江蘇省南京市建鄴區(qū)教師發(fā)展中心 范韋莉

“做數(shù)學”是數(shù)學學習的重要方式，在學生的認知心理與抽象的數(shù)學知識之間搭建了橋梁。在實施“做數(shù)學”的過程中，教師是否能設計概括出概念和為發(fā)現(xiàn)性質所需的學習素材、提供豐富且真實的應用問題，顯得尤為重要。這些是學生能否理解數(shù)學本質的重要基礎。

一、“做數(shù)學”的基本內(nèi)涵

美國匹茲堡大學在QUASAR研究項目成果中提到，“做數(shù)學”是高認知水平層次的任務，它要求學生探索和理解數(shù)學觀念、過程和關系的本質，在多種表達形式之間建立聯(lián)系，教師至少在一開始時不會介入，需要學生獨立分析任務并找出對問題解決策略可能起限制作用的因素。

董林偉認為，“做數(shù)學”是學生運用材料和工具，在動手、動腦相協(xié)同的過程中，通過操作體驗、數(shù)學實驗、綜合實踐等活動，理解數(shù)學知識、探究數(shù)學規(guī)律、解決數(shù)學問題的一種數(shù)學學習方式，是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)、實現(xiàn)數(shù)學學科育人的一種范式。

結合教學實踐，筆者認為，“做數(shù)學”在小學數(shù)學學習中是一種在實際操作過程中發(fā)現(xiàn)式與探究式的學習方式，其本身是學生認識數(shù)學事實、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的方法和手段，也是滲透數(shù)學思想、積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要載體?！白鰯?shù)學”分為兩個層次：一是學生在教師創(chuàng)設的問題情境下調動各種感官參與數(shù)學認知活動，通過觀察、操作、實驗、猜想、計算、推理、歸納、遷移等活動獲得抽象的數(shù)學概念和數(shù)學原理的直接體驗，在大腦里產(chǎn)生直覺、形成邏輯鏈；二是在掌握了足夠多的知識后，學生能主動探索未知的數(shù)學世界，并能運用數(shù)學工具和掌握的數(shù)學方法發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學事實或關聯(lián)，從而創(chuàng)造性地解決問題。

“做數(shù)學”在小學階段有很多任務類別，包含數(shù)據(jù)收集、方案設計、定期觀察、動手制作、實驗操作、數(shù)學游戲、探索規(guī)律等。需要指出的是，無論哪種類型，“做數(shù)學”絕不僅僅是對實物進行操作，而是發(fā)展學生手腦協(xié)同、做思共生、融創(chuàng)一體的建構活動，尤其在那些看上去簡單但處于基礎地位的核心概念、原理的學習上，更要強調學生通過動手“做”獲得親身感悟，形成數(shù)學知識“是什么”的本體論認知，產(chǎn)生數(shù)學知識“為什么是這樣”的方法論感悟，獲得對數(shù)學知識“可以向哪兒去”的精神追求。更為重要的是，學生能夠在通過“做數(shù)學”主動參與數(shù)學學習的過程中獲得理性精神、創(chuàng)新意識及實踐能力的持續(xù)發(fā)展。

二、小學“做數(shù)學”學習素材的特征

澳大利亞墨爾本大學教授約翰·哈蒂曾對138項教學因素按照影響力進行綜合分析，得出一個重要的結論：影響學生學業(yè)成就最重要的一個因素就是一定要讓學生產(chǎn)生對自己的挑戰(zhàn)性期望。的確，學生所投入的思維水平?jīng)Q定了他們將會學到什么，若提供的學習素材較為熟悉或簡單，學生就能以常規(guī)的方式完成一個熟記于心的程序任務，長此以往，學習則缺失了一種思維的高峰體驗。這與新課標所倡導的學生應具備在真實情境下解決復雜問題的能力的理念背道而馳。

因此，提供給學生的“做數(shù)學”學習素材往往具備一定的挑戰(zhàn)性。起初，學生可能會產(chǎn)生擔心或者焦慮的心態(tài)，因為這樣的學習素材并沒有提供一條明顯的解決問題的途徑，也就是沒有一個可以直接得到答案的步驟可以用于解決整個問題。學生無法直接套用現(xiàn)有的知識，而是需要用算法化的復雜思維。這類學習素材要求學生能深層次地探索和理解概念，其重點在于學生能夠獨立或者在教師適當?shù)闹笇抡业絻?nèi)隱的數(shù)學結構，在歷盡“千辛萬苦”后才能到達成功的彼岸。

三、小學“做數(shù)學”學習素材的開發(fā)原則

反觀目前的小學數(shù)學學習，教師衡量學生成功與否的標準主要是測試的分數(shù)，而對學生的學習興趣、學習能力、學習動機、學習信念等關注不夠，由此造成了教學形式單一、學習過程乏味等問題。要打破這一常態(tài)，教師可以依托“做數(shù)學”，開發(fā)與課程內(nèi)容相契合且符合學生發(fā)展規(guī)律的學習素材，以此豐富學生的學習歷程?？紤]到教材的邏輯結構、學生的數(shù)學現(xiàn)狀以及不同年齡段學生的思維特點，筆者總結了以下開發(fā)策略。

（一）既“有趣”又“燒腦”

形式要“有趣”。保護好學生的好奇心是教師的首要責任。因此，素材的選取首先要考慮的就是素材本身要簡明易懂，學生不需要花大量的時間在閱讀和理解題意上；其次要新穎有趣，能極大地激發(fā)學生學習的興趣、引發(fā)學習的好奇、調動學習的熱情，使學生以一種積極的態(tài)度浸入“做數(shù)學”的多重活動中。

內(nèi)容要“燒腦”。由“迷惑”到“頓悟”有時只在一念之間，“做數(shù)學”學習素材在這一念之間提供了更完整的學習過程，學生在想象性的嘗試中不斷重構認知。教師可以設計層層遞進的數(shù)學問題，引導學生用一種放慢了的節(jié)奏去體味數(shù)學，通過操作將外部活動轉化成思維活動和心智活動，引領學生在“求而不得、迷霧繚繞”中發(fā)展高階思維。需要指出的是，“做數(shù)學”學習素材與一般的綜合實踐素材要有所區(qū)別，應突出對數(shù)學知識本質的理解。

例如，在學習完蘇教版數(shù)學六年級上冊第一單元“長方體和正方體”之后，教師通過創(chuàng)設“包裝多米諾骨牌”的情境，設計了“怎樣包裝，表面積最小”的“做數(shù)學”素材：一塊多米諾骨牌長3cm、寬1cm、高5cm，小致想送三塊多米諾骨牌給小遠，可以怎樣包裝呢？這樣的活動既有較強的實踐性，又有一定的趣味性。學生通過實物操作和數(shù)據(jù)分析，初步感知包裝的表面積與重疊面的大小有關。

接著研究：如果小致送四塊多米諾骨牌給小遠，可以怎樣包裝呢？這樣的活動可以為學生發(fā)現(xiàn)內(nèi)隱的數(shù)學結構積累經(jīng)驗，同時促使學生感受包裝方法的多樣性。（如圖1）

圖1

通過觀察，學生發(fā)現(xiàn)：重疊面越大，表面積越小。要想接著往下研究，必然要深入數(shù)學的內(nèi)核。然而，由形到數(shù)的分析非?！盁X”，需要教師引導學生有序地將這些圖形的表面積按從大到小的順序排一排。學生在數(shù)據(jù)分析中提出猜想：在體積一定的前提下，長、寬、高越接近，表面積越小。

（二）既“合力”又“合智”

“做數(shù)學”是一種共同合作、共同協(xié)商的活動，它強調了“做”的主體多元性與形式多樣性的特點。

首先，“做數(shù)學”學習素材要有利于學生采用分組的方式探究，構建“伙伴式”學習共同體，推動學生通過合作、會話、協(xié)商等多維度交互的方式共同參與“做數(shù)學”活動。

其次，“做數(shù)學”學習素材要能適合不同學習風格的學生，使其能夠最大限度地發(fā)揮長處和優(yōu)勢，建立學習自信。

最后，“做數(shù)學”學習素材要為學生創(chuàng)設交流與共享的平臺，允許學生的觀點在和其他學生以及教師共同建立的社會協(xié)商環(huán)境中受到質疑與評論，討論的結果有可能使原來確定的、與當前認知有關的屬性增加或減少，在汲取眾人智慧后使復雜局面逐漸明朗一致起來。

例如，在上述“怎樣包裝，表面積最小”一課中，對“如果小致想送六塊多米諾骨牌給小遠，要想用的包裝紙最少，你推薦他用哪種？”展開了探究。教師提供了八種方案（如圖2）。有的學生計算每種圖形的表面積，通過比較得出結論；有的學生基于已有經(jīng)驗，將目光聚焦于其中的幾種；還有的學生憑借數(shù)學直覺，直接探尋方法7和方法8。然而，交流中出現(xiàn)了爭議，有的學生覺得方法7所拼的圖形表面積最小，有的學生則認為方法8的圖形表面積最小。由此，學生自發(fā)組建學習共同體，在協(xié)同性探究中進一步尋找使用包裝紙最少的情況。經(jīng)過計算與比較、拼搭與推理，學生發(fā)現(xiàn)方法7與方法8都是使用包裝紙最少的情況。學生還通過希沃白板的克隆功能進一步驗證，在分析拼擺的過程中，學生發(fā)現(xiàn)兩種方法都重疊了相同個數(shù)的“3×5”的面，再次說明兩種方法都是表面積最小的情況。學生通過“合力”“合智”，從數(shù)與形兩個方面對探究活動做出了解釋與說明。

圖2

（三）既“成功”又“成長”

“做數(shù)學”的最終目的不只是滿足于完成某一項任務或獲取某些事實性的科學原理，還應該更注重培養(yǎng)學生學習與應用數(shù)學的各種能力、認識現(xiàn)實世界的一般方法以及隨之而來的對數(shù)學價值的體悟和積極的態(tài)度與熱情等。具體表現(xiàn)為以下兩點：

1.在步步推進中實現(xiàn)意義建構?！白鰯?shù)學”可以讓學生體會操作材料的價值。這就要求教師設計的學習素材，應符合不同思維水平的學生，使其在獲得成就感的同時，能感受到自我知識的局限性，產(chǎn)生進一步研究的欲望，實現(xiàn)在數(shù)學學習中的“個性化”發(fā)展，最終完成對研究問題的意義建構。

2.在完善認知中增強數(shù)學情感?！白鰯?shù)學”學習素材還應幫助學生從由教師指導下進行學習轉向更自覺的學習，并有可能在數(shù)學學習中獲得一些積極良好的情感體驗，在共享集體思維成果的基礎上對當前所學形成較為全面、正確的理解，在徐徐展開的過程洗禮下獲得精神的成長與人格的提升。

上述課例中，學生經(jīng)歷了一系列的“做數(shù)學”活動，最終得出了結論：體積一定時，重疊的面越大，拼成長方體的長、寬、高越接近，表面積就越小。然而，教學不能只停留在操作層面，更要幫助學生根據(jù)所接受的準則關注解決問題的一般化策略，促使學生對現(xiàn)有知識的學習走向“思維中的具體”。

學生體會到若增加小長方體的個數(shù)，不能每次都擺一擺，這樣太麻煩了，由此自發(fā)產(chǎn)生“在體積一定的前提下，想找出長、寬、高最接近的情況，有沒有什么更好的方法？”的訴求。以“包裝六塊多米諾骨牌最少需要90cm2”為例，構建90＝（ ）×（ ）×（ ）這樣簡潔的表達方式。學生將五年級學習的分解質因數(shù)遷移至此，通過先拆數(shù)再組合，最終找到90可以拆成3、5、6這三個比較接近的數(shù)的乘積。具備了這樣的解決問題的策略，無論包裝多少塊多米諾骨牌，學生都可以在不動手操作的情況下快速找到表面積最小的情況，真正地實現(xiàn)了“做”是為了“不做”。此環(huán)節(jié)更強調方法的習得和科學精神的養(yǎng)成，使學生形成鍥而不舍的鉆研精神和探究能力。

總之，“做數(shù)學”學習素材應該為學生提供現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學學習過程，為學生形成數(shù)學的思維方式提供有效載體。在今后的實踐中，筆者也將根據(jù)“做數(shù)學”和問題解決之間的循環(huán)反復過程統(tǒng)整開發(fā)學習素材。在此，筆者也呼吁廣大一線教師能夠關注到“做數(shù)學”，助力“做數(shù)學”真正成為課堂教學的常態(tài)。