劉力韜　黃金瑩

【摘 要】高中數學橢圓部分的內容是教學重難點，具有一定的抽象性、復雜性，學生在實際學習中可能存在障礙。文章以橢圓的學習進階作為研究對象，通過確定進階終點、進階維度、成就水平，以及明確各水平的表現期望來構建橢圓的學習進階模型，進而揭示學生在學習橢圓時認知發(fā)展的路徑。

【關鍵詞】高中數學 橢圓 學習進階

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1002-3275（2023）13-60-04

高中數學的橢圓部分既是教師教學的重點，也是學生學習的難點。在實際的教學中，一些教師為了提高教學效率，割裂了知識間的聯系，講授的知識點偏碎片化，這會使學生在一定程度上產生學習倦怠心理，導致學習質量下降。為了提高教學質量，教師應注重知識間的連貫性，將碎片化的知識點系統(tǒng)梳理形成結構化的知識網絡，從而有效地幫助學生理解并掌握知識點。2002年，美國教育界興起了一個新的研究方向——學習進階。學習進階關注的是學生隨著時間的推移、學習的深入，其思維發(fā)展的過程，其內涵與注重知識間的連貫性、將碎片化知識點梳理形成知識網絡這個訴求不謀而合。目前國內外關于學習進階理論的研究主要集中于生物、化學、物理等領域，并取得了較為理想的研究成果，但在數學教育領域仍處于起步階段。吳穎康等人通過開展學習進階應用于數學教育的研究，闡述了數學教育中學習進階的研究進展，并提出在數學教學中應用學習進階理論的建議。［1］

本研究通過分析學習進階的相關概念，將學習進階理論應用于橢圓教學，構建橢圓的學習進階模型，揭示學生在學習該知識點時存在的不足，幫助教師明確教學目標并引導學生逐步學習并掌握相關知識點，優(yōu)化課堂教學過程。

一、學習進階相關概念界定

學習進階理論先在教育測量與評價中得到了廣泛應用，隨后被引入課程設計、概念教學等方面，應用逐漸廣泛，并且備受關注，不少研究者根據自身的理解及研究方向對學習進階進行了定義。羅斯曼等人將學習進階定義為“由小學延續(xù)到高中的、有邏輯的、符合學生發(fā)展規(guī)律的‘概念序列”［2］，史密斯等人將學習進階定義為“學生在學習某一核心概念的過程中，所遵循的一系列逐漸復雜的思維路徑”［3］。姚建欣等人通過對比研究近幾年有關學習進階的論文，發(fā)現大多數研究者都引用美國國家研究理事會（NRC）的定義方式［4］，即隨著學習時間的不斷增加，學生對于某一內容主題思考和認識不斷豐富、精進和深入的一種過程。因此本研究對學習進階的概念界定也采用NRC的定義方式。

韋斯林等人在進行大量研究的基礎上，通過明確學習進階各方面的基本特征來精確把握學習進階的內涵，并提出了學習進階所應包含的要素，告訴人們完整的學習進階應該包括什么。本文在參考韋斯林等人關于學習進階要素論述［5］的基礎上，總結出一個完整的學習進階主要包含五個要素，分別是進階終點、進階維度、成就水平、學業(yè)表現期望和測評工具。

進階終點主要指的是學習進階的頂點（學習進階要達到的最高水平），是經歷某一階段學習后期望學生能夠達到的最終水平，一般由社會期望和課程標準決定。進階維度通常是指學科中蘊含的核心概念或者核心概念的子概念，研究者可通過追蹤學生對核心概念的理解運用情況和關鍵能力的發(fā)展來了解學習進階進程。成就水平主要指學生在學習過程中思維發(fā)展的不同水平，這些水平體現了學生在認知過程中的思維發(fā)展情況。正如通過爬上一級又一級的臺階才能爬上山頂，而這些臺階就是成就水平。學業(yè)表現期望指的是學生在達到各成就水平時可測量的具體表現，這也是評估學生是否達到某一成就水平的重要標準。測評工具主要指用于檢查學生實際的學習表現與預期的學習進階模型的達成程度而開發(fā)的檢測工具，測評結果如果不太理想，可以依據測評結果進一步修改學習進階模型。

學習進階理論刻畫的是學生在學習過程中的思維認知路徑，它能厘清知識點概念間所包含的邏輯關系，指出所學知識點的先后順序，通過已學的知識鋪墊后續(xù)的學習。學習進階不僅描述學生學習和思維發(fā)展的路徑，而且能夠確定學生目前思維所處的層次，通過對學生思維所處的每一個階段進行描述，呈現學生需要達到的成就水平，幫助教師確定學生在該階段學習中存在的誤區(qū)，從而制訂合理的教學方式，促使學生在學習中不斷完善知識架構，不斷進步。

二、橢圓的學習進階

常見的學習進階研究范式一般由模型預設和實證檢驗兩大部分組成，其構建主要遵循以下步驟：首先確定需要研究的核心概念。其次構建學習進階預設的模型，其中包括確定合適的進階終點、進階維度、成就水平、學業(yè)表現期望。最后開發(fā)相關的測評工具，收集數據并進行測評分析。根據測評的數據結果完成對假設的學習進階模型的修訂與完善工作。

（一）進階終點的確定

1．課程標準分析

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱課程標準）要求學生掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質，并且強調了橢圓、拋物線的簡單應用。

2．教材分析

本研究以高中數學選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程的有關內容為例進行研究。教材中對于橢圓部分的知識點層層遞進、承上啟下，由橢圓的定義引出標準方程，接著通過標準方程進一步探索橢圓的幾何性質，最終實現橢圓的簡單應用。

因此本研究確定橢圓教學的進階終點為：運用橢圓的性質解決相關的綜合問題，進一步培養(yǎng)學生的數學思想以及數學核心素養(yǎng)。

（二）進階維度的確定

本研究通過分析課程標準中對于橢圓教學的要求，整理高中數學選擇性必修第一冊的內容設置，總結出教材中橢圓部分以“橢圓的定義—橢圓的標準方程—橢圓的簡單幾何性質—橢圓的應用”的學習順序逐步推進，以此來進行橢圓縱向維度的研究。因此可將橢圓學習進階模型的進階維度確定為以下四個：

維度1：結合生活情境，類比圓的概念及定義，認知橢圓的定義。

維度2：根據橢圓的定義，通過建立合適的直角坐標系研究橢圓的標準方程表達式。

維度3：類比研究圓的標準方程得出幾何性質的方法，結合橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質。

維度4：明晰橢圓與直線的聯系（求解直線與橢圓聯立的問題）。

（三）成就水平的確定

成就水平描述的是學生在學習過程中從最初的水平不斷發(fā)展到最終水平時其思維發(fā)展的路徑。最低水平的確定一般基于學生在進行某階段學習前的已有經驗，包括學生頭腦中已有的相關經驗以及與某階段學習有關的前概念等。最高水平一般依據社會期望、課程標準對學生的要求等來確定。中間各水平的確定則基于已有的對于學生情況的研究結果，包括學生的認知發(fā)展規(guī)律以及具體某階段學習的實際情況。已有研究發(fā)現，學習進階理論與SOLO分類理論之間存在一致性［6］，基于SOLO分類理論可以很好地刻畫學生在認知過程中思維發(fā)展的過程與水平。因此本研究將根據SOLO分類理論將橢圓學習進階模型的成就水平劃分為以下五個：

前結構水平：學生在進行本階段學習前頭腦已經存在的有關信息，一般是學生掌握的零碎信息，這些信息可能是正確的，也可能是錯誤的，學生對概念未形成精確的認知。

單一結構水平：了解并掌握部分簡單的信息，未建立信息間的聯系。

多元結構水平：能說出多個信息的內涵，能進行完整的解釋與說明。

關聯結構水平：從能建立少部分信息間的聯系到建立所有信息的聯系，能解決簡單問題。

抽象結構水平：形成系統(tǒng)的信息體系，能靈活運用并遷移知識，能解決復雜問題。

（四）各水平表現期望的確定

各水平表現期望描述的是學生達到各水平時可測量的具體表現，是判斷學生處于何種水平的標準，細致描述了學生在學習過程中認知的發(fā)展，即學生應當掌握什么知識，把握什么技能，等等。本研究結合SOLO分類理論，通過分析橢圓相關文獻以及教材的內容確定了橢圓學習四個進階維度對應各成就水平的表現期望，分別見表1、表2、表3、表4。

從上述的四個維度二十個水平可以看出，學生的橢圓的學習過程是循序漸進的，從橢圓的定義出發(fā)逐步深入到橢圓的應用，學生在這個過程中經歷了不同的思維層級，是一個逐步提高、不斷進階的過程。因此教師在教學過程中要充分考慮學生的認知發(fā)展規(guī)律和知識間的脈絡關系，針對不同思維水平的學生，設計合理的教學方式和教學方案，以促進學生數學學科核心素養(yǎng)的不斷提升與發(fā)展。

本研究將學習進階理論應用于中學數學橢圓的教學中，結合課程標準的要求、教材內容的安排，以及橢圓內容的相關研究，構建了橢圓學習進階模型，明確了每一個階段的學習任務，揭示了學生在學習中思維和認知發(fā)展的規(guī)律及所經歷的過程。能夠使教師發(fā)現學生該階段學習中可能存在的錯誤認知，并為學生能夠更加深刻地理解各階段的知識點提供幫助。通過構建橢圓的學習進階模型，也進一步為教師在橢圓內容的教學中提供新的教學思路與方式。

【參考文獻】

［1］吳穎康，鄧少博，楊潔．數學教育中學習進階的研究進展及啟示［J］．數學教育學報，2017，26（6）：40-46．

［2］劉晟，劉恩山．學習進階：關注學生認知發(fā)展和生活經驗［J］．教育學報，2012，8（2）：82．

［3］同［2］81．

［4］姚建欣，郭玉英．為學生認知發(fā)展建模：學習進階十年研究回顧及展望［J］．教育學報，2014，10（5）：35-42．

［5］韋斯林，賈遠娥．學習進程：促進課程、教學與評價的一致性［J］．全球教育展望，2010，39（9）：24-31．

［6］羅曉燕，李佳，袁萍，等．SOLO分類理論與學習進階比較研究［J］．課程教學研究，2021（1）：12-17．

劉力韜 / 佳木斯大學理學院，從事中學數學教育研究；黃金瑩 / 佳木斯大學理學院，教授，從事中學數學教育研究（佳木斯 154007）；*通訊作者，E-mail：hjyshuxue@163.com