張庚年

摘? 要：基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教育，學(xué)生探究意識(shí)和探究能力的培養(yǎng)受到教師的高度重視。文章就開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的意義及對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生的價(jià)值加以簡(jiǎn)單論述，并對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師如何開展探究活動(dòng)提出了幾點(diǎn)策略，以期對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作有所助益。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；探究式教學(xué)法；探究意識(shí)

在學(xué)科教學(xué)中，教師教會(huì)學(xué)生如何自主探究獲取知識(shí)比單純傳授知識(shí)更有意義。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，其研究對(duì)象與內(nèi)容的廣泛性和抽象性、理論體系的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性、研究方法的靈活性和精確性，對(duì)培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的探究能力具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。探究對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力具有重要意義，是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要手段。因此，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和探究能力是高中數(shù)學(xué)教師的重要任務(wù)，也是數(shù)學(xué)教育工作者的使命。為此，教師要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)觀念，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，積極創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用探究式教學(xué)法，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，讓學(xué)生樂于探究、勇于探究，有效培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和探究能力。

一、探究對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的重要意義

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)（或式）的運(yùn)算關(guān)系、圖形的結(jié)構(gòu)關(guān)系、變量間的變化關(guān)系、空間的位置關(guān)系等的學(xué)科。數(shù)學(xué)來源于生活，又高于生活。數(shù)學(xué)的發(fā)展對(duì)人類的生活、生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)具有強(qiáng)大的推動(dòng)作用。在生活、生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中，我們可能會(huì)遇到各種各樣的困難或問題，對(duì)問題進(jìn)行提煉、歸納、概括，并引入科學(xué)合理的符號(hào)、語(yǔ)言，抽象成一個(gè)或多個(gè)數(shù)學(xué)問題，深入進(jìn)行探索研究，有時(shí)便發(fā)現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)結(jié)論或數(shù)學(xué)定理，有時(shí)也會(huì)因此引發(fā)創(chuàng)建新的數(shù)學(xué)分支，推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如，歐拉正是通過對(duì)“哥尼斯堡七橋問題”的探索與研究建立了“圖論”這一數(shù)學(xué)分支。在后續(xù)的研究中他又發(fā)現(xiàn)了“多面體的歐拉定理”，從而為“拓?fù)鋵W(xué)”的建立奠定了理論基礎(chǔ)。由此可見，積極進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，不僅是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑，而且還是推動(dòng)數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的源泉。

二、探究對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容更為復(fù)雜和抽象，學(xué)習(xí)目標(biāo)也不再是對(duì)知識(shí)簡(jiǎn)單、機(jī)械地背誦或記憶，而是要弄清概念的本質(zhì)，洞悉公式與定理的來歷與推導(dǎo)過程，從過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。一方面，學(xué)生通過之前的學(xué)習(xí)積累了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，有了對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的初步認(rèn)知，形成了淺顯的數(shù)學(xué)思維；另一方面，隨著年齡的增長(zhǎng)，學(xué)生有了相對(duì)成熟的思維能力和理解能力，有較為充沛的精力和較強(qiáng)的探究欲望。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，不僅能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理等知識(shí)的理解，升華對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知，掌握新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史與文化，還能讓學(xué)生重溫?cái)?shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想的博大精深，收獲數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的快樂與喜悅，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)家的了解和崇拜之情，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

三、運(yùn)用探究式教學(xué)法的策略

1. 在概念、定理教學(xué)中培養(yǎng)探究意識(shí)和探究能力

高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容豐富。有的知識(shí)屬于陳述性或者描述性知識(shí)，只需要學(xué)生正確理解其意義，能進(jìn)行是非判別。對(duì)于這類知識(shí)的學(xué)習(xí)，教師應(yīng)該多安排學(xué)生課前預(yù)習(xí)自學(xué)，課上精講多練，在練習(xí)檢測(cè)中反饋學(xué)生的理解情況，有針對(duì)性地加以糾偏指正即可。有的知識(shí)是在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上推理演變而重新生成的，需要學(xué)生弄清楚知識(shí)的產(chǎn)生緣由和來龍去脈才能更好地理解知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)。針對(duì)這些知識(shí)的教學(xué)，教師就要結(jié)合學(xué)生實(shí)際，在了解學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備和認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，適時(shí)合理設(shè)計(jì)探究問題，引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng)，以達(dá)到追根溯源、夯實(shí)根基的目的。

（1）在概念教學(xué)中合理運(yùn)用探究式教學(xué)法。

有些數(shù)學(xué)概念其本身的含義通俗易懂，但在應(yīng)用過程中展開探究會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。例如，湘教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊(cè)“集合與邏輯”這部分知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)容易乏味。為此，在教學(xué)“子集和補(bǔ)集”時(shí)，教師可以針對(duì)“子集”這一概念設(shè)置一組探究練習(xí)題：分別寫出下列集合[A=a，B=a，b，] [C=2，5，D=a，b，c]的所有子集。試探究任意集合M所有子集的個(gè)數(shù)與集合M中所含元素的數(shù)目n之間的關(guān)系。通過本組練習(xí)引導(dǎo)探究活動(dòng)，不僅能讓學(xué)生在動(dòng)手寫子集的過程中進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)子集概念的理解，更重要的是激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指引了方向，同時(shí)還讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論：含有n個(gè)元素的集合，其所有子集的總數(shù)為2n個(gè)。緊接著，教師再通過探究練習(xí)“集合[-1，0，a，b，c]共有多少個(gè)非空真子集？”來鞏固發(fā)現(xiàn)成果，讓學(xué)生體會(huì)發(fā)現(xiàn)的價(jià)值，收獲發(fā)現(xiàn)的喜悅。

又如，在教學(xué)教材選擇性必修第一冊(cè)中“等差數(shù)列”“等比數(shù)列”的概念時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從定義中保留限制條件“從第2項(xiàng)起”和去掉這個(gè)條件后兩者進(jìn)行對(duì)比探究，思考差異，不僅可以讓學(xué)生對(duì)概念有更為精準(zhǔn)的理解與把握，還有助于學(xué)生理解兩個(gè)數(shù)列的遞推公式[an-an-1=d n≥2， anan-1=q n≥2]中為什么要強(qiáng)調(diào)[n≥2，] 以此培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度。

（2）在定理的證明與推導(dǎo)中運(yùn)用探究式教學(xué)法。

數(shù)學(xué)定理通常是精準(zhǔn)地刻畫了相聯(lián)系的各要素之間的關(guān)系或規(guī)律，在相對(duì)領(lǐng)域或范圍內(nèi)具有普遍性和通用性，它的證明也具有一般性和嚴(yán)密性。高中數(shù)學(xué)中的定理大多數(shù)是數(shù)學(xué)界比較著名的，它們的證明方法經(jīng)過了前人的推敲與檢驗(yàn)，具有很好的示范引領(lǐng)作用。在教授這些內(nèi)容時(shí)，部分教師往往忽視了定理的推理證明過程，把重心放在了定理的應(yīng)用舉例和練習(xí)上，而這恰恰是本末倒置的做法。數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)不僅是對(duì)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，更要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，學(xué)生一旦掌握了數(shù)學(xué)方法，形成了數(shù)學(xué)思維，更能促進(jìn)其解題能力的提高。因此，教師既要重視定理的應(yīng)用，更要重視定理的發(fā)現(xiàn)過程與推導(dǎo)證明過程，在過程中向?qū)W生傳授和滲透探究方法，培養(yǎng)學(xué)生探究能力。

例如，在教學(xué)教材必修第二冊(cè)“正弦定理”時(shí)，教師要引領(lǐng)學(xué)生感受定理發(fā)現(xiàn)的過程，學(xué)習(xí)探究的方法。教師先通過帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)回顧直角三角形的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在直角三角形中有“各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等”這一結(jié)論。接下來，學(xué)生自然會(huì)產(chǎn)生“在銳角三角形和鈍角三角形中上述結(jié)論還成立嗎？”這樣的疑問。在問題的驅(qū)使下，教師指導(dǎo)學(xué)生在銳角三角形和鈍角三角形中展開探究活動(dòng)，最后整合三種情況得到正弦定理。這樣的探究活動(dòng)看似放慢了課堂進(jìn)度，但極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，加深了學(xué)生對(duì)定理內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)探究的方法和定理的證明方法，而且在探究的過程中還讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度。在后續(xù)“擴(kuò)充的正弦定理”的教學(xué)中，學(xué)生就可以模仿上述探究思路，“究出”定理中“相同的比值”恰為2R，即三角形外接圓直徑的長(zhǎng)度。

2. 在類同知識(shí)的教學(xué)中培養(yǎng)類比探究的思維

類比能夠培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，是一種重要的思維方法。類比思維的基本邏輯為：甲與乙是兩個(gè)事物，已知甲具有性質(zhì)A，且乙具有性質(zhì)A′（A和A′類似），如果再知甲還有性質(zhì)B時(shí)，我們自然想到乙應(yīng)該也有類似于B的性質(zhì)B′。在研究活動(dòng)中有時(shí)會(huì)找不到前進(jìn)的方向。雖然B′不一定正確，而它恰能引起我們探究的興趣。數(shù)學(xué)研究的對(duì)象不盡相同，但有些不同的對(duì)象卻往往在某些方面具有很多相似的特點(diǎn)或性質(zhì)。

例如，數(shù)學(xué)中的實(shí)數(shù)、向量、復(fù)數(shù)是不同屬性的量，但它們各自的加法運(yùn)算都遵循交換律，各自的乘法運(yùn)算（向量的數(shù)量積運(yùn)算相當(dāng)于實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法）都滿足分配律。以此為可類比的基礎(chǔ)，在教學(xué)教材必修第二冊(cè)“數(shù)量積的定義及計(jì)算”時(shí)，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生大膽類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律探究數(shù)量積的運(yùn)算律，讓學(xué)生類比實(shí)數(shù)中乘法的交換律[ab=ba]推出向量中[a · b=b · a，] 類比實(shí)數(shù)中乘法的分配律[ab+c=ab+][ac]推出向量中有[a · b+c=a · b+a · c。] 相對(duì)于探究結(jié)果來說，探究過程在某些方面更能反映學(xué)生的發(fā)展變化。在探究過程中，學(xué)生獲取的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，還有數(shù)學(xué)思想方法，以及獨(dú)立思考和分析問題的能力，這些都將隨著探究過程不斷提高。同樣，當(dāng)學(xué)生學(xué)完等差數(shù)列后再學(xué)等比數(shù)列時(shí)，教師可以放手讓學(xué)生發(fā)揮類比學(xué)習(xí)與類比探究的作用，可以發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列類似于等差數(shù)列的許多性質(zhì)。這樣的探究式學(xué)習(xí)既能調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，又提高了課堂教學(xué)實(shí)效。

3. 在特殊問題的處理中引導(dǎo)探究一般性方法

數(shù)學(xué)中特殊的圖形、特殊的位置、特殊的對(duì)象更受人關(guān)注，有現(xiàn)實(shí)的意義和背景。事實(shí)上，只要把特殊問題處理好了，許多一般性問題往往可以轉(zhuǎn)化分解為若干特殊問題來解決。這種思維方法也是數(shù)學(xué)研究與解題時(shí)常見而有效的方法。

例如，當(dāng)學(xué)生掌握了等差數(shù)列、等比數(shù)列的各種知識(shí)與技能之后，很多非等差數(shù)列、非等比數(shù)列的問題就可以化解為這些特殊數(shù)列來處理。高中數(shù)學(xué)教材中在推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，使用了錯(cuò)位相減法。教師通過板演具體處理方法，讓學(xué)生理解領(lǐng)會(huì)此方法的數(shù)學(xué)原理后，不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生把等比數(shù)列看作是一個(gè)公差為1的特殊等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積數(shù)列。因?yàn)樗那蠛湍苁褂缅e(cuò)位相減法，于是向?qū)W生提出問題：求任意一個(gè)公差為d的等差數(shù)列與任意等比數(shù)列的積數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否還能使用錯(cuò)位相減法？教師引出問題后讓學(xué)生在課后分小組討論探究，以此滲透從特殊到一般的探究方法，并讓學(xué)生探究清楚上述數(shù)列為什么能用錯(cuò)位相減法求和，真正掌握錯(cuò)位相減法求和的具體步驟和方法。引發(fā)此類探究活動(dòng)的載體可以靈活多樣，既可以是教材中的某個(gè)片段，又可以是某道例題、習(xí)題，還可以是一次考試中的某個(gè)試題等。探究的形式可以是一次小組活動(dòng)，一次作業(yè)，還可以是一次課堂小測(cè)驗(yàn)。

4. 在學(xué)生的生活體驗(yàn)中探究數(shù)學(xué)的理論解釋

數(shù)學(xué)能解決生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中的問題，也能解釋生活中的許多現(xiàn)象。學(xué)生成長(zhǎng)過程中會(huì)有種種生活體驗(yàn)感。

例如，我們把一重物固定于一斜面上，在抬起斜面時(shí)會(huì)感受到：隨著斜面與水平面夾角θ（0 ≤ [θ]≤[π2]）的增大，抬起斜面越來越容易。這種體驗(yàn)在學(xué)習(xí)教材必修第一冊(cè)“三角函數(shù)”時(shí)通過探究分析就可將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：函數(shù)[F=Gcosθ]的單調(diào)性。這里的G為重物的重力，是定值，而當(dāng)[0≤θ≤π2]時(shí)，[cosθ]隨角[θ]的增大而減小，所以F將隨角[θ]的增大而減小。雖然這個(gè)問題的解決不復(fù)雜，但它涵蓋了物理知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)，在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科間的綜合應(yīng)用能力方面大有裨益，其中蘊(yùn)含的探究精神和探究意識(shí)也是難能可貴的。

又如，我們將一定量的冰糖放在一杯水中，嘗一嘗不夠甜，于是再放入一塊冰糖使其溶解（水不溢出），會(huì)比剛才更甜些。如果將其概括成數(shù)學(xué)問題：第一次糖水的濃度[ba a>b>0]一定小于第二次糖水的濃度[b+ca+c c>0，] 即已知[a>b>0，c>0，] 則[b+ca+c>ba。] 這樣的過程旨在培養(yǎng)學(xué)生將生活體驗(yàn)抽象概括為數(shù)學(xué)問題的能力，在探究證明上述不等式成立的過程中又強(qiáng)化了不等式證明的一般方法——作差法。如果再引導(dǎo)學(xué)生通過探究函數(shù)[fx=b+xa+x x>0，a>b>0]的單調(diào)性來解釋問題，又能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。這種將學(xué)生體驗(yàn)與數(shù)學(xué)緊密結(jié)合的探究活動(dòng)容易激發(fā)學(xué)生的興趣，教師在備課時(shí)應(yīng)該充分挖掘這方面的素材，合理融入數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，讓數(shù)學(xué)課堂變得豐富多彩，拉近數(shù)學(xué)與生活的距離。

5. 在信息技術(shù)輔助下拓寬數(shù)學(xué)探究的廣度和渠道

信息技術(shù)的飛速發(fā)展，不僅改變了教學(xué)環(huán)境和教學(xué)方式，還改變了學(xué)習(xí)模式和學(xué)習(xí)手段。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用信息技術(shù)，能借助信息技術(shù)的資源優(yōu)勢(shì)和技術(shù)優(yōu)勢(shì)豐富數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化教學(xué)方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，有效突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)。借助信息技術(shù)繪制函數(shù)圖象，探究圖形的形狀、位置關(guān)系，探究動(dòng)點(diǎn)的軌跡都非常便捷、迅速且直觀形象。

例如，在教學(xué)教材必修第一冊(cè)“指數(shù)函數(shù)”時(shí)，教師可以應(yīng)用幾何畫板軟件繪制指數(shù)函數(shù)[y=ax]（a > 0，且[a≠1]）的圖象，不僅能知道一個(gè)具體函數(shù)的圖象形狀與輪廓，還能探究底數(shù)a改變時(shí)函數(shù)圖象形狀的變化規(guī)律，對(duì)學(xué)生歸納、概括函數(shù)的性質(zhì)及不同指數(shù)函數(shù)間的聯(lián)系與區(qū)別有重要作用。另外，借助信息技術(shù)的動(dòng)畫演示還可以幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象，從而再引起理論上的探究，使問題上升一定的高度。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分挖掘教材內(nèi)容和生活素材，于不同的情境、不同的內(nèi)容和對(duì)象、不同的形式和渠道，以不同的載體靈活進(jìn)行歸納探究、類比探究、從特殊到一般的探究、體驗(yàn)式探究、信息技術(shù)輔助探究等多元化的探究活動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性和主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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