué)生經(jīng)歷思考、交流，認(rèn)知會(huì)更深刻。

練習(xí)1：如圖3-1，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點(diǎn)，則∠C+∠D= 。

方法1——由弧看角

方法2——由角看弧

設(shè)計(jì)意圖：由弧看角，直接進(jìn)行圓周角之間的等量轉(zhuǎn)化，學(xué)生容易想到。由角看弧，將圓周角轉(zhuǎn)化到圓弧上，實(shí)現(xiàn)抽象到直觀的轉(zhuǎn)變，非常簡(jiǎn)潔。

練習(xí)2：已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A∶∠B∶∠C=4∶3∶5，則∠D的度數(shù)是（ ）

A.60° B.80° C.100° D.120°

設(shè)計(jì)意圖：利用圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，求∠D的度數(shù)，直接轉(zhuǎn)化到∠B。由已知條件可知∠A=80°，∠B=60°，∠C=100°，因此∠D=120°。

練習(xí)3：如圖4，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，BA與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若∠DCE=80°，∠F=25°，那么∠EDC的度數(shù)為 。

方法1：由已知條件∠DCE=80°，∠F=25°，可知∠B=55°，利用圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則∠EDC=∠B=55°。

方法2：利用圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，由∠DCE=80°，知∠DAB=∠DCE=80°，于是∠FDA=55°，因此∠FDA的對(duì)頂角∠EDC=55°。

設(shè)計(jì)意圖：兩種方法都利用“圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角”的性質(zhì)，將圓外角轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)角來(lái)解決問(wèn)題。方法1綜合考慮兩個(gè)已知條件，思路相對(duì)簡(jiǎn)潔。

（二）借助難點(diǎn)突破，添線構(gòu)造，獲得轉(zhuǎn)化

可以設(shè)計(jì)有難度的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生利用圓中角的轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行添線，構(gòu)造轉(zhuǎn)化中介。學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐探索，對(duì)獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思，能夠掌握解題策略，有效突破教學(xué)重難點(diǎn)。

A.120° B.130° C.140° D.150°

分析：如圖5-2，連接AC，利用直徑BC構(gòu)造直角∠BAC。在Rt△ABC中，由三角函數(shù)可知∠B=30°，于是得到∠D=150°。

設(shè)計(jì)意圖：利用直徑構(gòu)造直角，借助直角三角形實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化。

練習(xí)5：如圖6-1，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)B，連接AB。若∠P=40°，則∠B的度數(shù)為（ ）

A.20° B.25° C.40° D.50°

分析：如圖6-2，連接OA，利用切線PA構(gòu)造直角∠PAO。在Rt△PAO中，由∠P=40°得到∠POA=50°，從而求得∠B=25°。

設(shè)計(jì)意圖：利用切線構(gòu)造直角，借助直角三角形的兩個(gè)銳角互余，實(shí)現(xiàn)圓中角的轉(zhuǎn)化。

練習(xí)6：如圖7-1，已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是OB上一點(diǎn)，CE、AG交于點(diǎn)F。求證△ACG∽△AFC。

分析：題目已經(jīng)滿足一對(duì)公共角相等的條件，即∠CAG=∠FAC。因?yàn)橐阎獥l件不涉及兩三角形的邊長(zhǎng)，所以考慮借助圓中角的轉(zhuǎn)化，再求證一對(duì)角相等，從而證得兩三角形相似。

方法1：利用同弧，構(gòu)造等角。如圖7-2，連接BC，得∠B=∠F；由直徑AB知∠ACB=90°?！逤D⊥AB，∴∠ADC=90°。由同角的余角相等，得到∠B=∠ACD，因而∠F=∠ACD，證得結(jié)論。

設(shè)計(jì)意圖：方法2通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造垂徑定理基本圖形，由垂徑定理得到等弧。由等弧得到等角，進(jìn)行圓中角的轉(zhuǎn)化，有利于學(xué)生將陌生圖形轉(zhuǎn)變?yōu)樽约菏煜さ膱D形。

練習(xí)7：如圖8-1，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數(shù)為（ ）

A.68° B.88° C.90° D.112°

設(shè)計(jì)意圖：有些圖形問(wèn)題雖然從表面上看與圓無(wú)關(guān)，但若能發(fā)現(xiàn)其中共圓的點(diǎn)、隱含的圓，就能運(yùn)用圓中角的轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題，讓問(wèn)題實(shí)現(xiàn)從復(fù)雜到簡(jiǎn)單、從隱性到顯性的轉(zhuǎn)變。

結(jié)語(yǔ)

文中以圓中角的轉(zhuǎn)化為例，讓學(xué)生掌握如何應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題，感受轉(zhuǎn)化的作用，即化抽象為直觀、化生疏為熟悉、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化隱性為顯性，進(jìn)而領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［參考文獻(xiàn)］

王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.