王平　任建波

［摘 要］“數(shù)與運算”主題教學的重點包括讓學生感悟數(shù)的認識與數(shù)的運算之間的密切聯(lián)系，理解四則運算之間的關系，感悟運算的一致性等。“分數(shù)與整數(shù)相乘”是這一主題的重要內容，包含乘法的意義、算理一致性和分數(shù)特殊性三個方面的大概念。文章根據(jù)上述分析的主題大概念對“分數(shù)與整數(shù)相乘”的教學進行了流程探究，旨在為廣大教師提供教學借鑒。

［關鍵詞］主題大概念；計算教學；分數(shù)與整數(shù)相乘 ；單元鏈

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）23-0006-04

“分數(shù)與整數(shù)相乘”是蘇教版教材六年級上冊“分數(shù)乘法”單元的起始內容，是“數(shù)與運算”主題的重要內容?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，這一主題教學的重點包括感悟數(shù)的認識與數(shù)的運算之間的密切聯(lián)系，理解四則運算之間的關系，感悟運算的一致性等。即數(shù)的認識是運算的基礎，通過數(shù)的運算有助于學生更好地認識數(shù)；四則運算本質上是計數(shù)單位多少的表達，加法和乘法是計數(shù)單位個數(shù)的累加，減法和除法是計數(shù)單位個數(shù)的細分。在內容分布上，“乘法運算”在小學三個學段中都有相應的安排，呈現(xiàn)螺旋上升、不斷豐富和深化的特點（見表1）：第一學段了解意義、感悟關系、探索算理和算法；第二學段探索并掌握多位數(shù)的乘法，進行混合運算和理解運算律；第三學段進行小數(shù)、分數(shù)的運算，感悟運算的一致性，包含乘法的意義、算理一致性和分數(shù)特殊性三個方面的大概念。

基于以上認識，筆者依據(jù)主題大概念對“分數(shù)與整數(shù)相乘”進行了整體性設計，橫向關聯(lián)，揭示乘法意義的一致性，即表示幾個相同整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)相加的運算；縱向貫通，體現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)乘法算理本質的一致性，即均是求計數(shù)單位的個數(shù)。

【教學片段一】創(chuàng)設情境，整體進入

師：還記得我們是怎樣慶祝國慶節(jié)的嗎？我們通過當時的照片回憶一下。

出示圖文信息（圖略）：（1）一年級舉行了莊重的入隊儀式，邀請部分優(yōu)秀少先隊員代表參加，他們的座位為低、中、高三個方陣，每個方陣20個座位；（2）校園展出優(yōu)秀書法、繪畫和手工作品，每種作品有30件；（3）游園活動大約20項，參與一個項目平均需要0.09小時；（4）游藝活動的獎品特別豐厚，每個年級的經費為0.2萬元。

師：你能從以上信息中獲得哪些數(shù)學信息？會列算式表達嗎？列算式后選擇其中一道算式，說一說它表示的意思。

生1：優(yōu)秀少先隊員代表的人數(shù)為20×3，表示3個20相加。

生2：參加全部游園活動大約需要0.09×20小時，表示20個0.09相加的和。

師：怎樣計算？說說你計算的道理。

生3：20×3就是2個十乘3得6個十，6寫在十位上，就是60。

生4：0.09×20也是這樣，先算出有180個0.01，就是1.8。

師：這些是大家已經學過的整數(shù)和小數(shù)乘法，分數(shù)乘法的意義會不會有變化？計算方法有沒有獨特之處？今天我們就來研究一下。

【思考】課始選取學生有親身體驗的國慶節(jié)慶?；顒幼鳛閷肭榫?，呈現(xiàn)活動中的場景和信息，引導學生進行數(shù)學化的表達和說理，可激活學生關于整數(shù)、小數(shù)乘法意義以及算法、算理的經驗。一方面將分數(shù)乘整數(shù)的學習融入乘法學習的整體中，另一方面給予學生回顧、溝通和比較的研究視角，為學生后續(xù)感悟大概念的意義相通性和運算一致性做好準備。

【教學片段二】探究算理，融入整體

1.獨立研究

出示任務單（如圖1）：

2.溝通比較

展示學生作品（如圖2）：

師：你們真了不起，想出了這么多方法。老師注意到，雖然大家都算出了相同的結果，可列的算式不一樣，都正確嗎？為什么？

生1：正確。不管是加法還是乘法，都算出了做3朵綢花要用綢帶的米數(shù)。

生2：正確。因為幾個相同的數(shù)相加可以用乘法。

師：和我們學過的整數(shù)、小數(shù)乘法一樣，幾個相同的分數(shù)相加也可以用乘法計算。

師：你都能看懂這些方法嗎？你看懂了哪個方法？

生3：第①個。每朵綢花用[3/10]米，3朵綢花就是3個[3/10]相加。

生4：第②個。他是將分數(shù)轉化為小數(shù)來計算的。把新問題轉化為已有知識來解決，是個好辦法。

生5：第③個。他根據(jù)分數(shù)與除法的關系，把分數(shù)轉化成整數(shù)來計算。

師：能看懂第④個的算法嗎？

生6：根據(jù)乘法的意義，[3/10]×3就表示3個[3/10]相加，所以轉化成連加來計算，這樣同分母分數(shù)相加，分母不變，分子相加，分子3個3相加也可以寫成3×3，所以結果是[9/10]。

……

師：這些方法之間有什么關系嗎？

生7：①和④實質是一樣的，都是計算3個[3/10]相加，只是分子的計算方法不同。

生8：②和③其實也是一樣的，因為3÷10=0.3。

師：太棒了，你們不僅能理解這些方法，還能發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系。

【思考】布魯納在《教育的過程》中指出，一節(jié)課應該圍繞社會認為值得人們持續(xù)關注的重大問題、原則和價值標準進行建構。鑒于此，本環(huán)節(jié)緊緊圍繞“乘法意義的一致性”和“運算方法的相通性”這兩個大概念進行整體建構。通過意義、算法和算理三個層次的溝通、比較，讓學生自然地遷移乘法的意義，使分數(shù)乘法與整數(shù)、小數(shù)乘法的意義縱向貫通，并且展現(xiàn)算法多樣化和算理溝通，使學生感悟到四則運算的關聯(lián)性，深化對運算的整體認識。

【教學片段三】溝通算理，完善算法

師：請回憶我們是怎樣計算整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘整數(shù)的。比一比，分數(shù)乘整數(shù)和它們一樣嗎？

生1：我覺得有不同的地方，也有相同的地方。相同的地方是它們都是先用整數(shù)相乘，不同的是算出的結果表示的數(shù)的大小不同。

生2：是一樣的，就像生1說的，都是先計算出有多少個計數(shù)單位，整數(shù)、小數(shù)是計數(shù)單位，分數(shù)叫分數(shù)單位，再看結果是多少。

生3：都是先把數(shù)拆成計數(shù)單位和個數(shù)，算出個數(shù)再合成結果的。

師（根據(jù)學生的回答完成板書，如圖3）：同學們真了不起，可以這么深刻地認識乘法運算的道理。

出示例題：小華做5朵這樣的綢花，一共用彩帶幾分之幾米？在作業(yè)紙上列式并解答。（學生獨立完成后全班交流）

……

師：面對能約分的分數(shù)乘法算式，先約分再計算更簡單。對照剛才計算的這些算式，說一說分數(shù)和整數(shù)相乘時可以怎樣計算？

生4：分子與整數(shù)相乘，算出分數(shù)單位的個數(shù)，分母不變，能約分的先約分再計算。

【思考】本環(huán)節(jié)重在對分數(shù)和整數(shù)、小數(shù)乘法算理一致性的建構和分數(shù)乘法算法的歸納。出示算式資源，引導學生在討論中體會乘法算理的一致性——都是計數(shù)單位個數(shù)的累加，計算時都是先計算有多少個計數(shù)單位（分數(shù)單位），再根據(jù)位值制表示結果。在此基礎上，通過比較計算過程讓學生明確能約分的先約分，為后面再次完善算理一致性的整體建構留下即插“接口”。

【教學片段四】實踐應用，深化整體

師：剛才我們一起研究了分數(shù)與整數(shù)相乘，下面就運用學到的知識解決一些實際問題。先在長方形中涂出4個[3/16]，再算出涂色部分一共是這個長方形的幾分之幾。

生1：我是豎著涂出4個[3/16]，結果是[3/4]。（如圖4）

生2：我是橫著涂出4個[3/16]，結果也是[3/4]。（如圖5）

師：不管怎樣涂，從圖上都可以看出，涂色部分都是長方形的[3/4]。

師：圖形里藏著的數(shù)學奧妙不止這些，我們接著看。觀察圖示變化，先寫出算式，再說一說算式表示的意思。（動態(tài)出示圖6）

生3：算式是[4/15]×3，它表示3個[4/15]相加。

師：你們都是這么想的？再看一題。（出示圖7）

生4：[3/15]×4，表示4個[3/15]相加。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：圖示的過程不同，算式也不同，最終的樣子是相同的。

生6：算式不同，表示的意義也不同，它們的結果是相同的。

師：為什么會這樣？

生7：因為不管是[4/15]×3，還是[3/15]×4，都是用3×4算出12個[1/15]，結果是一樣的。

師：[3/10] ×3可以解決生活中的什么問題？請編一個用[3/10]×3解決的實際問題。

出示信息：

（1）每袋面包[3/10]千克，3袋面包共多少千克？

（2）一個蛋糕，小芳和爸爸媽媽分別吃了它的[3/10]，他們一共吃了這個蛋糕的幾分之幾？

（3）一根彩帶長3米，用掉它的[3/10]，是用掉了多少米？

（4）一塊花田3公頃，其中的[3/10]種玫瑰，種玫瑰的面積是多少？

師：這些問題也能用[3/10]×3來解決嗎？結合題目說一說，[3/10]×3分別表示什么意思，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：前面兩道題的是表示3個[3/10]相加的和，或者說是[3/10]的3倍是多少。

生9：后面兩道題的都表示求3的[3/10]是多少。

師：同樣是[3/10]×3，但表示的意義不同，這兩種意義是不是相通的呢？我們下節(jié)課接著研究。

【思考】前面三個教學片段是對乘法的意義和運算的一致性進行了縱向貫通，為整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的乘法運算之間建立連接。而分數(shù)乘法還有其特殊性，即可以表示“一個數(shù)的幾分之幾是多少”這個意義，教學片段四就是要進一步完善分數(shù)乘法的整體架構：首先通過涂色表示算式，幫助學生鞏固分子與整數(shù)相乘時先約分再計算的道理；然后設計一道逆向思維練習——看圖示變化列算式說意義，深化學生對運算一致性的認識；最后，要求學生根據(jù)算式創(chuàng)編實際問題，學生通過分析數(shù)量關系，發(fā)現(xiàn)“即使算式相同，表示的意義也有變化”，感受到分數(shù)乘法還可以表示一個數(shù)的幾分之幾是多少，向后續(xù)學習延伸。

總之，整節(jié)課教學在“乘法運算”主題下，依托乘法意義一致性和乘法運算一致性等大概念，實現(xiàn)了整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)乘法的縱橫貫通，促使學生從整體的視角理解和掌握分數(shù)與整數(shù)相乘的意義與方法。在更大的“數(shù)與運算”主題下，學生感悟到了四則運算本質上的一致性——計數(shù)單位多少的累積與表達。在這樣的教學探索中，“分數(shù)乘法”單元不再只有分數(shù)的運算、乘法的“小整體”，還具有了數(shù)與運算的“大整體”。由此，單元聯(lián)結著課程與課時，單元教學的整體性思維與構型一定程度上就是課程學習的整體性樣態(tài)與進程，教師建構單元整體時要解構表面的單元課時內容之間的“小關聯(lián)”，依托更上位的主題大概念，從知識發(fā)展脈絡和學習本質內核上重新定位“大目標”、設計“大活動”、建立“單元鏈”，為學生核心素養(yǎng)的發(fā)展預留更多“大接口”。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 馬云鵬.“深度學習”視域下的小學“數(shù)的運算”教學[J].福建教育，2020（36）：26-31.

【本文系2022年度江蘇高校哲學社會科學研究重大項目“大概念的教學意蘊與統(tǒng)攝機制研究”（編號：2022SJZD0

44）和2022年江蘇省研究生教育教學改革一般課題“大概念視域下小學教育專業(yè)碩士教學想象力生長路徑研究”（編號：JGKT22_C082）基金項目的研究成果。】

（責編 金 鈴）