費(fèi)美能　夏建躍

在解答圓錐曲線問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到定點(diǎn)問(wèn)題、定值問(wèn)題、定直線問(wèn)題.這三類問(wèn)題往往較為復(fù)雜，需在動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線、動(dòng)曲線的運(yùn)動(dòng)變化中找出一些不變的元素，據(jù)此建立關(guān)系式，求得問(wèn)題的答案.下面結(jié)合實(shí)例，談一談這三類問(wèn)題的解法.

一、定點(diǎn)問(wèn)題

圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題一般是指根據(jù)題意判定某條曲線、直線恒過(guò)定點(diǎn).在解題時(shí)，要先根據(jù)題意求出含有參數(shù)的曲線（直線）方程；然后將參數(shù)視為主元，將問(wèn)題看作方程有無(wú)數(shù)個(gè)解的問(wèn)題；再令方程中含有 x、y 的項(xiàng)的系數(shù)為零，建立方程（組），即可通過(guò)解方程（組），求得定點(diǎn)的坐標(biāo).

例1

解：

我們先設(shè)出 T 點(diǎn)的坐標(biāo)；然后將其代入拋物線 C2 和圓 C3 的方程，建立關(guān)于 x、y 的方程：（1 - x 2 ）y 2 0 - 2yy0 +（x 2 + y2 - 4）= 0 ；再將其看作方程有無(wú)數(shù)個(gè)解的問(wèn)題，據(jù)此建立方程組，求得 x、y 的值，即可求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

二、定值問(wèn)題

解答圓錐曲線中的定值問(wèn)題主要有兩種思路：（1）從特殊情形入手，先根據(jù)特殊位置、數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）根據(jù)題設(shè)條件建立關(guān)系式，直接進(jìn)行推理、計(jì)算，并在計(jì)算、推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

例2.

解：

先根據(jù)韋達(dá)定理，將所求的表達(dá)式 1 | MN | + m |PQ| 用 m、n 表示出來(lái)；然后對(duì)其化簡(jiǎn)，消去變量 n ，即可斷定 1 | MN | + m |PQ| 為定值．

三、定直線問(wèn)題

求解圓錐曲線中的定直線問(wèn)題有兩種思路：（1）從特殊情形入手，如特殊位置、特殊點(diǎn)等，求出定直線的方程；再證明這條直線與變量無(wú)關(guān)；（2）先根據(jù)解題需求引入?yún)?shù) k ，并建立方程，一般將題目中給出的曲線方程（直線）中的常數(shù) k 當(dāng)成變量，將變量 x、y 當(dāng)成常數(shù)，將原方程轉(zhuǎn)化為kf（x，y）+g（x，y）=0的形式；然后根據(jù)曲線（直線）過(guò)定點(diǎn)時(shí)與參數(shù)沒(méi)有關(guān)系，即方程對(duì)參數(shù)的任意值都成立，得到關(guān)于 x、y 的式子，則該式就是曲線恒過(guò)的定直線.

例3.

解：

我們需先引入?yún)?shù) λ ，根據(jù)線段長(zhǎng)之比相等，利用點(diǎn)差法來(lái)建立關(guān)系式，求出點(diǎn) M 的軌跡方程： （x1 - λx2）（x1 + λx2） 4（1 - λ）（1 + λ） + （y1 - λy2）（y1 + λy2） 3（1 - λ）（1 + λ） = 1 ；然后根據(jù)方程對(duì)任意參數(shù)值都成立，來(lái)建立方程，從而求得定直線的方程.

同學(xué)們?cè)诮獯鸲c(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：（1）靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想來(lái)建立關(guān)系式；（2）采用設(shè)而不求法和整體代換法，對(duì)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形；（3）注意培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.