毛麗麗

摘要：數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和法則的邏輯基礎(chǔ)，是師生課堂溝通交流的語言，是“四基”中“基礎(chǔ)知識”的核心。教師要結(jié)合新課標(biāo)內(nèi)容要求，探索初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)路徑。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo)；初中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)路徑

“因式分解”這一內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”中的“整式與分式”模塊，是承啟整式乘法與分式的關(guān)鍵一環(huán)。雖然本課是一節(jié)概念課，但教師除了培養(yǎng)學(xué)生對概念本身的理解之外，更重要的是促進理解因式分解所蘊含的互逆思想和以退為進解決問題的最優(yōu)化思想?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）對本節(jié)教學(xué)內(nèi)容沒有做具體要求，但本節(jié)課卻是后續(xù)“能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）”的基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)意義上的邏輯起點。

一、課前研討

基于新課標(biāo)的要求，教師要能引導(dǎo)學(xué)生從應(yīng)用數(shù)學(xué)概念中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想并提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（一）在強化情境設(shè)計與問題提出中引入概念

新課標(biāo)指出，注重發(fā)揮情境設(shè)計與問題提出對學(xué)生主動參與教學(xué)活動的促進作用，使學(xué)生在活動中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)。教學(xué)中，教師一是要注重創(chuàng)設(shè)真實情境。真實情境的創(chuàng)設(shè)可從社會生活、科學(xué)和學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗等方面入手，圍繞教學(xué)任務(wù)，選擇貼近學(xué)生生活經(jīng)驗、符合學(xué)生年齡特點和認知加工特點的素材。二是要重視設(shè)計合理的問題。教師要在真實情境中提出能引發(fā)學(xué)生思考的數(shù)學(xué)問題，也可以引導(dǎo)學(xué)生提出合理的問題。提出的問題應(yīng)引發(fā)學(xué)生的認知沖突， 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，促進學(xué)生積極探究，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達、概括歸納、遷移運用等學(xué)習(xí)過程，體會數(shù)學(xué)是認識、理解、表達真實世界的工具、方法和語言，增強學(xué)生認識真實世界、解決真實問題的能力，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

新概念的引入是概念課的首要環(huán)節(jié)。由于概念的產(chǎn)生和形成過程都不相同，引入方法也就不同。教師要緊扣教學(xué)內(nèi)容核心和學(xué)情，根據(jù)學(xué)生的真實能力，創(chuàng)設(shè)不同的情境和問題來引入概念。

（二）在挖掘概念本質(zhì)的基礎(chǔ)上理解概念

1.內(nèi)涵與外延

新概念的引入是對已有概念的繼承、發(fā)展和完善。有些概念由于內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，學(xué)生的認知很難一步到位，需要較長周期的反復(fù)認知、實踐、理解。教師重視概念教學(xué)，挖掘概念的內(nèi)涵與外延，使學(xué)生理解概念的本質(zhì)，是學(xué)生能正確使用概念的前提。

2.區(qū)別與聯(lián)系

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的知識單元，概念之間的聯(lián)系則形成了教學(xué)內(nèi)容體系的框架結(jié)構(gòu)。它們之間有著密切的聯(lián)系，教師把個別概念放在概念的相互聯(lián)系中教學(xué)，有助于揭示概念的本質(zhì)。教學(xué)時，學(xué)生要清楚新概念是建立在哪些已學(xué)的數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)上的，明確新舊概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，為準(zhǔn)確理解新概念打下堅實的基礎(chǔ)。

（三）在自編題目的過程中鞏固概念

教師引導(dǎo)學(xué)生利用概念提出數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，此環(huán)節(jié)操作的成功與否，將直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的鞏固，以及解題能力的形成。除了常規(guī)習(xí)題外，教師引導(dǎo)學(xué)生自編題目也是一種非常有效的方式。學(xué)生自行編題能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。此時，他們往往比較興奮，因為自行編題是一種創(chuàng)造，會有一種成就感。不僅如此，學(xué)生在呈現(xiàn)自己的作品時，都希望得到他人的好評，因此比較用心。此外，學(xué)生要自行編題，就要弄清楚已知什么，要求什么，就必須要對數(shù)學(xué)知識有深刻的理解，而這些都需要全身心地投入學(xué)習(xí)。同時，在這個過程中，學(xué)生的核心素養(yǎng)也會逐步提升。

（四）基于對數(shù)學(xué)概念的理解整體把握教學(xué)重點并進行教學(xué)設(shè)計

1.整體把握教學(xué)

對于因式分解的概念，常規(guī)教學(xué)一般都是先類比因數(shù)分解的教學(xué)，再引入因式分解的教學(xué)，是從概念名稱表面做文章。而在初中階段，因式分解最主要的作用是為分式、方程等相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)，利用因式分解進行簡便運算屬于解題技巧，居于

2.進行教學(xué)設(shè)計

【教學(xué)目標(biāo)】感悟因式分解的必要性，形成運用因式分解的意識；通過拼圖恒等式，對比整式乘法與因式分解的區(qū)別與聯(lián)系，形成因式分解的概念；通過編題，掌握判斷和驗證整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系；通過學(xué)習(xí)活動的開展，理解因式分解是代數(shù)的恒等變形，發(fā)展數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)。

【教學(xué)方法】任務(wù)驅(qū)動法、自主學(xué)習(xí)法、合作學(xué)習(xí)法、探究學(xué)習(xí)法。

【教學(xué)流程】創(chuàng)設(shè)情境→合作學(xué)習(xí)→班級展示→明確新知→鞏固練習(xí)→小結(jié)提升→當(dāng)堂測試。

二、課堂設(shè)計

基于課前的研討，筆者設(shè)計了本節(jié)課的課堂內(nèi)容。

（一）強化概念引入

師：今天老師下樓的時候，對門的小朋友問了我一個問題，我說我們班的同學(xué)可以解決，晚上我要把解答的方法拿給他。

（自然引出問題，激發(fā)了學(xué)生強烈的興趣）

（教師深入各學(xué)習(xí)小組巡視，持續(xù)鼓勵）

下面是小組合作精彩瞬間：

A組，一個學(xué)生認為應(yīng)該把x約分。

C組，也不甘心直接代入計算，組長一直帶著組員研究，接著組長講，把x2+x換成x（x+1），為什么有個1呢？一個學(xué)生插問。他好像明白了，1是占位的。組長接著講，再約分化簡代入。

師：你們找到了幾種方法呢？（學(xué)生的答案是一種，兩種，還有說三種的）

B組（法二）：同意C組的做法，還有一種做法是直接把2023代入計算。

A組（法三）：直接代入，再采用B、C兩組的辦法來簡化運算，即

師：晚上回家后，我告訴對門小朋友哪種方法比較合適？

生：最后一種。（大多數(shù)學(xué)生的呼聲）

這時，一位組長說：“小朋友是幾年級的學(xué)生？如果是四年級，告訴他法二，法三也行，他已經(jīng)學(xué)過分配律了。”

師：如果他是六年級或七年級的學(xué)生呢？

生：法一毫無疑義。

由于此引例的有效設(shè)計，后面兩道習(xí)題完成的質(zhì)量非常高。

師：84能被7整除嗎？

生：能，因為得數(shù)是12。

師：得數(shù)是12為什么可以證明84能被7整除？

生：因為沒有余數(shù)。

師：還可以怎么說？

生：12×7=84，所以可以整除。

師：還有其他方法嗎？

生：84還可以拆成70+14，7+7+……7，共有12個7相加，因此可以被7整除。

師：你們的想法很有創(chuàng)意，挑戰(zhàn)來了，請問20082+2008能被2009整除嗎？

生：提取因數(shù)2008，化成2008×2008+2008×1=2008（2008+1），所以能整除。

（二）助推概念生成

第一組：觀察下面拼圖過程，寫出相應(yīng)的關(guān)系式。

第二組：將下列四個圖形拼成一個大長方形，再寫出相應(yīng)的關(guān)系式。

第三組：有甲、乙、丙三種圖形，用兩個甲中的正方形，三個乙中的長方形，一個丙中的正方形拼成一個長方形，再寫出相應(yīng)的關(guān)系式。

師：根據(jù)自己的情況，任選一組或多組，結(jié)合拼圖過程，你能不能根據(jù)圖形寫出等式？

生：獨立解決問題。（學(xué)生參與熱情較高，多數(shù)學(xué)生至少選擇兩組。拼圖過程使學(xué)生體會了數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展了幾何直觀）

師：你能發(fā)現(xiàn)幾組等式的共同特征嗎？

生：加的形式轉(zhuǎn)化成乘積的形式，也就是三個等式左邊都是多項式，右邊是積的形式。

師：這樣的變形就是我們今天要學(xué)習(xí)的“因式分解”，你能否結(jié)合這幾個例子給大家說說什么是因式分解嗎？

生：把一個多項式化成幾個因式（后改成整式）積的形式叫作因式分解。

生：把加的式子變成乘積的形式。

師：可以減嗎？

生：可以，就是把加減形式的化成乘積形式的。

師：你是否理解了什么是因式分解？

生：多項式變形為整式乘積的形式。

（三）挖掘概念本質(zhì)

師：請獨立完成教材練習(xí)。

生：相反也可以說成互逆。

師：判斷4x2 - 64 = 4（x + 4）（x - 4）是否是因式分解。

生：形式上是，實際上不是。

師：還有什么是互逆關(guān)系呢？

生：互逆命題，互逆定理，如勾股定理和逆定理，乘和除，加和減，現(xiàn)在又學(xué)到了整式乘法和因式分解等。

（四）編題鞏固概念

在本節(jié)研討課中，教師可以安排兩次編題。第一次編題安排在探究整式乘法與因式分解互逆后，讓學(xué)生將互逆思想內(nèi)化為自己的知識體系。第二次編題安排在整除題型后，此時距離下課還有5～6分鐘（學(xué)生的疲憊期），學(xué)生編出的題目都是整除的題目，沒有擴大前面的學(xué)習(xí)成果。

三、課后反思

（一）引入的效果

三種不同方式對應(yīng)著學(xué)生對數(shù)學(xué)的不同認知水平和與知識的遷移水平。方法二俗稱“硬算”，體現(xiàn)了解題人扎實的計算能力，但同時顯得解題人的視角不夠?qū)?、處理問題的手法不夠靈活。方法三是探索規(guī)律的實踐，體現(xiàn)了解題人在嘗試中摸索數(shù)學(xué)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律的素養(yǎng)，顯示出學(xué)生務(wù)實的學(xué)習(xí)態(tài)度、靈活的解題手法。方法一體現(xiàn)了“會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”，學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題能夠不急于“出手”，而是在“嗅”到了不宜采用“硬算”的氣息后，認真分析題目的內(nèi)在規(guī)律性；通過逆向思維，反向應(yīng)用整式乘法的分配率、乘方的意義、正向遷移分解因數(shù)、分數(shù)的基本性質(zhì)，實現(xiàn)了化繁為簡、變難為易；沒有具體的數(shù)值運算，透射出解題的智慧與老練，體現(xiàn)了對字母表示數(shù)、對“代數(shù)”內(nèi)涵的深刻理解。方法二是“強攻”，方法一是“智取”，方法三介于二者之間，也不失為一種解題的較好策略。

（二）學(xué)生編題的作用

編題的過程既能體現(xiàn)正向?qū)σ蚴椒纸獾睦斫猓帜芸疾槟嫦蛴谜匠朔ǖ尿炞C。組間交換互考、互批，既有利于學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的調(diào)動和好勝心的激發(fā)，又有利于學(xué)生在班級展評中滿足自我實現(xiàn)的心理需求。但是，一節(jié)課進行兩次編題是否得當(dāng)，還需再研討。同時，如果教學(xué)時間允許，第二次編題在何時呈現(xiàn)仍值得探究。此外，兩題是否可以合二為一，也需要再探索。

（三）教法選擇及理論依據(jù)

選用“任務(wù)驅(qū)動”的教法，能促進學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。在問題的探究過程中，教師應(yīng)不限制探究方式、不暗示探究方法，引導(dǎo)學(xué)生采用“小組合作學(xué)習(xí)”的學(xué)法。教師可通過“獨立思考→小組探究→班級展示”的流程，有效調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、積極性；通過“組間出題互考→班級簡評”的實踐活動，促進學(xué)生對所學(xué)知識的內(nèi)化與應(yīng)用，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

總之，教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容及具體的學(xué)情，采取合理的教學(xué)策略，讓概念教學(xué)取得良好的效果，使學(xué)生透徹理解、靈活運用數(shù)學(xué)概念。

參考文獻：

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