劉勤鳳

［摘? 要］ “三角形的中位線”這節(jié)內(nèi)容對學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和思想水平要求較高，整個(gè)內(nèi)容圍繞概念、性質(zhì)、定理展開，具有一定的層次性和邏輯性. 教學(xué)過程中，教師要把握教學(xué)核心，提取主線，精設(shè)探究環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐探究. 文章深入分析教學(xué)內(nèi)容，開展教學(xué)探討，并進(jìn)行思考感悟.

［關(guān)鍵詞］ 三角形中位線；教學(xué)探索；教學(xué)感悟

“三角形的中位線”是蘇科版義務(wù)教育教科書八年級(jí)下冊第九章的重要教學(xué)內(nèi)容，中位線的概念教學(xué)和性質(zhì)定理是教學(xué)的關(guān)鍵. 教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程，獲得知識(shí)的自然生長.

關(guān)于教學(xué)內(nèi)容的分析

教材將“三角形的中位線”內(nèi)容安排在“平行四邊形的性質(zhì)和判定”之后，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形的性質(zhì)以及全等三角形的相關(guān)知識(shí)，故教學(xué)內(nèi)容可視為平行四邊形研究的延伸. 實(shí)際教學(xué)時(shí)，教師可以利用平行四邊形的知識(shí)內(nèi)容輔助探究.

“三角形的中位線”這一內(nèi)容的教學(xué)核心是中位線的概念和性質(zhì)定理，無論是概念還是性質(zhì)定理，對于學(xué)生來說均較為陌生. 教學(xué)時(shí)，教師要把握學(xué)情，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用實(shí)踐發(fā)現(xiàn)、自主思考、實(shí)驗(yàn)探究的導(dǎo)學(xué)模式，圍繞“中位線”開展概念認(rèn)識(shí)、性質(zhì)定理探究. 教師設(shè)計(jì)豐富的活動(dòng)，能讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化的探索過程，能讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程.

基于上述內(nèi)容及目標(biāo)分析，實(shí)際教學(xué)時(shí)筆者建議采用如下探究方式：

（1）折紙實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)中位線；

（2）拼接實(shí)驗(yàn)，感知中位線的性質(zhì)；

（3）思維推理，探索中位線的性質(zhì)定理；

（4）靈活運(yùn)用，探究性質(zhì)定理的應(yīng)用策略.

關(guān)于教學(xué)的實(shí)踐探討

根據(jù)上述章節(jié)內(nèi)容分析及教學(xué)編排，實(shí)際教學(xué)時(shí)教師可按照“發(fā)現(xiàn)中位線→感知中位線的性質(zhì)→探究性質(zhì)定理→定理應(yīng)用探究”這一主線，合理設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生參與教學(xué)過程，掌握知識(shí)，提升能力.

1. 趣味折紙，發(fā)現(xiàn)中位線

當(dāng)下的課堂教學(xué)倡導(dǎo)以“動(dòng)”啟智，由“變”探學(xué)，即營造豐富、生動(dòng)的課堂，讓學(xué)生在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)知識(shí)、探索知識(shí). 對于三角形中位線的探索，教師教學(xué)時(shí)可結(jié)合折紙活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探究.

折紙活動(dòng)：利用直角三角形折出中位線

（1）請學(xué)生預(yù)先準(zhǔn)備直角三角形，將三角形按照圖1所示的方式折疊，使得點(diǎn)A和點(diǎn)C重合，觀察折痕，看有什么發(fā)現(xiàn).

（2）嘗試按照圖2所示的方式再次折疊，看看又有什么發(fā)現(xiàn).

讓學(xué)生參與折紙，能激發(fā)學(xué)生的興趣. 學(xué)生完成折紙操作后，需要教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注折痕與直角三角形一邊的位置關(guān)系，以及折痕的兩個(gè)端點(diǎn)的位置特點(diǎn). 學(xué)生的思維能力存在差異，教學(xué)中教師可以讓學(xué)生進(jìn)行小組討論，共享觀點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)折紙活動(dòng)中DE，EF分別與邊BC，AC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

接下來教師適時(shí)給出三角形中位線的定義，關(guān)注定義中“兩邊中點(diǎn)”這一關(guān)鍵詞，引導(dǎo)學(xué)生思考“同一三角形中可作幾條中位線”，并從直角三角形拓展到一般三角形，讓學(xué)生全面認(rèn)識(shí)三角形的中位線.

2. 拼接活動(dòng)，感知性質(zhì)

中位線的性質(zhì)是探究的重點(diǎn)，完成概念教學(xué)后，教師同樣可以設(shè)計(jì)剪紙活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行折紙拼接，直觀感知中位線的性質(zhì).

剪紙活動(dòng)：拼接發(fā)現(xiàn)性質(zhì).

師：請同學(xué)們準(zhǔn)備一個(gè)三角形，畫出任意一條中位線，然后沿著中位線將三角形剪成兩部分.

思考：如何拼接可將兩部分拼成一個(gè)平行四邊形？

設(shè)問：觀察拼成的四邊形，可以得到哪些結(jié)論？

本環(huán)節(jié)的實(shí)踐操作性較強(qiáng)，需要學(xué)生操作與思考相結(jié)合. 拼接四邊形有兩種策略，以上述圖3的方案為例. 教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生把握拼接過程中三角形旋轉(zhuǎn)的特性，從與第三邊的數(shù)量和位置兩大關(guān)系入手進(jìn)行思考.

教師引導(dǎo)時(shí)可由拼接圖建立幾何模型，如圖4所示，并設(shè)置如下問題.

問題1：△CGF和△BEF是什么關(guān)系？可以得出怎樣的結(jié)論？

問題2：分組測量GF和EF、GE和AB的長度，可以得出四邊形GABE有什么特點(diǎn)？

問題3：可知GF+FE=GE，從中可以得出怎樣的結(jié)論？

問題4：請從數(shù)量和位置兩方面來總結(jié)GF與AB之間的關(guān)系.

教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生利用幾何語言和文字語言來進(jìn)行性質(zhì)定理的概括. 而采用拼接實(shí)踐和引導(dǎo)思考的方式，能夠讓學(xué)生在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)三角形中位線的性質(zhì). 活動(dòng)化靜為動(dòng)、動(dòng)靜結(jié)合，既注重知識(shí)的整體性構(gòu)建，又可激發(fā)學(xué)生的求知欲. 同時(shí)，操作實(shí)踐過程可深化學(xué)生理解知識(shí)，活動(dòng)中學(xué)生可感受轉(zhuǎn)化思想，掌握幾何探究的方法.

3. 思維推理，定理證明

通過實(shí)踐操作，學(xué)生對三角形中位線的性質(zhì)有了初步的了解. 但定理的證明建議采用思維推理的方式，即從幾何視角，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理證明. 定理的證明方式有很多，可從補(bǔ)圖和幾何旋轉(zhuǎn)兩大視角來進(jìn)行.

【證明探究1：補(bǔ)圖證明】

證明思路：補(bǔ)充圖形→構(gòu)建全等三角形→提取平行四邊形→推導(dǎo)幾何結(jié)論

具體過程如下：如圖5所示，已知DE為△ABC的中位線，延長DE至點(diǎn)F，使得EF=DE，連接BF.

全等證明——DE=EF，∠CED=∠BEF，CE=BE，則有△CED≌△BEF，從而有CD=BF，∠CDE=∠EFB，可證AD∥BF.

平行四邊形提取——已知AD∥BF，BF=CD=AD，所以四邊形ADFB為平行四邊形.

結(jié)論推導(dǎo)——由于四邊形ADFB為平行四邊形，所以AB=DF=2DE，DE∥AB.

【證明探究2：旋轉(zhuǎn)證明】

該證明依托幾何旋轉(zhuǎn)特性，參照的是折紙拼接的思路. 如以活動(dòng)中的圖形（圖4）為例，思路過程為：旋轉(zhuǎn)△CGF→共線證明→提取平行四邊形→推導(dǎo)幾何結(jié)論.

具體過程如下：已知GF為△ABC的中位線，如圖6所示，將△CGF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，使得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B的位置，得到△BEF.

幾何旋轉(zhuǎn)——根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性可知△CGF≌△BEF，于是可推知∠GFC=∠BFE，GF=FE，CG=BE.

共線證明——因?yàn)椤螱FC+∠GFB=180°，∠GFC=∠BFE，所以∠GFB+∠BFE=180°. 所以G，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線.

平行四邊形提取——已知∠CGF=∠FEB，所以CG∥BE，即AG∥BE. 又知BE=CG=AG，所以四邊形GABE為平行四邊形.

結(jié)論推導(dǎo)——由于四邊形GABE為平行四邊形，所以AB=GE=2GF，AB∥GF.

上述采用的補(bǔ)圖和旋轉(zhuǎn)證明方法，均以平行四邊形的性質(zhì)為紐帶，注重思維推理的過程. 這種教學(xué)方式立足學(xué)生的知識(shí)水平，注重知識(shí)之間的相互聯(lián)系，構(gòu)建了圖形探索的多種證法及途徑，有利于發(fā)散學(xué)生的思維.

4. 定理的應(yīng)用探究

中位線的性質(zhì)定理在幾何中有著廣泛的應(yīng)用，教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注定理的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩部分內(nèi)容，應(yīng)用探究時(shí)可從解決實(shí)際問題和求解幾何綜合題兩大視角來進(jìn)行.

實(shí)際應(yīng)用：如圖7所示，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和BC，這樣便可求出A，B兩點(diǎn)間的實(shí)際距離，你知道這根據(jù)的是什么原理嗎？

教學(xué)引導(dǎo)：教師引導(dǎo)學(xué)生參考中位線的知識(shí)，在AC和BC邊上各取中點(diǎn)M和N，然后利用中位線的性質(zhì)得出AB=2MN，再通過測量MN的距離推導(dǎo)出AB的距離.

綜合應(yīng)用：如圖8所示，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，猜想四邊形EFGH的形狀并證明.

教學(xué)引導(dǎo)：教師引導(dǎo)學(xué)生連接AC和BD，分別證明EH，F(xiàn)G，HG，EF分別為對應(yīng)三角形的中位線，再利用中位線的性質(zhì)得到EH∥BD∥FG，HG∥AC∥EF，從而證明四邊形EFGH為平行四邊形.

關(guān)于教學(xué)的思考與感悟

1. 把握教學(xué)重點(diǎn)，規(guī)劃設(shè)計(jì)主線

教材在安排“三角形的中位線”內(nèi)容時(shí)具有針對性，是對平行四邊形相關(guān)知識(shí)的延伸. 教學(xué)時(shí)教師要充分定位中位線，把握教學(xué)重點(diǎn)，基于教學(xué)核心，規(guī)劃教學(xué)主線. 教師要基于教學(xué)主線來重構(gòu)教材，引導(dǎo)學(xué)生感知中位線、探索中位線性質(zhì)、論證性質(zhì)定理，最終達(dá)到靈活運(yùn)用的目的. 所以教師在分析教材內(nèi)容時(shí)要深刻、全面，核心突出，主線鮮明.

2. 活動(dòng)引導(dǎo)探究，知識(shí)自然生成

該內(nèi)容涵蓋了概念和性質(zhì)定理，探究性極強(qiáng)，對學(xué)生而言理解上具有一定的難度，但采用活動(dòng)探究的方式就可以讓知識(shí)定理自然生成，并提升學(xué)生的探究能力. 活動(dòng)設(shè)計(jì)需要兼顧操作實(shí)踐與問題引導(dǎo)，要讓學(xué)生參與活動(dòng)，通過自主觀察、操作感知新知，教師則在各環(huán)節(jié)合理設(shè)計(jì)引導(dǎo)性問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生提出猜想、分析推理、獲得結(jié)論.

3. 合情推理演繹，注重思維培養(yǎng)

知識(shí)探究過程中的思維引導(dǎo)既是教學(xué)的關(guān)鍵，又是知識(shí)升華的重要方式，尤其是性質(zhì)定理教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生合情推理，發(fā)現(xiàn)問題并提出猜想，掌握相應(yīng)的探究方法. 教學(xué)中教師要融合思想方法，將歸納、類比、特殊化、一般化等思想方法融入教學(xué)中，關(guān)注學(xué)生的思維活動(dòng)，給學(xué)生留足思考空間，使學(xué)生積累探究經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)獲得思維的提升.