岳紹杰 于彬 王鳳欣 蔣立國(guó)

［摘? 要］ 文章以“數(shù)據(jù)的分析”一章為例，在“內(nèi)容及其解析、教學(xué)目標(biāo)及其解析、教學(xué)問題診斷分析、教學(xué)支持條件分析”的基礎(chǔ)上給出單元整體設(shè)計(jì)，并指出：?jiǎn)卧w設(shè)計(jì)應(yīng)該體現(xiàn)知識(shí)的系統(tǒng)性和連貫性，突出邏輯連貫和前后一致，因此教學(xué)中教師應(yīng)力求將所學(xué)內(nèi)容統(tǒng)一在具體情境中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、判斷和選擇整個(gè)過程.

［關(guān)鍵詞］ 概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析；數(shù)據(jù)觀念；平均數(shù)；方差

數(shù)學(xué)教育承載著立德樹人根本任務(wù)、實(shí)施素質(zhì)教育的功能. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會(huì)和個(gè)人所需的核心素養(yǎng). 核心素養(yǎng)是在學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的. 對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行分析、整合、重組，形成相對(duì)完整的教學(xué)結(jié)構(gòu)單元，開展單元教學(xué)，可以體現(xiàn)整體性、連貫性、結(jié)構(gòu)性、遞進(jìn)性，有助于提高教學(xué)效率［1］.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下文簡(jiǎn)稱《課標(biāo)2022》）將義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容分為四個(gè)領(lǐng)域，分別是數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐［2］. 其中，統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域由統(tǒng)計(jì)和概率兩部分組成，統(tǒng)計(jì)是概率學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，概率是統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的延伸，統(tǒng)計(jì)部分主要由數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、表達(dá)等幾部分內(nèi)容構(gòu)成，概率則由初步認(rèn)識(shí)和進(jìn)一步認(rèn)識(shí)兩部分內(nèi)容構(gòu)成.

《課標(biāo)2022》對(duì)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行了系統(tǒng)闡述. 與“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域?qū)?yīng)的核心素養(yǎng)是數(shù)據(jù)觀念，主要是指對(duì)數(shù)據(jù)的意義和隨機(jī)性有比較清晰的認(rèn)識(shí). 本環(huán)節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是小學(xué)階段數(shù)據(jù)意識(shí)素養(yǎng)的延伸，更為高中階段數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的達(dá)成奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

以魯教版教材為例，數(shù)據(jù)的收集和整理位于六年級(jí)下冊(cè)，數(shù)據(jù)的分析位于八年級(jí)上冊(cè)，在主體內(nèi)容學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)據(jù)的描述，以及利用各種統(tǒng)計(jì)圖表刻畫數(shù)據(jù)，進(jìn)而展現(xiàn)在圖表觀察和精準(zhǔn)計(jì)算的基礎(chǔ)上做出判斷的數(shù)據(jù)觀念形成的完整過程，側(cè)重于對(duì)數(shù)據(jù)意義的理解，而對(duì)隨機(jī)性的認(rèn)識(shí)則在概率的學(xué)習(xí)過程中漸次形成.

教材整體結(jié)構(gòu)如圖1所示.

內(nèi)容及其解析

1. 內(nèi)容

“數(shù)據(jù)的分析”是魯教版教材八年級(jí)上冊(cè)第三章的教學(xué)內(nèi)容，主要由平均數(shù)（2課時(shí)）、中位數(shù)與眾數(shù)（1課時(shí)）、從統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)（1課時(shí)）、數(shù)據(jù)的離散程度（2課時(shí)）、回顧與思考（1課時(shí)）構(gòu)成，共計(jì)5節(jié)7課時(shí).

2. 內(nèi)容解析

“數(shù)據(jù)的分析”是數(shù)據(jù)收集和整理過程的延續(xù)，是后續(xù)做出判斷和對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行表達(dá)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，更是數(shù)據(jù)觀念形成的重中之重. 教學(xué)中教師務(wù)必引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和表達(dá)的整個(gè)過程，為數(shù)據(jù)觀念核心素養(yǎng)的培育貢獻(xiàn)一分力量.

第一節(jié)“平均數(shù)”由兩個(gè)課時(shí)構(gòu)成，第1課時(shí)通過具體的例子，使學(xué)生在小學(xué)階段平均數(shù)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，初步感知學(xué)習(xí)加權(quán)平均數(shù)的必要性；第2課時(shí)，通過具體的實(shí)例進(jìn)一步感受加權(quán)平均數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用的廣泛性，同時(shí)感受“權(quán)”對(duì)數(shù)據(jù)分析（做出判斷）的重要影響.

第二節(jié)是“中位數(shù)與眾數(shù)”，這節(jié)課在第一節(jié)初步感受刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)（平均數(shù)）的基礎(chǔ)上，通過實(shí)例進(jìn)一步感受中位數(shù)和眾數(shù)在描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)過程中所發(fā)揮的重要作用. 同時(shí)，結(jié)合具體實(shí)例感受三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的典型特點(diǎn).

第三節(jié)“從統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)”是前兩節(jié)內(nèi)容的延續(xù)，前兩節(jié)內(nèi)容重在通過精準(zhǔn)計(jì)算得到數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)來判斷數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，本課時(shí)則是在觀察各種統(tǒng)計(jì)圖表的基礎(chǔ)上，結(jié)合三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的典型特點(diǎn)，進(jìn)而做出判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想.

第四節(jié)“數(shù)據(jù)的離散程度”有兩個(gè)課時(shí)，本節(jié)內(nèi)容融統(tǒng)計(jì)圖觀察和數(shù)據(jù)精準(zhǔn)計(jì)算于一體，在觀察中發(fā)現(xiàn)刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，在計(jì)算中感受極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的合理性，進(jìn)一步完善學(xué)生數(shù)據(jù)分析的知識(shí)儲(chǔ)備和相關(guān)能力，為后續(xù)準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)據(jù)、做出判斷奠定基礎(chǔ).

第五節(jié)是“回顧與思考”，這里以問題串的形式幫助學(xué)生構(gòu)建整章的知識(shí)體系，繪制知識(shí)網(wǎng)或知識(shí)樹，引導(dǎo)學(xué)生將本章內(nèi)容納入原有知識(shí)體系，形成完整的數(shù)據(jù)收集、整理、分析和表達(dá)的過程，從而很好地培育學(xué)生的數(shù)據(jù)觀念素養(yǎng).

本章內(nèi)容整體結(jié)構(gòu)如圖2所示.

數(shù)形結(jié)合是本章滲透的一個(gè)重要數(shù)學(xué)思想. 學(xué)生首先通過觀察統(tǒng)計(jì)圖表初步感受數(shù)據(jù)的集中和離散趨勢(shì)；然后通過具體的數(shù)據(jù)，結(jié)合具體的公式，獲得相應(yīng)統(tǒng)計(jì)量的準(zhǔn)確數(shù)值；最后將觀察獲得的結(jié)論和計(jì)算獲得的結(jié)論進(jìn)行比較，感受“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”的精妙所在. 所以本章知識(shí)是滲透數(shù)形結(jié)合思想的良好載體，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)引起足夠的重視.

本章需要學(xué)生在對(duì)紛繁復(fù)雜的數(shù)據(jù)收集和整理的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，進(jìn)而做出判斷，這對(duì)培育學(xué)生理性精神和嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度起著重要的作用. 為此，教學(xué)中需要教師提供真實(shí)的情境和數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的整個(gè)過程，引導(dǎo)學(xué)生在分析問題和解決問題的基礎(chǔ)上提出問題和發(fā)現(xiàn)問題，從而實(shí)現(xiàn)“兩能”到“四能”的重大突破.

通過上述分析可將本章的教學(xué)重點(diǎn)確定為：

在問題解決過程中感受平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)）、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量對(duì)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)和波動(dòng)程度的刻畫，并掌握各種統(tǒng)計(jì)量的典型特點(diǎn).

教學(xué)目標(biāo)及其解析

《課標(biāo)2022》對(duì)本章的要求如下：理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義，能計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，知道它們是對(duì)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的描述. 體會(huì)刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義，會(huì)計(jì)算一組簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的離差平方和、方差. 與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》相比，增加了對(duì)中位數(shù)和眾數(shù)意義的理解；增加了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的離差平方和，這些變化可以感受到《課標(biāo)2022》對(duì)本章內(nèi)容提出了更高的要求，以適應(yīng)大數(shù)據(jù)時(shí)代對(duì)學(xué)生提出的更高要求.

1. 單元目標(biāo)

通過上述分析，可確定本單元的教學(xué)目標(biāo)為：

（1）結(jié)合具體情境，在前期數(shù)據(jù)收集和整理的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的全過程.

（2）在問題解決過程中感受平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)）、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量對(duì)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)和波動(dòng)程度的刻畫，并掌握各種統(tǒng)計(jì)量的典型特點(diǎn)，初步體會(huì)它們?cè)诓煌榫持械膽?yīng)用；知道權(quán)的差異對(duì)平均數(shù)的影響，能用加權(quán)平均數(shù)解釋現(xiàn)實(shí)生活中一些簡(jiǎn)單的現(xiàn)象.

（3）結(jié)合條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等各種統(tǒng)計(jì)圖表直觀感受各種統(tǒng)計(jì)量對(duì)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)和波動(dòng)程度的描述，體會(huì)其合理性和必要性.

2. 目標(biāo)解析

教學(xué)目標(biāo)（1）達(dá)成的標(biāo)志是：學(xué)生借助教師提供的具體情境，以自主探究和小組合作的形式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并能對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的具體例子進(jìn)行解釋，初步實(shí)現(xiàn)“三會(huì)”（會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界）.

教學(xué)目標(biāo)（2）達(dá)成的標(biāo)志是：在數(shù)據(jù)收集和整理的基礎(chǔ)上，會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差；并能用計(jì)算（分析）獲得的數(shù)據(jù)解釋現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，進(jìn)一步感受“數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活”.

教學(xué)目標(biāo)（3）達(dá)成的標(biāo)志是：感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，在問題解決過程中將數(shù)據(jù)計(jì)算和圖表觀察相結(jié)合，進(jìn)一步體會(huì)各種統(tǒng)計(jì)量的典型特點(diǎn)，并在實(shí)際問題的解決中可以靈活選擇相關(guān)統(tǒng)計(jì)量.

教學(xué)問題診斷分析

1. 學(xué)生已有基礎(chǔ)分析

在信息技術(shù)不斷發(fā)展的社會(huì)，特別是大數(shù)據(jù)時(shí)代的來臨，時(shí)刻要求我們要在紛繁復(fù)雜的數(shù)據(jù)中獲取有用的信息，進(jìn)而做出合理的判斷與選擇. 在學(xué)生的生活和整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，數(shù)據(jù)的分析貫穿始終，高中階段更是將數(shù)據(jù)分析作為六大核心素養(yǎng)之一，可見數(shù)據(jù)的分析對(duì)學(xué)生生活和學(xué)習(xí)來說非常重要.

學(xué)生在1-5年級(jí)已經(jīng)經(jīng)歷了“簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過程”（《課標(biāo)2022》將其改為：數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)，是對(duì)“數(shù)據(jù)分類”的進(jìn)一步學(xué)習(xí)），對(duì)本章所學(xué)內(nèi)容已經(jīng)有了簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)；進(jìn)入六年級(jí)，學(xué)生經(jīng)歷了更為完整的數(shù)據(jù)收集過程，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步的整理，能用適當(dāng)?shù)膱D表反映數(shù)據(jù)信息.

結(jié)合《課標(biāo)2022》，與數(shù)據(jù)的分析有關(guān)內(nèi)容的比較如表1所示.

通過上面的分析可以看出，學(xué)生經(jīng)過第二學(xué)段和第三學(xué)段的學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和表達(dá)已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，同時(shí)對(duì)各種統(tǒng)計(jì)圖表也有了初步的了解，這就為第四學(xué)段相關(guān)內(nèi)容的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 學(xué)生基礎(chǔ)與目標(biāo)的差距

學(xué)生雖然在小學(xué)階段掌握了數(shù)據(jù)分析的簡(jiǎn)單方法，進(jìn)入初中則對(duì)相關(guān)內(nèi)容提出了更高的要求，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中實(shí)際情況可能與預(yù)期目標(biāo)存在差距，所以需要“具體問題具體分析”. 學(xué)生基礎(chǔ)與目標(biāo)差距的比較如表2所示.

3. 教學(xué)難點(diǎn)

通過上述分析，可確定本章的教學(xué)難點(diǎn)是：

在真實(shí)情景中，在具體問題中，在復(fù)雜數(shù)據(jù)中，切實(shí)感受各種統(tǒng)計(jì)量對(duì)數(shù)據(jù)分析的刻畫，以及各種統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)各種統(tǒng)計(jì)量的描述.

教學(xué)支持條件分析

由于學(xué)生處于大數(shù)據(jù)時(shí)代，每天都面臨著對(duì)紛繁復(fù)雜的數(shù)據(jù)做出判斷和選擇，只是身在其中，沒有察覺. 為此，教學(xué)中教師應(yīng)該為學(xué)生呈現(xiàn)多樣的情境，讓學(xué)生在真實(shí)、具體的情境中，經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的完整過程. 筆者認(rèn)為，應(yīng)提倡布置前置作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生在課前以小組或個(gè)人的形式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集和整理，課堂中再進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，隨后根據(jù)分析結(jié)果做出判斷和選擇. 基于此，教師還應(yīng)該為學(xué)生提供長(zhǎng)作業(yè)，引導(dǎo)他們結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的真實(shí)情境和實(shí)際需要開展項(xiàng)目式學(xué)習(xí)和綜合實(shí)踐活動(dòng).

由于數(shù)據(jù)紛繁復(fù)雜，所以教學(xué)中教師可在計(jì)算方面為學(xué)生提供支持，比如提供計(jì)算器，引導(dǎo)學(xué)生采用計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)功能方便求出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差；甚至在教學(xué)中可以嘗試用計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代化手段進(jìn)行數(shù)據(jù)的處理和分析. 特別地，在實(shí)際教學(xué)中，教師還可以對(duì)EXCEL表格的計(jì)算功能進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，引導(dǎo)學(xué)生感受相關(guān)軟件為數(shù)據(jù)處理帶來的方便，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

單元整體設(shè)計(jì)

為了更好地進(jìn)行單元整體設(shè)計(jì)，體現(xiàn)知識(shí)的系統(tǒng)性和連貫性，突出邏輯連貫和前后一致，下面以魯教版教材為藍(lán)本，借鑒人教版教材部分處理方式，在教材比較的基礎(chǔ)上給出單元整體設(shè)計(jì)，為此對(duì)這兩個(gè)版本教材相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行比較，詳見表3.

通過上述比較可以看出，兩個(gè)版本教材在內(nèi)容設(shè)置和問題處理上方式基本一致，都是通過具體情境引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，將數(shù)據(jù)計(jì)算和圖表觀察統(tǒng)一起來，引導(dǎo)學(xué)生感受統(tǒng)計(jì)圖表的直觀性和數(shù)據(jù)計(jì)算的嚴(yán)謹(jǐn)性. 基于此，本章教學(xué)力求將所學(xué)內(nèi)容統(tǒng)一在具體情境中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、判斷和選擇的整個(gè)過程，簡(jiǎn)單思路如下.

（1）給出某一具體情境，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，確定調(diào)查方向，設(shè)計(jì)調(diào)查問卷等，為數(shù)據(jù)收集提供基礎(chǔ)（前置作業(yè)，課前完成）.

（2）對(duì)收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，可以是在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)表格，也可以是進(jìn)入初中后學(xué)習(xí)的條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等（前置作業(yè)，課前完成）.

（3）引導(dǎo)學(xué)生在觀察圖表的基礎(chǔ)上做出初步判斷，并提出問題“如何讓判斷更加精準(zhǔn)（或誰(shuí)更好，誰(shuí)更穩(wěn)定等）”，從而引出統(tǒng)計(jì)量學(xué)習(xí)的必要性（通過具體情境的分析，給出相關(guān)“問題串”的解答，并沿用相同的背景. 為此，在課后作業(yè)設(shè)計(jì)中同樣采用一條主線，圍繞本節(jié)課所學(xué)，以及下節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行呈現(xiàn)，作業(yè)設(shè)計(jì)中同樣體現(xiàn)“前后一致和邏輯連貫”）.

（4）在實(shí)際問題解決過程中感受統(tǒng)計(jì)量提出的合理性，經(jīng)歷探索過程，通過“為何引入加權(quán)平均數(shù)？方差公式是如何得到的”等大問題開展具體教學(xué).

（5）再次回歸統(tǒng)計(jì)圖表，能夠通過統(tǒng)計(jì)圖表去計(jì)算各種統(tǒng)計(jì)量.

（6）做出判斷和選擇，并不斷提出改進(jìn)措施，完善相應(yīng)方案，進(jìn)一步為決策提供數(shù)據(jù)支持（長(zhǎng)作業(yè)，貫穿本章學(xué)習(xí)的整個(gè)過程）.

在此基礎(chǔ)上，重新劃分課時(shí)，共計(jì)6個(gè)課時(shí)，如表4所示.

上述單元設(shè)計(jì)體現(xiàn)了內(nèi)容的一致性和連貫性，符合單元設(shè)計(jì)的基本理念，歡迎更多的一線教師參與進(jìn)來，給出更多合理、有效的設(shè)計(jì)，為初中數(shù)學(xué)教學(xué)貢獻(xiàn)一分自己的力量.

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